История доказательства теоремы Пифагора
В данной презентации рассматривается история доказательства теоремы Пифагора и несколько задач по этой теме.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Презентация "История доказательства теоремы Пифагора" | 1.91 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Биография Пифагора Пифагорейская школа Открытия Пифагора Пифагор и музыка Теорема Пифагора Проверь себя Содержание Остров Самос
Биография Пифагора Пифагор- не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность. Подлинную картину его жизни и достижений восстановить трудно, так как письменных документов о Пифагоре не осталось С берегов Средиземноморья- колыбели европейской цивилизации, с тех давних времен, названных «весною человечества», дошло до нас имя Пифагор
Биография Пифагора Известно, что родился Пифагор на острове Самос, расположенном в Эгейском море, в 576 г. до н. э. По совету Фалеса 22 года набирался мудрости в Египте В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет его взяли в плен и продали в рабство. Более 10 лет он жил в Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.
Пифагор -легенда Фигура Пифагора была окружена множеством легенд: его считали перевоплощенным богом Аполлоном; полагали, что у него было золотое ребро; он был способен преподавать в одно и то же время в двух местах; он мог «вызвать затмение» при помощи цифр…изгнать болезнь
Пифагор – первый из философов своего времени удостоился, чтобы портрет его появился на древних монетах
«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора» Иоганн Кеплер
Пифагорейская школа Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В кружок принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так на юге Италии, которая была тогда греческой колонией, возникла пифагорейская школа.
Пифагорейская школа Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. Звездчатый пятиугольник, или пентаграмма, - пифагорейский символ здравия и тайный опознавательный знак
Открытия Пифагора Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математике и, прежде всего, в геометрии. Гениальная догадка Пифагора состоит в том, что в геометрии можно выбрать конечное число истин ( аксиом ), из которых с помощью логических правил выводимо неограниченное число предложений. Так впервые возник аксиоматический метод построения науки.
В основе учения Пифагора лежало представление о числе, как основе всего существующего . « Числа правят миром » - говорил Пифагор. Об этом подробнее ты можешь узнать на страничке для любознательных. Открытия Пифагора
Пифагор и музыка Примечательно, что отправным пунктом в пифагорейском учении о числе была музыка. По преданию, сам Пифагор установил, что приятные слуху созвучия получаются лишь в том случае, когда длина струн, издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четверки 1 : 2 2 : 3 3 : 4 Появилась музыкальная октава и гамма. Пифагор со своими учениками. Иллюстрация из книги Франкино Гафурио «Теория музыки». Милан.1492 г. Гравюра изображает акустические опыты Пифагора на сосудах и трубах, находящихся в отношениях 4 : 6 : 8 : 9 : 12 : 16
Теорема Пифагора И, конечно, трудно найти человека, у которого бы имя Пифагора не ассоциировалось с теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано : ABC – треугольник угол С –прямой a,b – катеты , c – гипотенуза Доказать : с 2 = a 2 + b 2 a b c Доказательство : достроим треугольник ABC до квадрата со стороной a + b c b a b a b a S кв = ( a + b) 2 . С другой стороны этот квадрат состоит из четырех равных треугольников, площадь которых равна 0,5 ab x 4 = 2ab , и квадрата с площадью с 2 . Отсюда ( a + b) 2 = c 2 + 2ab , a 2 + b 2 = c 2
Теорема Пифагора- одна из главных теорем геометрии Если дан нам треугольник И при том с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим- И таким простым путем К результату мы придем.
Она была известна задолго до Пифагора. За 8 веков до н. э. эта теорема была хорошо известна индийцам под названием «Правила веревки» и использовалась ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта. Теорема Пифагора имеет богатую историю. Пифагор, не открыл эту теорему, а нашел ее доказательство, хотя доказательство самого Пифагора до нас не дошло. Значение теоремы состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач.
«Пифагоровы штаны во все стороны равны»
Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямо - угольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах ». Современная формулировка теоремы Пифагора «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ».
Существует более 340 различных доказательств теоремы Пифагора ( геометрических, алгебраических, механических и т.д.) Теорема Пифагора занесена в книгу рекордов Гиннеса, как теорема имеющая наибольшее количество доказательств
История открытия теоремы Обычно открытие теоремы Пифагора приписывают Пифагору. Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга Пифагора в том, что он открыл доказательство этой теоремы.
а c b Дано: Доказать: c 2 = a 2 +b 2 a a a a b b b c c c Таким образом, Один из способов доказательства теоремы c b
Доказательство теоремы Пифагора по Басхари Иллюстрирует Доказательство великого индийского математика Басхари рисунок, с одним лишь словом: СМОТРИ! c a b 0,5ab 0,5ab 0,5ab (b-a) 2 0,5 ab
b A B C a c F D E Метод Гофмана Построим треугольник ABC с прямым углом С Построим BF=CB, BF CB Построим BE=AB, BE AB Построим AD=AC, AD AC Точки F, C, D принадлежат одной прямой. четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF= Е CB . Треугольники ADF и ACE равновелики. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC , получим: 1/2а 2 +1/2 b 2 =1 / 2 с 2 Соответственно: а 2 + b 2 = с 2
Метод Мёльманна c B A C a b Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5 ab , с другой 0.5 pr , где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности ( r = 0.5(a+b-c)) Имеем: 0 .5ab=0.5pr=0.5(a+b+c)*0.5(a+b-c) Отсюда следует , что с 2 =а 2 + b 2
«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ». c a b Теорема Пифагора
Х 3 4 5
Х 6 8 10
Х 9 15 12
Пифагоровы треугольники Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон треугольников выражаются целыми числами называются пифагоровыми треугольниками Примеры: 3, 4, 5 5, 12, 13; 8, 15, 17 7, 24, 25 Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским треугольником
Формулировка теоремы, обратной теореме Пифагора Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Определите Какой треугольник является прямоугольным? 13 м; 5 м; 12 м; 2) 6 дм; 8 дм; 12 дм.
Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим — И таким простым путем К результату мы придем. И. Дырченко
Решение практических задач
Древнерусская задача Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены тоя же высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествици нижний конец от стены отстояти имать. Дано: АВС, 90 º , АС = 117 стоп, АВ = 125 стоп. Найти: ВС Решение:
Тополь у реки «На береге реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С течением реки его угол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?» Дано: АС = 3 фута, AD = 4 фута, BC = CD . Найти: АВ. Решение: AB=AC+CB=AC+CD. CD= AB=5+3=8 ACD,
Самостоятельная работа 1 Вариант 2 Вариант 6 10 a 8 6 c 5 13 13 12 b a 1 2 1 2 c 8 b 3 3 16 8 10 12 8 5 16
С В А 4 3 Найти S АВС Ответ: 6
Проверь себя Составьте по рисунку, используя теорему Пифагора, если это возможно, верное равенство: 4 3 x X 2 = 3 2 + 4 2 Вычислите , чему равна гипотенуза ? 5 Обратите внимание на эти три числа : 3 , 4 , 5 Треугольник с такими сторонами иногда называют египетским
Проверь себя 8 6 0 d Дано : О – центр окружности Чему равно d ? d 2 =6 2 + 8 2 Равенство можно составить , поскольку треугольник вписан в окружность и одна из его сторон является диаметром к этой окружности . Следовательно , треугольник прямоугольный , поэтому можно воспользоваться теоремой Пифагора.
Проверь себя 3 5 х Составь верное равенство В данном случае использовать теорему Пифагора нельзя , так как неизвестно , о каком виде треугольника идет речь, а, значит утверждать , что треугольник прямоугольный нельзя.
Итак , на что надо обращать особое внимание при применении теоремы Пифагора ? Надо убедиться , что треугольник прямоугольный
С В А 3 30 0 Найти S АВС 6 Ответ: 4,5
С В А 4 45 0 Найти S АВС Ответ: 8
С В 4 А 5 Найти S АВС
Спасибо за внимание!
Как нарисовать ветку ели?
Соленая снежинка
Земля на ладонях. Фантастический рассказ
Сила слова
Машенька - ветреные косы