Проект "Приемы устных вычислений"

Муниципальное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа №21 с углублённым изучением отдельных предметов

городского округа Тольятти

ПРОЕКТ

«Приемы устных вычислений»

Выполнили:

Иванов Игорь -  5 «А»

Назарова Каролина - 5 «А»

Микеев Алмаз – 5 «А»

Филатов Никита – 5 «В»

Учитель: Воронина В.П.

Тольятти, 2015

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ
2. Глава I «Старинные способы вычисления»

• 1.1 Русский крестьянский способ умножения
• 1.2 Метод «Решётки»
• 1.3 Умножение на пальцах

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
4. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

ВВЕДЕНИЕ

«Счет является, правда, низкой, но уже идеальной деятельностью человека, и с помощью него столь многое осуществляется в обыденной жизни»

<Гёте>

Целью данного проекта является знакомство учащихся с различными приемами устного счета, необходимыми для применения в практической деятельности. Он способствует интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе, а также развитие познавательного интереса к предмету "Математика".

В соответствии с поставленной целью были определены задачи:

1. Исследовать, применяют ли школьники  приемы быстрого счета.
2. Изучить старинные способы вычисления и приемы быстрого счета, которые можно использовать, упрощая вычисления.
3. Составить памятку для учащихся 5-6 классов для применения приемов быстрого счета.

Объект исследования: устный счет.

Предмет исследования: процесс вычислений.

Гипотеза исследования: повышение интереса учащихся к урокам математики методами устного быстрого счета.

Актуализация. Сегодня люди разучились считать в уме, привязавшись к калькулятору. В 5-6 классах школы формирование навыков устного счета имеет особое место, на этом этапе это одна из главных задач обучения математике. Именно в эти годы обучения детям закладываются основные приемы устных вычислений, которые способны активизировать мыслительную деятельность, развивать способность воспринимать на слух сказанное память, речь, повышать внимание и быстроту реакции.

За простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие способы вычислений, а также сравнить их с сегодняшними.

Умеете ли вы считать? Вопрос, пожалуй, даже обидный для человека старше трехлетнего возраста. Кто не умеет считать? Каждый ответит, что для этого, особого искусства не требуется. И будет прав. Но вопрос – как считать? Можно считать на калькуляторе, можно считать столбиком в тетради, а можно считать устно, используя приемы быстрого счета. Нам захотелось выяснить, а знают ли наши сверстники приемы быстрого счета, если нет, то помочь им освоить эти приемы, с этой целью составить для них памятку с приемами быстрого счета.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был  проведен тестовый опрос.

Для начала, мы провели анкетирование в 5 «А» и 5 «В» классах нашей школы. Задавали ребятам простые вопросы. Зачем вообще нужно уметь считать? При изучении  каких школьных предметов требуется правильный счет? Знают ли они приемы быстрого счета? Хотели бы научиться быстро считать устно? (Приложение 1).  

В опросе приняли участие 43 человека. Проанализировав результаты, мы сделали вывод, что  большинство учеников считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики, физики, химии, информатики и технологии. Приемы быстрого счета знают несколько учеников и почти все хотели бы научиться быстро считать. Результаты анкетирования отражены в диаграммах. (Приложение 2).

Проведя статистическую обработку данных, мы сделали вывод, что не все учащиеся знают приемы быстрого счета, поэтому необходимо сделать для учеников 5-6-х классов памятки с приемами быстрого счета, чтобы использовать их при выполнении вычислений.

Результаты анкетирования:

Сводная таблица анкетирования:

По результатам опроса можно сделать вывод, что многие современные школьники не знают других способов выполнения действий кроме таких как умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком», так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Глава I. СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

1.1. РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример:  умножим  47 на 35,

1. запишем числа на одной строчке, проведём  между ними  вертикальную черту;
2. левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
3. деление заканчивается, когда слева появится единица;
4. вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;                           35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
5. далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

1.2. МЕТОД «РЕШЁТКИ»

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал  в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

В своей  «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «МЕТОДОМ РЕШЁТКИ». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Рассмотрим пример: перемножим 987 и 12:  

- рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

- затем квадратные клетки делим по диагонали;

- вверху  таблицы записываем число 987;

- слева таблицы число 12 (см. рисунок);

- теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;

- после  заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;

- результат записываем справа и внизу таблицы (см. рисунок);

987∙12=11844

Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа мне хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

1.3. УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о  том значении, которое придавали древние  этому способу выполнения  умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА).

Умножали на пальцах  однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные  пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример:  8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

Изучив литературу по данной теме, нами был сделан отбор, из множества приемов быстрого счета, мы выбрали приемы сложения и вычитания, умножения и деления, которые просты в понимании и применении для любого ученика. Эти приемы мы и включил в памятку (Приложение 3), которая будет полезна для учеников 5-6-х классов.  

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Описывая  старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, мы попытались показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов вычислений показало, что это арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения. Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При знакомстве с научной литературой обнаружили более быстрые и надежные способы вычислений.

Результаты своей работы мы оформили в памятку, которую предложим всем своим одноклассникам. Возможно, что с первого раза не у всех  получится быстро, с ходу выполнять вычисления с применением этих приемов, даже если сначала не получится использовать прием, показанный в памятке, ничего страшного, просто нужна постоянная вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки быстрого счета.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1)Камаев П. М. «Устный счет» , Библиотека «Первого сентября», серия «Математика».Вып. 3(15)
2007г

Приложение 1

Анкетирование

1. Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?

Да                               Нет                                        Не знаю

2.  Умеете  ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?

Да                               Нет                                        Не знаю

      3.  Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?

Да                               Нет                                        Не знаю

4. Хотели бы вы узнать больше о приемах устных вычислений?

 Да                              Нет                                        Не знаю

Приложение 2

5 «А» класс

5 «В» класс

Сводная диаграмма

Приложение 3

ПАМЯТКА

«Устного счета»

Сложение

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

Сложение в уме двузначных чисел

Если цифра единиц в  прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы.  Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

Сложение трехзначных чисел

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

Вычитание

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

Вычитание числа меньше 100 , из числа больше 100

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме. 134-76=58

76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.

152-88=64

88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит

152-88=12+52=64

Умножение и деление числа на 4.

Чтобы умножить число на 4, нужно его дважды умножить на 2.

Например:

26·4=(26·2)·2=52·2=104;

417·4=(417·2)·2=834·2=1668.

Чтобы разделить число на 4, нужно его дважды разделить на 2.

Например:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

Умножение и деление числа на 4.

Чтобы умножить число на 4, нужно его дважды умножить на 2.

Например:

26·4=(26·2)·2=52·2=104;

417·4=(417·2)·2=834·2=1668.

Чтобы разделить число на 4, нужно его дважды разделить на 2.

Например:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

Умножение и деление числа на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10 и разделить на 2.

Например:

236·5=(236·10):2=2360:2=1180.

Чтобы разделить число на 5, нужно умножить 2 и разделить на 10, т.е. отделить запятой последнюю цифру.

Например:

236:5=(236·2):10=472:10=47,2.

Умножение числа на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например: 34·1,5=34+17=51;

146·1,5=146+73=219.

Умножение числа на 9.

Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать  0 и отнять исходное число.

Например: 72·9=720-72=648.

Умножение на 25 числа, делящегося на 4.

Чтобы умножить на 25 число, делящееся на 4, нужно его разделить на 4 и получившееся число умножить на 100.  

Например: 124·25=(124:4)·100=31·100=3100.

Умножение двузначного числа на 11

При умножении двузначного числа на 11, нужно между цифрой единиц и цифрой десятков вписать сумму этих цифр, причем, если сумма цифр больше 10, то единицу нужно прибавить к старшему разряду (первой цифре).

Например:
23·11=253, т.к. 2+3=5, поэтому между 2 и 3 ставим цифру 5;
57·11=627, т.к. 5+7=12, цифру 2 ставим между 5 и 7, а к 5 прибавляем 1, вместо 5 пишем 6.

«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

Умножение двузначного числа на 101.

Для того, чтобы число умножить на 101, нужно приписать данное число к самому себе.

Например:34·101 = 3434.

Поясним, 34·101 = 34·100+34·1=3400+34=3434.

Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25.
Например: 352=1225, т.е. 3·4=12 и к 12 приписываем 25, получаем 1225.  

Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Например:
522= 2704, т.к. 25+2=28 и 22=04;
582= 3364, т.к. 25+8=33 и 82=64.