Муниципальный тур окружного  конкурса  творческих  работ учащихся

 «Интеллект.  Творчество. Фантазия».

Секция: математика

Тема: Текстовые задачи в различных направлениях деятельности людей

Выполнил: Уливанова Анастасия Андреевна

                                                     8 класс

ГБОУ СОШ №7

города  Похвистнево

        Научный руководитель: Матвеева Наталья Юрьевна,

учитель математики

г. Похвистнево

2015 г

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………….…………………………………………3

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА………………………………………………………..4

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ……………………………………………………..5

ВИДЫ ЗАДАЧ……………………………………………………………… …………7

1. Задачи на движение…………………………………………………… …………..7
2. Задачи на совместную работу………………………………………… …………..9
3. Задачи на концентрацию, сплавы и смеси……………………………………….12
4. Задачи на процентный прирост, среднее арифметическое…………….………..14
5. Задачи на нахождение длин, площадей и объемов……………………...……….16

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………...……………17

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ………………………………….18

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность.    

Математика проникла почти во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса.

Текстовые задачи – неотъемлемая составляющая школьного математического курса. С простейшими текстовыми задачами учащиеся встречаются уже в первом классе. Но и во взрослой жизни возникают проблемы, решаемые методом составления текстовой задачи.

  Гипотеза:

Текстовые задачи нашли свое применение в различных профессиях.

Проблема: буду ли я использовать текстовые задачи во взрослой жизни?

Цель: определить роль задач в деятельности человека.

Задачи исследования: определить

1. Решали ли текстовые задачи люди в древности?
2. На какие виды можно разделить текстовые задачи?
3. Какими методами можно решать текстовые задачи?
4. Какие текстовые задачи решают люди разных профессий?

    Методы исследования:

1. Анализ источников информации.
2. Систематизация и обобщение информации.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Текстовая задача - это описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.

Тема решения задач была актуальна всегда. Решением задач занимались в древности, решали их разными способами. Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.). На территории Древнего Вавилона археологи нашли глиняные таблички, на которых было выбито некое подобие задач. Было выяснено, что эти таблички использовались вавилонскими торговцами для расчета стоимости продаваемого товара, доходов и расходов.

В Средние века наиболее обученными считались монахи. В монастырях хранились тысячи свитков и книг, свидетельствующих о том, что монахи решали экономические проблемы, записывая их в виде полноценных текстовых задач.

В 18-19 веках девушек благородного сословия обучали решению простейших задач. Это было направлено на то, чтобы, будучи замужем, девушка могла самостоятельно вести домашнее хозяйство и рассчитывать семейный бюджет.

Вся история человечества пронизана сведениями об использовании текстовых задач практического содержания.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Текстовые задачи мы можем условно классифицировать по типам: задачи на числовые зависимости; задачи, связанные с понятием процента; задачи на «движение», «концентрацию смесей и сплавов», «работу» и т. д.

Решение текстовых задач делится на несколько этапов:

1. выбор неизвестных;
2. составление уравнений или систем уравнений, а в некоторых случаях — систем неравенств;
3. нахождение неизвестных или нужной комбинации неизвестных;
4. отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Иногда при решении  сложных задач трудно с самого начала определить количество вводимых неизвестных. Выбирая неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Необходимо обратить внимание на то, что число переменных, входящих в неравенства или уравнения, может оказаться достаточно большим, однако в дальнейшем, при решении уравнений или неравенств, «лишние» переменные последовательно исключаются.

Бывают случаи, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, но и нередки задачи, в которых число неизвестных больше числа уравнений. Если при этом мы использовали все условия задачи, то необходимо прочитать внимательно ещё раз условие и понять требование задачи, т. к. может оказаться, что надо отыскать не все неизвестные, а всего лишь их соотношение.

Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

Дадим краткую характеристику первых трех методов решения текстовых задач, которые наиболее часто встречаются в школьном курсе математики.

1. Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если её решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.
2. Алгебраический метод. В науке данный метод трактуется как метод буквенных вычислений. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для её решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.
3. Геометрический метод. Он состоит в том, что логическое доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением, иногда доказательство или решение видно из наглядной картины.

ВИДЫ ЗАДАЧ

1.  Задачи на движение

Системы уравнений, которые составляются на основании условий задач на движение, как правило, содержат такие величины, как скорости движущихся объектов, расстояние, время, ускорение, а также скорость течения воды (движение по реке).

Для равномерного движения по прямой будут характерны следующие особенности:

1. Движение на отдельных участках считается равномерным, а пройденный путь  определяется по формуле , где  - скорость,  - время.
2. Повороты движущихся тел считаются мгновенными, т. е. происходят без затрат времени. При этом скорость (если задана в условии) также меняется мгновенно.
3. Скорость считается всегда величиной положительной.
4. При движении объекта по течению реки, скорость течения которой равна , а собственная скорость объекта в стоячей воде равна , скорость объекта относительно берега будет равна . При движении объекта против течения реки, его скорость относительно берега будет равна , при этом должно выполняться неравенство .
5. Когда в условии задачи говорится о движении плотов, то можно считать, что плот имеет ту же скорость, что и течение реки.

Не стоит забывать о том, что нам необходимо указать дополнительное условие, т. е. например, если это скорость, то она не может быть отрицательной или равной нулю. При решении задач с большим количеством информации целесообразно использовать таблицы.

Задача 1.

Моторная лодка прошла против течения реки 55 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 8 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть  скорость течения реки, где  По условию задачи составим таблицу.

Зная, что лодка на обратный путь затратила на 6 часов меньше, составим и решим уравнение.

Таким образом, скорость течения реки 3 .

Ответ: 3 .

     Задача 2.

Один поезд проходит расстояние между станциями за 26 минут, а другой за 39 минут. Через какое время они встретятся, если выйдут одновременно навстречу друг другу?

Решение:

Пусть х минут – время до встречи. S – весь путь.

Тогда  - скорость 1 поезда,  – скорость 2 поезда.

  +   - скорость сближения.

( +  )  х = S

 ( +  )   х = 1

 х = 1

х = 15,6

Ответ: через 15,6 минут поезда встретятся.

Таким образом, при решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению.

Задачи на движение нашли свое применение в логистике. Прежде чем, отправлять грузы, составлять расписание поездов и др., измеряют длину пути, рассчитывают время движения с учетом возможных задержек.

Также такие задачи решаются в спорте, например, при планировании марафонов, туристических походов, в парусном спорте.

2. Задачи на совместную работу

Задачи такого типа содержат в себе информацию о выполнении некоторой работы несколькими субъектами (рабочими, насосами, механизмами и т. п.). Объём работы в таких задачах обычно не указывается и не является искомым, а также предполагается, что выполняемая работа проводится равномерно, т. е. с постоянной производительностью для каждого субъекта.  

В задачах на работу, системы уравнений содержат следующие величины:

•  – время выполнения работы;
•  – производительность, т. е. работа, производимая за единицу времени;
•  – работа, выполняемая за время.

Эти три величины связаны соотношением

В основном задачи на работу решаются по такой же логике, как и задачи на движение.

Задача 3.

На изготовление 16 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение:

Пусть  часов затрачивает второй рабочий на изготовление 40 деталей. По условию задачи составим таблицу.

Зная, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй рабочий, составим и решим уравнение.

Таким образом, второй рабочий делает  деталей в час.

Ответ: 5 деталей в час.

Задача 4.

Два тракториста вспахали вместе 678 га. Первый тракторист работал 8 дней, а второй- 11. Сколько гектаров вспахивал за день каждый тракторист, если первый тракторист за каждые 3 дня вспахивал на 22 га меньше, чем второй за четыре дня?

Пусть х – производительность первого тракториста, у – производительность второго тракториста. Можно составить систему уравнений.

 8х + 11у = 678

 4у – 3х = 22

8х + 11у = 678 *3

-3х + 4у = 22 *8

24х + 33у = 2034

-24х + 32 у = 176

65 у = 2210

у = 34

4 34 – 3х = 22

-3х = 22 – 136

-3х = -114  : (-3)

х = 38

Ответ: 38 га, 34 га.

Задачи, связанные с работой, решаются менеджерами и управляющими для организации эффективной работы подчиненных.

В задачах «на трубы», из которых что-нибудь льётся (к примеру, вода), модель решения схожа с задачами «на работу». Разница лишь в том, что здесь производительность трубы – это объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени. Такие задачи имеют место в нефтяной и газовой промышленности, на различных предприятиях, а также в коммунальных службах.

Задача 5.

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

Решение:

Пусть  литров воды в минуту пропускает вторая труба. По условию задачи составим таблицу.

Зная, что вторая труба заполняет резервуар на 1 минуту быстрее, чем первая труба, составим и решим уравнение.

Таким образом, вторая труба пропускает 11 литров воды в минуту.

Ответ: 11 литров воды в минуту.

Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе.

3.  Задачи на  концентрацию, сплавы и смеси

В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Решение задач основано на использовании следующих определений:

• массовая концентрация вещества в смеси;
•  процентное содержание вещества в смеси;
• объёмная концентрация вещества в смеси;
• объёмное процентное содержание компоненты.

Массовая концентрация вещества в смеси определяется отношением массы данной компоненты к полной массе смеси и показывает, какую долю полной массы смеси составляет масса данной компоненты.

Объёмная концентрация вещества в смеси определяется отношением объёма, занимаемого данной компонентой, к полному объёму смеси и показывает, какую долю полного объёма смеси составляет объём, занимаемый данной компонентой.

Приведем примеры.

Задача 6.

Чтобы приготовить состав для полировки медных изделий, берут 10 частей воды, 5 частей нашатырного спирта и 2 части мела (по массе). Сколько граммов каждого вещества надо взять, что приготовить 340 г сплава?

Решение:

Пусть х грамм – в 1 части

Тогда 10 х грамм – воды, 5х грамм нашатырного спирта, 2х грамм мела.

10х + 5х + 2х = 340

17х =340

х= 20

10  20 = 200 (г)- воды

5 20 = 100(г)- нашатырного спирта

2 20= 40(г)- мела.

Ответ: надо взять 200 грамм воды, 100 грамм нашатырного спирта, 40 грамм мела.

Задача 7.

Для приготовления бутылочного стекла берут 25 частей песка, 9 частей соды и 5 частей извести (по массе). Сколько потребуется соды, чтобы приготовить 390 кг стекла?

Решение:

Пусть х кг - в 1 части .

Тогда 25 х кг – песка, 9 х кг – соды, 5х кг – извести.

25х + 9х + 5х = 390

39х = 390

х = 10

9 10 = 90(кг) – соды

Ответ: 90 кг соды потребуется.

Задача 8.

При помоле ржи получается 6 частей муки и 2 части отрубей. Сколько получится муки, если смолоть 1т ржи?

Решение:

Пусть х тонн в - 1 части

Тогда 6х тонн – муки, 2х тонн – отрубей

6х+2х = 1

8х = 1

х = 0,125

0, 125 т = 125 кг муки.

Ответ: 125 кг муки получится.

Как мы видим из примеров, задачи такого вида находят применение повсеместно, ведь человека повсюду окружают не чистые вещества, а смеси, растворы, эмульсии и др. Это и строительство, и металлургия, и химическая промышленность, медицина, фармакология, косметическая, парфюмерная, пищевая промышленность и многое другое. Решают такие задачи и хозяйки, рассчитывая, например, количество муки, нужное для приготовления бисквита.

4.  Задачи на процентный прирост, среднее арифметическое.

Решение задач на процентный прирост и среднее арифметическое тесно связано с тремя понятиями:

• нахождение части от целого;
• восстановление целого по известной его части;
• нахождение процентного прироста.

Приведем примеры.

Задача 9.

Мясо теряет при варке своего веса. Сколько надо взять сырого мяса, чтобы получить 520 г вареного?

Решение:

1. 100 – 35=65% - составляет вареное мясо от сырого.
2. 520: 0,65= 800 (г) – сырого мяса.

Ответ: 800 г сырого мяса надо взять.

Задача 10.

За 8 месяцев рабочий выполнил 96% годового плана. Сколько процентов годового плана выполнит рабочий за 12 месяцев, если будет работать с той же производительностью?

Решение:

8 месяцев – 96%

12 месяцев – х %

 =

х= = 144

Ответ: 144 % годового плана выполнит рабочий.

Задача 11.

В фермерском хозяйстве отведены под пшеницу три участка, площади которых равны 12 га, 8 га, 6 га. Средняя урожайность на первом участке - 18 центнеров с 1 га, на втором - 19 центнеров с 1 га, на третьем - 23 центнера с 1 га. Чему равна средняя урожайность пшеницы в этом хозяйстве?

Решение:

(12  18 + 8  19 + 6  23) : (12 + 8 + 6) = 19 (ц)

Ответ: средняя урожайность пшеницы равна 19 ц.

Задача 12.

Прибыль, полученная фирмой за первые два квартала текущего года, составила 126000 р, причем прибыль, полученная во втором квартале, была на 10% выше, чем в первом. Какую прибыль получила фирма в первом квартале?

Решение:

Пусть х руб. – прибыль за I квартал

Тогда 0,1 х + х =  1,1 х руб. - прибыль за II квартал

1,1х+х= 12 6000

2,1х= 12 6000

х= 60 000

Ответ: 60 000 рублей прибыли получила фирма в первом квартале.

Задача 13.

За денежный почтовый перевод до 1000 р.в некотором городе берется плата 7 р. плюс 5% от переводимой суммы. Посетитель имеет 800 р укажите наибольшее целое число рублей, которое он может перевести.

Решение:

Пусть х руб. – можно перевести.

7 + 0,5х руб. – берется плата

х + 7 + 0,05х= 800

1,05х= 793

х 755,24

Ответ: 755 рублей можно перевести.

Основное использование задач, связанных с приростом и убылью, - составление статистики. По телевизору мы часто слышим сведения об изменении населения страны, о росте курса доллара и т. д. Всю эту информацию получают, решая подобные задачи.

Кроме этого, расчеты процентов занимают главное место в банковском деле и экономике. Каждый третий человек на Земле хотя бы раз оформлял кредит и сталкивался с необходимостью подобных расчетов.

5. Задачи на нахождение длин, площадей и объемов.

Задачи такого вида решают с использованием геометрических формул. Основное практическое применение таких задач – в строительстве. Так рассчитывается количество материала, нужное для постройки конструкций, для покраски поверхностей и т. д.

Задача 14.

Фотографическая карточка размером 12*18 см наклеена на лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с рамкой занимает площадь 280.

Решение:

Пусть х – ширина рамки.

Тогда 2х + 12 – ширина, 2х + 18 – длина листа.

(2х + 12) (2х + 18)= 280

4+ 60х – 64 = 0

 + 15х – 16= 0

х1= 1

х2= -16(не удовлетворяет условию задачи)

Ответ: 1 см – ширина рамки

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе работы были исследованы текстовые задачи, рассмотрены методы работы над задачами и определены общие модели решения. Также при поиске информации были обнаружены доказательства того, что такие задачи появились в далекой древности из-за нужды человека решать различные бытовые проблемы.

Мы выяснили, что т. к. текстовые задачи распространены и затрагивают все сферы жизни человека, для преобразования условия задачи в математическую модель важно понимать реальную ситуацию.  

Мы определили основные общие направления деятельности людей, где используются текстовые задачи.

На основе полученных данных можно сделать вывод о том, что в современном обществе, как и в прошлом, широко применяется решение задач, сформулированных в виде текста. Навыки составления и решения текстовых задач чрезвычайно полезны и нужны в дальнейшей жизни.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. - Москва, Мнемозина, 2013.
2. Алгебра.  7 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. - Москва, Мнемозина, 2012.
3. Алгебра. 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. –Москва,  Просвещение, 2010.
4. Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев и др. –Москва,  Просвещение, 2010.
5.  Математика. 6 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций/ И.И. Зубарева, А.Г.Мордкович. - Москва, Мнемозина, 2014.
6. Готовимся к олимпиадам по математике. Учебно-методическое пособие. /А.В. Фарков. – Москва, Экзамен, 2010.
7. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. – Москва, Просвещение, 1990.