Математика без формул

Задачник для подготовки

учащихся 5-6 классов к олимпиадам

Автор-составитель:

ученик 7 «А» класса

МБОУ «СОШ 54»

Смышляев  Дима,

учитель математики

О. В. Зубанова

Кемерово, 2013

Предмет математики

настолько серьезен,

что нельзя упускать случая

сделать его немного занимательным.

Б. Паскаль

25. На столе стоят три одинаковых ящика. В одном из них 2 черных шарика, в другом 1 черный и 1 белый шарик, в третьем 2 белых шарика. На ящиках написано: "2 белых", "2 черных", "черный и белый". При этом известно, что ни одна из записей не соответствует действительности. Как, вынув только один шарик, определить правильное расположение надписей?

26. На парту Оли упал бумажный самолет с нарисованными красными сердечками. Оля развернула его и прочитала: "Ты - лучшая девочка в классе!" Она повернулась в сидящим за ней ребятам: Ивану, Сергею, Алексею. Все три мальчика покраснели. 
- Кто из вас делает мне такие комплименты? - спросила Оля.

- Это Сергей! - сказал Иван.
- Я ничего такого не делал! - сказал Сергей.
- Не имею никакого представления, о чем ты говоришь! - сказал Алексей.Подруга Оли Маша ухмыльнулась:

« Двое из них лгут!" Однако она не хочет больше ничего говорить. Кто является тайным поклонником Оли?

23. Из 40 опрошенных репетиторов по математике 32 человека любят объяснять умножение дробей, 21 – сложение дробей, а 15 – и сложение и умножение. Сколько репетиторов не любят объяснять ни сложение ни умножение?

24. В шахматном турнире участвовало 7 человек. Каждый шахматист сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?      

1.(Школьная олимпиада, 6 класс, 2008г.)

В квартирах №1, №2, №3 жили три котенка: белый, рыжий и черный. В квартирах №1 и №2 жил не черный котенок. Белый котенок жил не в квартире №1. В какой квартире жил каждый котенок?

2.(Школьная олимпиада, 5 класс, 2009г.)

  Имена трех друзей Костя, Вася и Коля. Их фамилии Семенов, Буров, Николаев. У кого какая фамилия – неизвестно. Дед Семенов  -  родной брат их соседа Петрова. Костя на год старше Коли, а Коля на год старше Николаева. Сумма их лет больше 49, но меньше 53. Дочь всем известного профессора Коробова – мать Коли. Определите имя, фамилию и возраст каждого. Ответ объяснить.

3.(Школьная олимпиада, 6 класс, 2009г.)

В первом пенале лежат лиловая ручка, зеленый карандаш и красный ластик; во втором – синяя ручка, зеленый карандаш и желтый ластик; в третьем – лиловая ручка, оранжевый карандаш и желтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвертом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась?

4.(Школьная олимпиада, 7 класс, 2009г.)  

Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии, начинающиеся на буквы В, П, С и К. Известно, что: Ваня и С. – отличники; Петя и В. – троечники; В. Ростом выше П.; Коля ростом ниже П.; Саша и Петя имеют одинаковый рост. На какую букву начинается фамилия каждого мальчика?

21. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли с собой 47 человек, с сыром — 38 человек, с ветчиной — 42 человека, и с сыром, и с колбасой — 28 человек, и с колбасой, и с ветчиной —31 человек, и с сыром, и с ветчиной — 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

22.Анкетирование 100 студентов дало следующие результаты о количестве изучающих различные иностранные языки: английский — 28 человек, немецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий — 8, английский и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка — 3. Сколько студентовне изучает ни одного языка?

19.(Олимпиадные задачи по математике с турнира Ломоносова, 5-6 класс, 2011г.)

В классе 32 ученика. Из них 18 занимается в секции легкой атлетики, 10 в секции плавания, 5 – в обеих секциях. Сколько учеников этого класса не занимается ни в одной из этих секций?

20.В классе 45 учащихся. Из них 15 человек не увлекаются спортом, а те, кто им занимается, распределены следующим образом: 21 — лыжники, 19 — велосипедисты, 12 — пловцы. Известно, что 18 учащихся увлекаются лыжами и велоспортом, трое — плаванием и лыжами, а один — велоспортом и плаванием. Сколько учащихся занимается только плаванием? Лыжным спортом? Велоспортом?

5.(Районная  олимпиада, 6 класс, 2010г.)  

Собрались три попугая – Гоша, Кеша и Рома. Один из них всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий – хитрец, он иногда говорит правду, иногда лжет. На вопрос: «Кто Кеша?» - попугаи ответили так: Гоша: - Кеша лжец. Кеша: - Я хитрец! Рома: - Он абсолютно честный попугай. Кто же из попугаев честный, кто лжец, а кто хитрец?

6.(Интеллектуальный марафон, 5 класс, 2010г.)

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Встретились несколько островитян, и каждый из них заявил: «Вы все – лжецы». Сколько рыцарей могло быть среди этих островитян?

7. (Школьная олимпиада, 6 класс, 2012г.)

В очереди стоят Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Юра стоит раньше Миши, но после Олега. Володя и Олег не стоят рядом, а Саша не стоит рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. В каком порядке стоят мальчики?

8.(Турнир Архимеда, 6-7 классы, 2006г)

В комнате собрались лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые всегда говорят правду. Из комнаты послышались голоса.

Первый голос. 1) Нас в комнате не более трех человек; 2) все мы лжецы.

Второй голос. 1) Нас в комнате не более четырех человек; 2) не все мы лжецы.

Третий голос. 1) Нас в комнате пятеро; 2) трое из нас  лжецы.

Кого в комнате больше: рыцарей или лжецов? Ответ обоснуйте.

17. Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока?

18. В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г. и 900г. воды, отливать компот порциями по 300г.?

15. Двегруппы туристов готовятся к походу. Для приготовления еды они   используют примусы, которые заправляют бензином. В лагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литром в каждом?

16. У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка – 4-литровое и 3-х литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

9. (Олимпиада "Кенгуру". Задачи для 5 - 6 класса.)

Четверо ребят обсуждали ответ к задаче.

Коля сказал: "Это число 9". Роман: "Это простое число". Катя: "Это четное число". А Наташа сказала, что это число -15.

Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу.

10.(Школьная олимпиада, 7 класс, 2008г.)

Имеется девять шаров и двухчашечные весы без гирь. По виду все шары одинаковые, но один чуть легче других. Как с помощью двух взвешиваний найти более легкий шар?

11. (Интеллектуальный марафон, 6 класс, 2010г.)

Имеется 8 одинаковых с виду монет, среди них одна фальшивая. Известно, что все настоящие монеты весят одинаково, а фальшивая монета легче настоящей монеты. Можно ли с помощью двух взвешиваний найти фальшивую монету?

12. (Окружная олимпиада по математике для 5 класса (Москва), 2012г.)

По кругу расположено семь монет. Известно, что среди них есть фальшивые монеты, расположенные подряд. Каждая из них легче настоящей. Как найти 2 фальшивые монеты на чашечных весах без гирь ровно за одно взвешивание?

13.(Школьная олимпиада, 5 класс, 2011г.)

Дядя Федор с Шариком приготовили в кастрюле 8 литров морса. С помощью трехлитровой и пятилитровой банок они разлили весь морс поровну. Как они смогли это сделать?

14. (Школьная олимпиада, 5 класс, 2012г.)

Как набрать из озера 8 литров воды, имея только одно девятилитровое и одно пятилитровое ведро?

Содержание

Введение

Предмет математики

настолько серьезен,

что нельзя упускать случая

сделать его немного занимательным.

Б. Паскаль

Математика – это особый мир, в котором ведущую роль играют формулы. В данной работе мы решили представить: Что произойдет, если из математики убрать формулы?

Останутся:

• «нестандартные» (олимпиадные) задачи;
• любопытнейшая история этой области знания;
• специфический математический юмор;
• забавные головоломки и софизмы;
• математические байки и анекдоты;
• и др. (список открыт).

В данной работе   представлен один из важных разделов проекта «Математика без формул» - Логические задачи и способы их решения.

Предмет математической логики и его основоположники

Самое прекрасное,

что мы можем испытать – это ощущение тайны.

Она есть источник всякого подлинного искусства и науки.

Альберт Эйнштейн

Слово "логика" греческого происхождения. Логика как наука основана Аристотелем (384-320 г. г. до н.э.), который был необыкновенной фигурой в целой плеяде блестящих греческих ученых. Он был последователем Платона и посещал его Академию в Афинах. После смерти Платона (347 г.до н.э.) Аристотель покинул Афины. Он вернулся туда 12 лет спустя и основал свою школу - Лицей. Одним из учеников Аристотеля был Александр Великий.

Аристотель не был математиком в полном смысле этого слова, его логика является скорее частью философии, но эта часть - основа всех наук. В своем выдающемся произведении "Аналитики" Аристотель создал и проверил около 20 схем рассуждений, которые назвал силлогизмами. Процитируем самый известный силлогизм: "Сократ - человек; все люди смертны; значит, Сократ смертен". После Аристотеля силлогизмы и их трансформации стали основой дедуктивных рассуждений. Галилей говорил, что если бы ему пришлось начать снова свое будущее, то он последовал бы совету Платона и "принялся бы сперва за математику как науку, требующую точности и принимающую за верное то, что вытекает как следствие из доказанного".

Готфрид Лейбниц в начале 18 века сделал попытку создать формальную логическую систему, введя законы сочетания высказываний. Он высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам: "Можно придумать некий алфавит человеческих мыслей, и с помощью комбинации букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все может быть открыто и разрешимо". Но эти работы не были опубликованы, и лишь в 19 веке Джордж Буль и Август де Морган основали математическую логику, независимую от философии.

Назовем известнейшие работы Буля (1815-1864): "Формальная логика", "Исследование законов мысли". Буль вводит в логику алгебраическую структуру, называемую сегодня кольцо Буля, две операции, свойства которых в чем-то подобны свойствам операции с числами (например, 1+0=1), и в чем-то расходятся с ними (например, 1+1=1). Это позволило описать логику высказываний  как формальную алгебраическую структуру.

Другой математик, А.де Морган, ввел кванторы (не называя их) и сделал попытку формального определения структур, продолжив работу, начатую Булем.

Что мы сделали, работая над проектом?

Многие люди только мыслят, что мыслят.

Им неприятен мыслительный процесс:

для этого нужен навык и известные усилия,

а зачем усилия, когда можно без.

Огден Неш

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.).

Цель проекта:  исследование способов решения логических задач для использования их в практической деятельности.

Задачи проекта:

• Изучить основные способы решения логических задач;
• Найти и использовать в практике наиболее эффективные методы решения логических задач;
• Подготовить сообщение для факультативных занятий «Избранные вопросы математики» в 5 – 6 классах;
• Составить сборник логических задач «Подумай и реши!»

Мы собрали большое количество задач. Все они найдены в Интернете, в популярных математических журналах, в текстах школьных, районных, городских олимпиадах г. Кемерово. Мы также нашли основные методы, с помощью которых такие задачи решаются и составили справочник или руководство по решению логических задач. Его мы и предлагаем в качестве нашего отчета.

Как мы научились решать логические задачи?

Теория, мой друг, суха, но зеленеет жизни древо.

И.В.Гете

В используемой нами литературе и электронных источниках мы нашли следующие основные приемы решения логических задач. Каждый из этих способов, конечно, подходит к определенному типу задач и работает более эффективно для отдельного класса задач. Мы назвали эти методы так:

•     Метод рассуждений;

•         Метод таблиц;
•     Метод графов;
• Метод блок-схем;
• Метод бильярда;
• Метод кругов Эйлера.

Остановимся отдельно на каждом из выделенных методов, иллюстрируя их примерами решения конкретных задач.О преимуществах и недостатках каждого метода можно узнать, заглянув в соответствующий пример-иллюстрацию ниже.

Метод рассуждений

На всякого мудреца довольно простоты.

Пословица

Способ рассуждений - самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Метод графов

Прежде чем решать задачу - прочитай условие.

Жак Адамар

Граф — это совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа (они обозначаются точками), а связи — как дуги, или рёбра. Если связь однонаправленная обозначается на схеме линиями со стрелками, если связь между объектами двусторонняя обозначается на схеме линиями без стрелок.

Задача. Аркадий, Борис, Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?

Решение: Пусть каждому из молодых людей соответствует точка на плоскости, названная по первой букве имени,  а произведенные рукопожатия – отрезок или кривая линия, которая будет  соединять точки, соответствующие именам.

                        (нулевой  граф)                  (неполный граф)

Ответ: 9.

Метод таблиц

Сначала приговор, потом доказательство.

Л. Кэрролл

Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

Задача. Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Решение. Составим таблицу, в столбцах которой отметим возможные цвета рубашек и туфель клоунов (буквамиК, З. и С обозначены красный, зеленый и синий цвета). Будем заполнять таблицу, используя условия задачи. Туфли Бама зеленые, а рубашка не является зеленой. Ставим знак + в клетку 2-й строки и 5-го столбца, и знак - в клетку 2-й строки и 2-го столбца. Следовательно, у Бима и Бома туфли уже не могут быть зелеными, так же как не могут быть туфли Бама синими или красными. Отметим все это в таблице.

Далее, туфли и рубашка Бома не являются красными, отметим соответствующие ячейки таблицы знаком – . Из таблицы, заполненной на этом этапе, видим, что красные туфли могут быть только у Бима, а, следовательно, туфли Бома - синие. Правая часть таблицы заполнена, мы установили цвета обуви клоунов (табл.1). Цвет рубашки Бима совпадает с цветом его туфель и является красным. Теперь легко устанавливается владелец зеленой рубашки - Бом. Бам, в таком случае, одет в рубашку синего цвета.

Мы полностью заполнили таблицу, в которой однозначно устанавливаются цвета туфель и рубашек клоунов: Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.

Ответ: Бим одет в красную рубашку и красные туфли, Бам в синей рубашке и зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и туфлях синего цвета.

Таблица 1.

Метод блок-схем

Как без математических наук проводит свои линии паук

А.Поуп

В этом разделе рассматривается еще один тип логических задач. Это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания на чашечных весах. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач. Более систематический подход к решению задач "на переливание" заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Задача 1. Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение. Перечислим все возможные операции, которые могут быть использованы нами, и введем для них следующие сокращенные обозначения: НБ — наполнить больший сосуд водой из-под крана; НМ — наполнить меньший сосуд водой из-под крана; ОБ — опорожнить больший сосуд, вылив воду в раковину; ОМ — опорожнить меньший сосуд, вылив воду в раковину; Б→М — перелить из большего в меньший, пока больший сосуд не опустеет или меньший сосуд не наполнится; М→Б — перелить из меньшего в больший, пока меньший сосуд не опустеет или больший сосуд не наполнится. Выделим среди перечисленных команд только три: НБ, Б→М, ОМ. Кроме этих трех команд рассмотрим еще две вспомогательные команды: Б = 0 ? — посмотреть, пуст ли больший сосуд; М = З ? — посмотреть, наполнен ли малый сосуд.

В зависимости от результатов этого осмотра мы переходим к выполнению следующей команды по одному из двух ключей - "да" или "нет". Такие команды в программировании принято называть командами "условного перехода" и изображать в блок-схемах в виде ромбика с двумя ключами-выходами.

Договоримся теперь о последовательности выполнения выделенных команд. После Б→М будем выполнять ОМ всякий раз, как меньший сосуд оказывается наполненным, и НБ всякий раз, как больший сосуд будет опорожнен. Последовательность команд изобразим в виде блок-схемы (Рис. 1). Начнем выполнение программы. Будем фиксировать, как меняется количество воды в сосудах, если действовать по приведенной схеме. Результаты оформим в виде таблицы (табл. 1).Дальше эта последовательность будет полностью повторяться. Из таблицы видим, что количество воды в обоих сосудах вместе образует следующую последовательность: 0, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 и т.д. Таким образом, действуя по приведенной схеме, можно отмерить любое количество литров от 1 до 7. Чтобы отмерить еще и 8 литров, надо наполнить оба сосуда.

Блок-схема.

Таблица 1.

Метод математического бильярда

Прежде чем решать задачу,

 подумай, что делать с ее решением!

Д.Пойа

Надеемся, что Вам известна игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны – упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни "исчисление" вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий. В этом разделе мы приведем одно изящное применение математического бильярда к решению задач на переливание.

Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма. Рассмотрим туже задачу, что и в предыдущем разделе (Метод блок-схем).

Задача 1. Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение. В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников. Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны в точке. А это означает, что мы полностью наполнили водой малый сосуд. Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится о нижний борт в точке В, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд (рис.1).

Прослеживая дальнейший путь шара, и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы (табл.2), в конце концов, мы попадаем в точку Н, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице.

Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в пятилитровый сосуд. Если на диаграмме шар из точки О покатится вправо по нижней стороне параллелограмма и затем, отразившись от правой боковой стороны, в точку 2 на верхней стороне параллелограмма и т.д., то получим более короткое решение задачи. Можно показать, что полученное решение с 6 переливаниями уже является самым коротким.        

Требуется немного сообразительности, чтобы применить метод бильярда к любой задаче о переливании жидкости с помощью не более чем трех сосудов. Остановимся отдельно на случае задачи с тремя сосудами.

Задача 2. Восьмилитровый сосуд до краев наполнен водой. С помощью двух пустых сосудов емкостью 3 и 5 литров надо поровну разделить в два больших сосуда. Диаграмма для этой задачи точно такая же – параллелограмм со сторонами 5 и 3 единицы. Чтобы фиксировать количество воды в третьем, восьмилитровом сосуде, дополнительно проводим главную диагональ параллелограмма (рис.2). Она делится наклонными прямыми на 8 частей. Отметив точку деления, начиная с верхней правой вершины параллелограмма, получаем возможность фиксировать количество воды в третьем, восьмилитровом, сосуде.

Первые две координаты любой точки параллелограмма, куда может попасть бильярдный шар, определяются, как и выше, а третья координата равна величине отрезка, отсекаемого на главной диагонали соответствующей наклонной. Как и раньше, шар начинает движение от точки О. Совсем несложно нарисовать его траекторию. С ее помощью получим решение с числом переливаний, равным 7. (таб. 2)

Если объемы двух меньших сосудов не имеют общего делителя (т.е. взаимно просты), а объем третьего сосуда больше или равен сумме объемов двух меньших, то с помощью этих трех сосудов можно отмерить любое целое число литров, начиная с 1 литра и кончая объемом среднего сосуда. Имея, например, сосуды вместимостью 15, 16 и 31 литр, можно отмерить любое количество воды от 1 до 16 литров. Такая процедура невозможна, если объемы двух меньших сосудов имеют общий делитель. Когда объем большего сосуда меньше суммы объемов двух других, возникают новые ограничения. Если, например, объемы сосудов равны 7, 9 и 12 литров, то у параллелограмма надо отсечь верхний правый угол (рис. 3).

Это происходит потому, что на диагонали должно быть отложено не более 12 единиц. В этом случае главную диагональ, на которой будет фиксироваться количество воды в самом большом сосуде, полезно вынести за пределы "усеченного параллелограмма", чтобы не загромождать рисунок. В остальном правила игры в бильярд остаются прежними.

Отметим, что бильярдный шар может попасть в любую точку от 1 до 9, за исключением точки 6. Легко видеть, что точки с цифрой 6 образуют на диаграмме правильный треугольник, и мы не можем никак попасть на этот треугольник из любой другой точки, лежащей вне него (рис. 3). Таким образом, несмотря на то, что 7 и 9 взаимно просты, отмерить 6 литров воды оказывается невозможным из-за того, что самый большой сосуд имеет слишком маленький объем. Отметим также, что обобщение метода математического бильярда на случай четырех сосудов сводится к движению шара в пространственной области (параллелепипеде). Но возникающие при этом трудности изображения траекторий делают метод неудобным.

Метод кругов Эйлера

В математике следует помнить не формулы,

а процессы мышления.

В. П. Ермаков

Диаграммы Эйлера используются при решении большой группы логических задач. Условно все эти задачи можно разделить на три типа. В задачах первого типа необходимо символически выразить множества, заштрихованные на диаграммах Эйлера, используя знаки операций пересечения, объединения и дополнения. В задачах второго типа диаграммы Эйлера применяются для анализа ситуаций, связанных с определением класса. Третий тип задач, при решении которых используются диаграммы Эйлера, — задачи на логический счет.

Задача 1.В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Решение.

18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит, вратарей будет 30-28=2.  

Ответ:2 вратаря.

Задача 2.Из 110 студентов английский язык изучают 44 человека, немецкий – 50 человек, французский – 49 человек, английский и немецкий – 13, английский и французский – 14, немецкий и французский – 12, все три языка изучают 5 человек. Сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают ни одного языка?

Решение. Заполняется постепенно с рассуждениями.

Только один язык: 22+28+30=80.Ни одного: 110-80-29=1.

Ответ: 80, 1.

Заключение

Математические науки, естественные науки

и гуманитарные науки могут быть названы, соответственно,

науками сверхъестественными,естественными и неестественными.

Лев Ландау

Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики - нет ни чисел, ни функций, ни треугольников, ни векторов, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики в них чувствуется ярче всего - половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами. Есть люди, для которых решение логической задачи - увлекательная, но несложная задача. Их мозг как луч прожектора сразу освещает все хитроумные построения, и к правильному ответу он приходит необычайно быстро. Замечательно, что при этом не могут объяснить, как они пришли к решению. "Ну, это же очевидно, ясно", - говорят они. "Ведь если ... " - и они начинают легко распутывать клубок противоречивых высказываний. "Действительно, все ясно", - говорит слушатель, огорченный тем, что он сам не увидел очевидного рассуждения. Согласитесь, что такое же ощущение часто возникает при чтении детективов. Итак, мы узнали, как разными способами можно решать логические задачи. Оказывается, таких приемов несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения. Мы попытались выделить, какие преимущества имеют разные методы друг перед другом и в каких случаях удобнее использовать тот или другой метод.  Познакомились с основными понятиями направления "математики без формул" - математической логикой, узнали о создателях этой науки и об истории ее становления. Составили сборник логических задач «Подумай и реши!» для учащихся 5-6 классов.

Список литературы

1.  Агафонова, И. Г. Учимся думать: Занимательные логические задачи, тесты  и   упражнения для детей 8 – 11 лет. Учебное пособие [Текс] /  

    И. Г. Агафонова СПб. ИКФ МиМ – экспресс,1996. – 92 с.

2. Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике[Текс] / Э.Н. Балаян. — 3-е изд. — Ростов н/Д: Феникс, 2008. — 364с.

3. Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды. [Текс]/  Г.А.   Гальперин, А.Н. Земляков - М.:Наука,1990. - 288 с.

4. Фарков, А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы . [Текс]/  А. В. Фарков. — 8-е изд., испр. и доп. — М.: Айрис-пресс, 2009. — 256 с.

5. Заочный математический конкурс (6 классы, г. Москва) http://www.mccme.ru/zmk/;

9. Зимний турнир Архимеда (6-7 класс, г. Москва)

    http://www.arhimedes.org/ 

10. Международный конкурс-игра «Кенгуру» (3-6 классы, по всем регионам); http://www.kenguru.sp.ru/

11.Турнир им. М. В. Ломоносова (6 классы, г. Москва) http://olympiads.mccme.ru/turlom/