РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

Ханты-Мансийский автономный округ - Югра  

  Слет научных обществ учащихся

образовательных организаций общего и дополнительного образования детей    города Нижневартовска в 2014 году

Секция: прикладная  математика

МАТЕМАТИКА ЭФФЕКТИВНОСТИ

город Нижневартовск

2014г.

Математика эффективности

Кульчанов Аскар Маратович

Ханты-Мансийский автономный округ-Югра

город Нижневартовск

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

"Средняя общеобразовательная школа  №15"
7-Акласс

Аннотация.

Повседневная жизнь изобилует ситуациями, когда какой-либо цели требуется достичь максимально эффективным способом. Проблемы такого рода, решение которых в прошлом находили интуитивно, в настоящее время рассматриваются с помощью широкого спектра математических методов, обеспечивающих систематический подход. Общее название этих разнообразных задач – исследование операций или математика эффективности.

Исследование операций – отрасль математики, возникшая в середине ХХ в. для устранения непростых проблем. Но математики воспринимали их не как проблемы, а как конкретные практические задачи, решаемые более эффективным способом.

Знакомясь с моей работой, Вы узнаете о моих исследованиях по достижению цели, поставленной мною в начале проекта и откроете для себя тайну эффективной математики при решении задачи практического содержания.

Математика эффективности

Кульчанов Аскар Маратович

Ханты-Мансийский автономный округ-Югра (Тюменская область)

город Нижневартовск

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

"Средняя общеобразовательная школа  №15"
7-Акласс

План исследования.

Ежегодно, в нашей школе проходит «Осенняя ярмарка», где каждый класс выставляет на продажу дары осени, подделки из осенних материалов или иную продукцию. На следующий год, для наиболее эффективной материальной помощи школе, т.е. для получения наибольших средств, мальчики  параллели седьмых и восьмых классов решили воспользоваться возможностями прекрасно оборудованного кабинета труда и помощью спонсора нашей школы  ООО «Сибинстрой» и выставить на продажу продукцию собственного производства. Мы решили изготовить скалки и ложки из дерева. Условием классного руководителя было разнообразие выбора и доступность в цене.

Но у нас возникает вопрос: "Сколько скалок и ложек следует производить в неделю, чтобы валовой показатель был максимальным?"

Гипотеза:

Для наиболее эффективной продажи необходимо изготовить  наибольшее количество только дорогой продукции.

Цель:  

Рассчитать, сколько продукции каждого вида надо изготовить для наиболее эффективной продажи.

Для достижения поставленной цели  решались следующие задачи:

• изучение теории метода, позволяющего  рассчитать наиболее эффективное производство - симплекс - метода;
• рассмотрение истории возникновения распределения ресурсов с целью достижения максимальной эффективности, а именно  исследования операций;
• изучение оптимизации валового показателя;

Изучение исследования операций – дело не одного дня, требующее внимания, времени, вдумчивости, а также правильного выбора методов исследования.

Методы исследования(edu-lider.ru)

• сбор информации;
• анализ собранной информации;
• исследовательские;
• обработка опытных данных;
• практико-ориентированные (прикладные).

Оглавление.

Ведение.        

2.Теоретическая часть.        

2.1 Возникновение исследования операций.        

2.2 Симплекс-метод.        

3. Практическая часть.        

3.1 Условие практической задачи.        

3.2 Решение задачи.        

Заключение.        

Информационные источники.        

Математика эффективности.

Кульчанов Аскар Маратович

Ханты-Мансийский автономный округ-Югра (Тюменская область)

город Нижневартовск

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

"Средняя Общеобразовательная Школа  №15"
7-Акласс

Ведение.

Русский математик и экономист Леонид Канторович еще в 1939 году разработал модель в сфере линейного программирования как инструмент экономического планирования. Он осуществил критический анализ советской экономики, основанный на децентрализации в условиях нехватки ресурсов, но не встретил одобрения коллег, закоренелых марксистов. Про метод забыли – до тех пор, пока Джордж Данциг не возродил его в виде симплекс-метода. В 1975  г. Канторович вместе с Тьяллингом Купмансом был удостоен Нобелевской премии по экономике за работы по оптимальному распределению ресурсов.

К сфере исследования операций называющейся линейным программированием относятся не математические головоломки, тесты на сообразительность или вопросы на засыпку на экзаменах, а реальные проблемы, постоянно возникающие в торговле, в промышленности, в организации работы какого-либо транспорта – от расписания авиарейсов до графика вывоза мусора из города, - в военном деле и в национальном здравоохранении.

2.Теоретическая часть.

2.1 Возникновение исследования операций.

Термин «операция» происходит из военного дела. Исследования операций появились во время Второй мировой войны, когда встал вопрос о распределении ресурсов с целью достижения максимальной эффективности. Например с защитой от японских летчиков-смертников камикадзе. Эти самолеты, нагруженные снарядами, пикировали прямо на североамериканские боевые корабли, взрывались и топили их. Группе, занимавшейся исследованием операций, предстояло решить, какая тактика защиты наиболее эффективна в случае подобных атак. После завершения исследований группа представила отчет, предложив тактику, которой следовало придерживаться (скорость движения судна, последовательность залпов из противовоздушных орудий ит.п.). Корабли, которые не следовали этим рекомендациям, становились жертвами камикадзе в 47% случаев. Те же корабли, экипажи которых следовали предложенной стратегии, несли ущерб лишь в 29% случаев нападения камикадзе.

2.2 Симплекс-метод.

  После войны новая наука была обращена на пользу гражданскому обществу, ключевым для нее стал 1947г., когда Джордж Данциг представил симплекс-метод, считающийся одним из величайших научных достижений ХХв. и основанный на линейном программировании.

Суть симплексного метода состоит в следующем: необходимо максимизировать (соответственно минимизировать) некий критерий при наложенных линейных ограничениях. Этим критерием может выступать валовой доход от реализации продукции, совокупные операционные расходы на производство товаров и так далее. При этом на переменные, влияющие на значение критерия, накладываются линейные ограничения в виде уравнений или неравенств. По существу, симплекс-метод – это усовершенствованный графический метод решения задач ЛП в многомерном пространстве (на рисунке условное изображение симплекса, красным показан путь из опорной точки к точке оптимума).

3. Практическая часть.

3.1 Условие практической задачи.

Для достижения цели нашей исследовательской работы необходимо, применяя метод исследования операций, решить задачу следующего содержания: «Мальчики параллели 7 и 8 классов должны изготовить деревянные скалки - продукция типа «А»  и деревянные ложки – продукция типа «В». Чтобы изготовить продукцию типа А, требуется 6 часов работы (или два ученика делают одну скалку за 3 часа), чтобы изготовить продукцию типа В – 4 часа работы одного ученика. Материалы для продукций наш спонсор продает нам с таким расчетом: Материал для 1 штуки продукции типа А стоят 5 р, а материал для 1 штуки продукции типа В – 3 р. Кроме того наш классный руководитель поставил нам условие согласно которому мы должны выпускать в неделю не менее 10 скалок и ложек . Основное условие заключается в том, что продолжительность рабочей недели не может превышать 320 часов, а стоимость материалов, израсходованных за неделю, не должна быть более 250 рублей. Продукцию типа А предполагается продавать по 50 рублей, продукцию типа В – по 40 рублей. Вопрос: сколько скалок и ложек следует производить в неделю, чтобы валовой показатель был максимальным?

3.2 Решение задачи.

Для решения описанной в тексте задачи начнем со схематического отображения различных возможных величин Х (количество продукции типа А в неделю) и Y (количество продукции типа В в неделю). Представим Х и Y на осях координат, а условия задачи, изложенные в тексте, - как серию неравенств, связывающих величины Х и  Y.

Я хочу оптимизировать следующее равенство: величина валового показателя

= 50х + 40у.

Изобразим эти 4 условия на координатной плоскости (рис.1).

    рис.1           рис.2

На втором графике (рис.2) представлен участок плоскости, удовлетворяющий условиям I и II ( необходимость производить не менее 10 скалок и ложек в неделю).

Условия III и IV рассмотрим с помощью линейного программирования.

А) Рассмотрим уравнение 6х + 4у = 320.

Если х = 0, то 4у = 320, у = 80.

Если у = 0, то 6х = 320, х ≈53. Отсюда следует, что прямая а проходит через т. (0;80) и (53;0).

Б) Рассмотрим уравнение 3х + 5у = 250.

Если х = 0, то 5у = 250, у = 50.

Если у = 0, то 3х = 250, х ≈83. Отсюда следует, что прямая b проходит через т. (0;50) и (83;0) .

Прямые а ∩ b в т. В (х;у). Координаты точки можно найти по графику, но мы знаем, что графический способ не очень точный, поэтому вычислим координаты этой точки, решив систему уравнений:

6х + 4у = 320

3х + 5у = 250 (×(-2))

6х + 4у = 320

-6х – 10у = - 500

-6у = -180

У = 30

3х + 5 * 30 = 250        рис.3

3х = 100

х ≈ 33

Следовательно, т. B (33;30) – точка пересечения прямых  a и b (рис.3).

Значит, максимальную величину валового показателя можно найти по формуле:

50х + 40у = 50 * 33 + 40 * 30 = 1650 + 1200 = 2850 рублей

Третий график определяет часть плоскости, где все условия 1-4 8сходятся, образуя четырехугольник с вершинами A,B,C,D (рис.4).

рис.4            рис.5

В ходе исследования у меня возник новый вопрос: «Уменьшая количество скалок и увеличивая количество ложек одновременно, можно ли прийти к такой же величине валового показателя»?

Ответ: «Нет, величина валового показателя будет изменяться» (рис.5).

Рассмотрим прямую, заданную уравнением: 50х + 40у = 2850.

Найдем х, если у = 0 (т.е. скалки в продаже не участвуют), тогда 50х = 2850, х ≈ 57, следовательно т. K (57;0). Строю прямую BK. Все прямые параллельные прямой BK,   проходят через точки, дающие одинаковую величину валового показателя. Обратите внимание, как это число (величина валового показателя) стремится к максимуму на вершине B.Это максимум, потому что для дальнейшего прогресса нам придётся покинуть пределы четырёхугольника и нарушить условия задачи.

Заключение.

Отвечая на вопрос своего исследования: "Сколько скалок и ложек следует производить в неделю, чтобы валовой показатель был максимальным?" я пришёл к выводу о том,  что интуитивно ответить на этот вопрос нельзя. Для того чтобы ответ был верным  необходимо изучить спектр математических методов, обеспечивающих систематический подход, а именно, ответить на этот вопрос мне помогла отрасль математики  - исследование операций. Благодаря тщательному исследованию линейного программирования (одной из сфер исследования операций) я понял, что добиться максимальной прибыли соблюдая все условия продаж можно только в том случае, если сможешь решить сложную задачу. Каждое из условий задачи необходимо отобразить на координатной плоскости, в результате будет видно, сколько продукции каждого вида необходимо выпускать для наиболее эффективной продажи.  В моём случае необходимо выпускать 33 деревянные ложки и 30 скалок.

  Моя гипотеза: " Для наиболее эффективной продажи необходимо изготовить  наибольшее количество только дорогой продукции " – не  подтвердилась, т.к. на графике явно видно, что деревянных ложек, а они дешевле, для наиболее эффективной продажи надо выпустить больше чем дорогих скалок.

Цель, поставленная мною в начале исследования: " Рассчитать, сколько продукции каждого вида надо изготовить для наиболее эффективной продажи" считаю достигнутой, так как я не только узнал много нового об одной из отраслей математики – исследование операций, но и с помощью одного из её инструментов – линейного программирования,  научился решать сложные задачи в сфере продаж.

Информационные источники.

1. Ильченко А.Н., Ксенофонтова О.Л., Канакина Г.В. Практикум по экономико-математическим методам. - М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2009.
2. Тынкевич М.А. Экономико-математические методы (исследование операций). Изд. 2, испр. и доп. - Кемерово, 2000.
3. Интернет источники: enc-dic.com›Большая Советская энциклопедия›
4. Интернет источник deagostini.ru, рубрика: "Математическая вселенная"