Лист Мёбиуса

Опубликовано Копытова Юлия Александровна вкл 27.04.2015 - 18:50

Автор:

Семенов Никита

Проблемный вопрос: Что можно сделать с бесконечностью?

Актуальность исследования: Хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке, и в XXΙ. Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются сейчас в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве, в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма. Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и листу Мёбиуса.

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений. Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи, магнитофонные ленты. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Кроме того, существует предположение, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуются с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль всё время летящий прямо может вернуться к месту своего старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Цель: показать практическое применение ленты Мёбиуса в современном мире.

Предмет исследования: лист Мёбиуса.

Объект исследования: практическое применение ленты Мёбиуса.

Гипотеза: в математике бывают любые чудеса и крайности, и поверхность с одной стороной – далеко не самое чудесное её свойство.

Задачи исследования:

Провести обзор литературы по теме «Лист Мёбиуса»
Изучить построение ленты Мёбиуса.
Рассмотреть практическое применение листа Мёбиуса в различных сферах профессиональной деятельности человека.
Изготовить модель ленты Мёбиуса и показать практическое применение данной модели.

Скачать:

Вложение	Размер
proekt_semenova_nikity.docx	739.52 КБ

Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ЛИЦЕЙ № 57

Научно-практическая конференция

Секция: математика

Название работы:

«Волшебный лист – лист Мёбиуса»

Автор работы:

Семенов Никита

ученик 5 «А» класса, МБУ лицея № 57

Научный руководитель:

Копытова Юлия Александровна

учитель математики, МБУ лицея №57

Тольятти, 2012

Содержание

Введение 3

История возникновения ленты 4

Построение ленты Мёбиуса 5

Проведение опытов с листом Мёбиуса 6-7

Практическое применение листа Мёбиуса 8-10

Модель ленты Мёбиуса 11

Заключение 12

Литература 13

Введение

Проблемный вопрос: Что можно сделать с бесконечностью?

Актуальность исследования: Хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке, и в XXΙ. Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются сейчас в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Цель: показать практическое применение ленты Мёбиуса в современном мире.

Предмет исследования: лист Мёбиуса.

Объект исследования: практическое применение ленты Мёбиуса.

Гипотеза: в математике бывают любые чудеса и крайности, и поверхность с одной стороной – далеко не самое чудесное её свойство.

Задачи исследования:

Провести обзор литературы по теме «Лист Мёбиуса»
Изучить построение ленты Мёбиуса.
Рассмотреть практическое применение листа Мёбиуса в различных сферах профессиональной деятельности человека.
Изготовить модель ленты Мёбиуса и показать практическое применение данной модели.

История возникновения ленты

Август Фердинанд Мёбиус годы жизни 1790-1868г.г., немецкий геометр. Родился в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. Профессор Лейпцигского университета с 1816 года. Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования; получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования; исследовал коррелятивные преобразования. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. Работая в спокойном уединении, Мёбиус сделал много интересных открытий. Установил (1858г.) существование односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

Открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, ученик знаменитого К.Ф. Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса – всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две стороны.

Мёбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. Свойство геометрических фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, изучает математическая наука топология. Любопытно, что это название ей дал Иоганн Листинг. Начало этой современной науки положили исследования листа Мёбиуса.

Построение ленты Мёбиуса

Самое же удивительное, пожалуй, то, что я смогу её сделать своими руками и это совсем несложно.

Лист Мёбиуса относится к числу (математических неожиданностей). Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную бумажную ленту . Прикладываем ее концы и друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка совпала с точкой , а точка с точкой .

Проведение опытов с листом Мёбиуса

Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием ”топология”, простейшая неориентируемая односторонняя поверхность с краем.

Для проведения опытов я изготовил бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см. Чтобы понять, в чём особенность листа Мёбиуса, я проводил опыты

с обычным бумажным кольцом и с перекрученным (листом Мёбиуса).

Опыт №1

Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку.

Обычное кольцо: Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая остаётся чистой.

Лист Мёбиуса: Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке. $F:\Documents and Settings\Общая\Рабочий стол\P1020385.JPG$

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса является непрерывной.

На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся «переползать» через край ленты. Разрывов нет – непрерывность полная.

Опыт №2

Закрасим полностью только одну сторону колец. $F:\Documents and Settings\Общая\Рабочий стол\P1020386.JPG$

Обычное кольцо: Одна сторона закрашена, другая нет.

Лист Мёбиуса: Закрашенной оказался весь лист целиком.

Вывод: Поверхность листа Мёбиуса односторонняя.

Лист оказался закрашенным полностью! А ведь мы его даже не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть,

даже если бы очень захотели. Лист Мёбиуса имеет одну поверхность. «Внешняя» и «внутренняя» стороны как бы по ходу движения вдоль ленты

переходят друг в друга.

Опыт №3

Закрасим непрерывной линией только один край колец. $F:\Documents and Settings\Общая\Рабочий стол\P1020384.JPG$

Обычное кольцо: Один край кольца закрашен, второй

край нет.

Лист Мёбиуса: Линия края получилась, непрерывно

закрашена на всём кольце.

Вывод: У листа Мёбиуса не только одна сторона, но и

только один край!

Опыт №4 $F:\Documents and Settings\Общая\Рабочий стол\P1020387.JPG$

Разрежем кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям.

Обычное кольцо: Получилось два кольца, точнее две половинки от исходного кольца. Каждое кольцо будет уже, но длина будет такой же, как длина первоначального кольца.

Лист Мёбиуса: Получилось одно большое перекрученное кольцо

в виде восьмёрки.

Опыт №5 $F:\Documents and Settings\Общая\Рабочий стол\P1020388.JPG$

Если разрезать ленту Мёбиуса, отпуская от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами

Практическое применение листа Мёбиуса

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Днк2

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

шлиф

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах.

Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных скульптур, картин и для графического искусства. kex13big

2129751

545_lb

Мёбиусовая лента понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из специального покрытия. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую.

Модель ленты Мёбиуса

Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза, потому, что вся поверхность листа равномерно изнашивается.

Построив лист Мёбиуса, и изучив его свойства, ознакомившись с практическим применением листа Мёбиуса в современном мире, я решил изготовить свою модель и показать полезность этой модели в жизни.

Я, Семенов Никита, изготовил модель «Ленточный конвейер», лентой для которого служит лист Мёбиуса.

Для создания данной модели я использовал три консервные банки с высверленными, на плоских поверхностях, отверстиями, металлический конструктор, который впоследствии не понадобился, деревянный каркас, металлические штыри (некоторые с резьбой, некоторые – без), несколько гаек и шайб, две ленты Мёбиуса (одна, которая использована в конвейере, другая – та, которую вы видите перед собой). $C:\Users\Юлия\Desktop\P1020403.JPG$

Сначала я хотел сделать его из двух серединок пластиковых бутылок с осью из проволоки, но потом решил взять две банки и сделать для них ось из металлического конструктора. У меня получилось, но конвейер вышел непрочный. Тогда папа предложил мне сделать такой конвейер, какой вы видите передо мной. Это было не очень сложно, и через несколько дней работы конвейер был готов.

Заключение

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:

- у математиков - идут дальнейшие исследования;

- у школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;

- у учителей – есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой;

- в технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.

Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов и многих, многих других. В результате появились картины, скульптуры, марки, и прочие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса. Я думаю, что следов Мёбиуса в искусстве будет ещё много.

Лист Мёбиуса – удивительный феномен. Его можно исследовать до бесконечности и рассказывать о Ленте Мебиуса можно удивительно долго.

Литература

А.П.Савин, В.В. Станцо, А.Ю.Котова «Я познаю мир математика»
Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября», №14 1999г., № 24 2006г.
М.Гарднер «Математические чудеса и тайны» «Наука» 1978 г.
И.Ф. Шарыгин . Л.Н. Еранжиева «Наглядная геометрия» 5-6 класс.

«Дрофа» 2000г.