Старинные меры длины

Юго-Восточное окружное управление образования 

 Департамента образования города Москвы

Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы лицей № 1524

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

«Старинные меры длины»

Выполнил:

Никольский Кирилл,

 5 «Э» класс

Руководитель:

 Иеву Нина Васильевна,

учитель математики

2015 год

Паспорт проекта

Тема проекта: Старинные меры длины

Гипотеза: Современному человеку необходимо знание старинной системы мер длины.

Цель исследования:

Исследовать старинные русские меры длины, в ходе исследования подтвердить или опровергнуть гипотезу.

Задачи  исследования:

• Изучить старинные русские меры длины.
• Познакомиться с мерами длины в России XVIII века.
• Узнать о метрической системе.
• Провести сравнительный анализ величин русских старинных мер длины и евро-американских мер длины с метрической системой.
• Провести эксперимент.
• Составить словарь старинных мер длины.
• Составить сборник задач со старинными мерами длины.
• Создать словарь фразеологизмов и пояснение пословиц.
• Рассказать о результатах исследования одноклассникам.

Предмет исследования: Сведения о различных мерах длины.

Объект исследования: Старинные русские единицы измерения длины и их значения.

Методы исследования:

• Изучение научной, художественной, познавательной литературы.
• Наблюдение и эксперимент.
• Сравнительный анализ.

Практическая значимость:

• Составление  словаря старинных мер длины.
• Составление сборника задач со старинными мерами длины.
• Сравнительный анализ величин русских старинных мер длины и евро-американских мер длины с метрической системой.

• Создание словаря фразеологизмов и пояснение пословиц.
• Повествование результатов исследования одноклассникам.

Оглавление

Введение

Глава 1. Старинные меры длины.

Глава 2. Меры длины в России XVIII века.

Глава 3. Метрическая система.

Глава 4. Сравнительный анализ величин русских старинных мер длины и евро-американских мер длины с метрической системой.

Глава 5. Эксперимент.

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

   Наблюдая и обучаясь математике, мы знаем, какими инструментами и величинами пользуются люди для выполнения различных измерений:

• Чертят линии, отрезки, фигуры с помощью линейки (в школе на уроке математики).
• Рост человека измеряют с помощью специального ростомера (в поликлинике измеряет врач, ростомер на стене в детской комнате).
• Длину, ширину при покупке мебели или измерения метража помещения, площади участка и пр., измеряют с помощью рулетки.
• Количество шагов можно померить с помощью шагомера (есть во всех современных мобильных телефонах).
• Размер объема частей человеческого тела измеряют сантиметром (для снятия мерок при пошиве одежды).

Стало интересно, а как же справлялись люди в старину, когда им надо было произвести замеры? И целесообразно ли сейчас пользоваться старинными мерами длины не прибегая к современной системе и измерительным инструментам?

 «Наука начинается там, где начинают измерять»

Д.И. Менделеев

Глава 1. Старинные меры длины

   Уже для первобытного человека, строившего себе жилище,  изготовлявшего простейшие орудия и предметы быта, применение меры длины было необходимо. Первой мерой длины человека были пальцы рук и ног. Те же пальцы руки, ноги, и размеры некоторых других частей тела  (ладони, пяди, суставов пальцев и движений их – шаг, размах рук) послужили образцами первых мер длины. Некоторые из этих первобытных приемов сохранились до настоящего времени, а другие дали основание возникновению мер, в дальнейшем уточненных, употреблявшихся еще в недалеком прошлом (дюйм, локоть, сажень). За единицу измерения принимался конкретный предмет — камень, зерно, палка, веревка, предметы быта.

   Небольшие  расстояния мы и в настоящее время нередко определяем шагами. Для счета шагов имеется особый прибор – шагомер, представляющий собой механизм, вроде карманных часов. Предполагается, что другим названием шага являлся аршин. Корень "АР" в слове  аршин - в древнерусском языке (и в других, у соседних народов) означает "ЗЕМЛЯ", "поверхность земли", "борозда" и указывает на то, что эта мера могла применяться при определении длины пройденного пешком пути. Аршин - старинная русская мера длины, равная, в современном исчислении 0,7112м. Аршином, так же, называли мерную линейку. По другой версии происхождения аршинной меры длины считается расстояние от плеча до кончиков пальца вытянутой руки, что соответствует размеру среднего шага (см. приложение 1). Аршинами на Руси обычно мерили человеческий рост, кроме того,  купцы, продавая товар, как правило, мерили его своим аршином (линейкой) или по-быстрому – отмеряя 'от плеча'. Чтобы исключить обмер, властями был введён, в качестве эталона – "казенный аршин", представляющий собой деревянную линейку, на концах которой клепались металлические наконечники с государственным клеймом.

    Для измерения полей шаг оказался слишком малой мерой. Возникли новые меры двойной шаг или трость, а затем – двойная трость. Для измерения больших расстояний употреблялась мера, равное тысячи двойной шагов или тростей, отсюда произошло название русской меры расстояний – миля, от латинского слова milia – тысяча. Большие расстояния измерялись переходами (за определенный период времени) привалами, днями передвижения. В рассказе Джека Лондона индеец  на вопрос о расстоянии до некоторого места отвечает: «Едешь 10 снов, 20 снов, 40 снов» (т.е. суток). В старинных русских договорных грамотах о пожаловании земли можно встретить такое определение размеров даруемого участка: «От такого – то места во все стороны на бычачий рев », т.е. на такое расстояние, с которого еще можно слышать рев быка. В этнографической литературе известны другие аналогичные меры расстояний: «коровий крик» - у индийских племен, «петушиный крик» - у других народов. Кроме того, «трубка» у моряков           ( расстояние, проходимое судном при нормальной скорости, пока курится набитая табаком трубка) - Эстония, «сигара» - Испания, «лошадиный башмак» - Япония, «стрела» (дальность полета стрелы) – у многих народов. Русские выражения: «не подпускать на ружейный выстрел», позднее на пушечный выстрел, напоминают о существовании подобных единиц измерения.  

     Старорусская путевая мера (её раннее название - ''поприще'') – верста. Этим словом, первоначально называли расстояние, пройденное от одного поворота плуга до другого во время пахоты. Два названия долгое время употреблялись параллельно, как синонимы. Известны упоминания в письменных источниках 11 века. В рукописях XV в. есть запись: "поприще сажений 7 сот и 50" (длиной в 750 сажень). До царя Алексея Михайловича в 1 версте считали 1000 саженей. При Петре Первом одна верста равнялась 500 саженей, в современном исчислении - 213,36 X 500 = 1066,8 м. Величина версты неоднократно менялась в зависимости от числа сажен, входивших в неё, и величины сажени. Указом  1649 года была установлена "межевая верста" в 1 тысячу саженей. Позже, в XVIII веке наряду с ней стала использоваться и "путевая верста" в 500 саженей ("пятисотная верста"). Межевая верста - старорусская единица измерения, равная двум верстам. Версту в 1000 сажен (2,16 км) употребляли широко в качестве межевой меры, обычно при определении выгонов вокруг крупных городов, а на окраинах России, особенно в Сибири - и для измерения расстояний между населенными пунктами. 500-саженная верста применялась несколько реже, в основном для измерения расстояния в Европейской части России. Большие расстояния, особенно в Восточной Сибири, определялись в днях пути. В XVIII в. межевые вёрсты постепенно вытесняются путевыми, и единственной верстой в XIX в. остается верста "путевая", равная 500 саженям. "Верстой" также назывался верстовой столб на дороге. В подмосковном селе Коломенском находилась летняя резиденция царя Алексея Михайловича. Дорога туда была оживленной, широкой и считалась главной в государстве. А уж когда поставили огромные верстовые столбы, каких в России еще не бывало, слава этой дороги возросла еще более. Смекалистый народ не преминул воспользоваться новинкой и окрестил долговязого человека коломенской верстой. Так до сих пор и величает.

   Небольшие длины было неудобно мерить шагами или верстами и оказалась гораздо удобнее в применении, встречающаяся у многих народов мира,  мера – локоть (см. приложение 2). Локоть – расстояние от конца пальцев до локтевого сгиба. Различали локоть – примерно 46 см, локоть  с кулаком, то есть расстояние от  локтевого сгиба до вытянутой кисти руки сжатой в кулак – 38 см., и большой локоть – длина руки от основания плеча до большого пальца - примерно 54 см. Обхват ствола дерева, например, удобно мерить раскинутыми руками: расстояние между концами пальцев, вытянутых в противоположных направлениях рук, называется маховая сажень русских крестьян.  Высоту предмета такой саженью измерять было неудобно, отсюда возникает – косая сажень (см. приложение 3). Считается, что это расстояние от каблука ноги до кончиков вытянутой противоположной руки. Косая сажень обычно больше маховой. В сказках о великанах говорят, что у них косая сажень в плечах. Косая сажень приблизительно равна 248 см. Сажень - старинная мера длины упоминается Нестором в 1017г. Наименование сажень происходит от глагола сягать (досягать) - на сколько можно было дотянуться рукой. Для определения значения древнерусской сажени большую роль сыграла находка камня, на котором была высечена славянскими буквами надпись: "В лето 6576 (1068 г.) индикта 6 дня, Глеб князь мерил ... 10000 и 4000 сажен". Из сравнения этого результата с измерениями топографов получено значение сажени 151,4 см. С этим значением совпали результаты измерений храмов и значение русских народных мер. Существовали саженные мерные верёвки и деревянные "складени", имевшие применение при измерении расстояний в строительстве и при межевании земли. По данным историков и архитекторов, саженей было более 10 и они имели свои названия, были несоизмеримы и не кратны одна другой. Сажени: городовая - 284,8 см, без названия - 258,4 см, великая - 244,0 см, греческая - 230,4 см, казённая - 217,6 см, царская - 197,4 см, церковная - 186,4 см, народная - 176,0 см, кладочная - 159,7 см, простая - 150,8 см, малая - 142,4 см и ещё одна без названия - 134,5 см (данные из одного источника), а так же - дворовая, мостовая. Но наиболее часто встречаются упомянутые выше – косая и маховая сажени.

    Для измерения меньших расстояний употреблялась ладонь – ширина кисти руки. Для мелких мер длины, базовой величиной была, применяемая испокон на Руси мера - "пядь" (c 17-го века - длину равную пяди называли уже иначе – "четверть аршина", "четверть", "четь"), из которой глазомерно, легко можно было получить меньшие доли – два вершка (1/2 пяди) или вершок (1/4 пяди). Пядь - это расстояние между пальцами, большим и указательным или средним. Различали пядь малую – 19 см,. пядь великую – 22 см., пядь с кувырком – 27 см. (см. приложение 4) По Далю «пядь с кувыркой» - пядь с прибавкой двух суставов указательного палица (пальца). Еще одной из малых величин на Руси являлся перст – старинное название указательного пальца руки, ширина которого равна приблизительно 2 см.

    Вершок -  равнялся 1/16 аршина, 1/4 четверти (см. приложение 5). В современном исчислении - 4,5см. Наименование "Вершок" происходит от слова "верх". В литературе XVII в. встречаются и доли вершка - полвершки и четвертьвершки.

При определении роста человека или животного счёт велся после двух аршин (обязательных для нормального взрослого человека): если говорилось, что измеряемый был 15 вершков роста, то это означало, что он был 2 аршина 15 вершков, т.е. 209 см.

Для человека использовали два способа полного выражения роста:

1 -  в локтях и пядях;

2 -  в аршинах и вершках

Рост домашних животных мерили в вершках, а высоту деревьев в аршинах.

Глава 2. Меры длины в России XVIII века.

    К XVIII веку насчитывалось до 400 различных по величине единиц мер, употребляемых в разных странах. Разнообразие мер затрудняло торговые операции. Поэтому каждое государство стремилось установить единообразные меры для своей страны.

В России, ещё в XVI и XVII вв. были определены единые для всей страны системы мер. В XVIII в. в связи с экономическим развитием и необходимостью строгого учёта при внешней торговле, в России встал вопрос точности измерений, создании эталонов, на основе которых можно было бы организовать поверочное дело ("метрологию").

      с XVIII века в России стали использовать футы и дюймы, продолжая измерять длины в аршинах и сажнях. Дюйм – который первоначально был длиной сустава большого пальца или был равен длине трех сухих зерен ячменя, взятых из средней части колоса (см. приложение 6). На это указывает само название этой меры: duim – голландское название большого пальца. Этот размер равен 2,54 см. Происхождение самой единицы не определено, поскольку ученые не сошлись во мнениях, откуда оно пошло: Голландия, Англия или даже Римская империя.  В русский быт мера дюйм и само слово вошли при Петре I, для облегчения политических и торговых отношений между народами. Одновременно с дюймом была уточнена другая мера – фут, употребляющаяся с древних времен многими народами. Фут – это средняя длина ступни человека (foot – англ. ступня). «Международный фут» равняется 0,3048 м (см. приложение 7). До введения метрической системы фут определялся как 12 дюймов (реже 10 или 16). Хотя различали русский, баденский, баварский, прусский, саксонский, австрийский, швейцарский, парижский футы и везде эта величина была различна. В настоящее время фут используется в Великобретании, США, Канаде и некоторых других странах.

   Образцом меры длины в XVIII при определении величины аршина и сажени послужила линейка, принадлежавшая ранее Петру I. На линейке был обозначен полуаршин. По этой полуаршинной мере были изготовлены образцы мер длины – медный аршин и деревянная сажень. В 1736 г. Сенат принял решение об образовании Комиссии весов и мер во главе с главным директором Монетного правления графом Михаилом Гавриловичем Головкиным. Комиссией были созданы образцовые меры – эталоны, установлено отношение различных мер друг к другу, разработан проект организации поверочного дела в стране. Был внесён проект о десятичном построении мер с учётом того, что система русского денежного счета была построена по десятичному принципу.

По аршину, величина которого была определена Комиссией 1736–1742 гг., рекомендовалось в 1745 г. изготовлять «во всем Российском государстве аршины». К 1807 г. были изготовлены три эталона аршина (хранились в Петербурге): хрустальный, стальной и медный. Основанием при определении их величины послужило приведение аршина и сажени к кратному отношению с английскими мерами – в сажени 7 английских футов, в аршине – 28 англ. дюймов. Эталоны были утверждены Александром I и переданы на хранение в Министерство внутренних дел. Указом 1835 года было определено соотношение русских мер с европейскими:

Сажень=7 футам.

Аршин=28 дюймам.

Глава 3. Метрическая система

В современном мире мы пользуемся единой метрической системой мер длины, которая появилась в конце XVIII века. Французы измерили расстояние от г. Дюнкерк (на северном побережье Франции) до г. Барселона (на юге Испании). Линию провели через Париж. Одну десятимиллионную часть четверти парижского меридиана предложили считать единицей и назвать ее метром. Так появился эталон метра, который сейчас находится в пригороде Парижа, городе Севре, в Международном бюро мер и весов. Вместе с метром родилась и метрическая система. В метрической системе преобразование сводится к умножению или делению на степень числа 10, то есть к простой перестановке запятой в десятичной дроби.

    В 1875 году 17 стран, в том числе и Россия подписали «Метрическую конвенцию». Метрическая система мер была допущена к применению в России (в необязательном порядке) законом от 4 июня 1899 года, проект которого был разработан Д. И. Менделеевым, и введена в качестве обязательной декретом Временного правительства только в 1918 году.  Хотя уже в 1893 г. в Санкт-Петербурге по инициативе Менделеева Д.И., учёного-хранителя Депо образцовых мер и весов, «для сохранения в государстве единообразия, верности и взаимного соответствия мер и весов» была учреждена Главная палата мер и весов — научный метрологический центр России. По заданию Д. И. Менделеева в 1893-1897 гг. инспекторы Главной палаты произвели внезапные ревизии в поверочных учреждениях, а также на почтамтах, фабриках, заводах, в таможнях, кустарных мастерских и в различных торговых заведениях. Как показали ревизии, в 15-ти губерниях поверка мер и весов вообще не производилась, а в 56-ти — производилась на крайне низком уровне. Недоставало образцовых мер, а те, которыми пользовались, были неисправны, зачастую на применяемых мерах клейма о поверке либо отсутствовали совсем, либо были двадцатилетней давности. Палата мер и весов в Санкт-Петербурге существует поныне и называется «Институт метрологии».

   Для популяризации новых мер поэт В.В. Маяковский в 1923 написал тексты серии «Новый вес» и «Новые меры», которые были напечатаны на обертках карамельных конфет, вот одно из этих стихотворений:

Запомни – расчет очень важен:

Два метра – приблизительно сажень.

Рисуем, чтоб каждый запомнить мог,

Четыре сантиметра – один вершок.

Запомни: эта работа не тяжка:

Один сантиметр – четверть вершка.

    К настоящему времени метрическая система официально принята во всех государствах мира, кроме США, Либерии и Мьянмы (Бирмы). Последней страной из уже завершивших переход к метрической системе стала Ирландия (2005 год). В Великобритании и Сент-Люсии процесс перехода к СИ до сих пор не закончен. В Антигуа и Гайане фактически этот переход далёк от завершения. Китай, завершивший этот переход, тем не менее использует для метрических единиц древнекитайские названия. В США для использования в науке и изготовления научных приборов принята система СИ, для всех остальных областей — американский вариант английской системы единиц.

Глава 4. Сравнительный анализ величин русских старинных мер длины и евро-американских мер длины с метрической системой.

Для того, чтобы полностью ориентироваться в системе старинных мер, на уроках математики мы с одноклассниками перевели некоторые из старинных русских и евро-американских значений в современную метрическую систему.

Результаты измерений:

Старинные русские меры длины

Евро-американские меры длины

Глава 5. Эксперимент

Эксперимент №1

Измерение моего роста

   Для измерения я сделал образцы старинных мер длины взрослого человека (одного цвета) и соответствующие им значения в сантиметрах (другого цвета).  Я встал у стены и сделал на ней  отметку моего роста для самостоятельного измерения. Мой рост получился:

1. В дюймах 62.
2. В вершках 34.
3. В пядях 8.
4. В локтях 3,4.
5. В аршинах 2,1.

Сравнивая все полученные данные и переводя их в сантиметры - вижу, что рост при переводе каждой из мер в мой эталонный образец, получается разный с большой разницей:

1. В дюймах – 155 см.,
2. В вершках – 153 см.,
3. В пядях – 152 см.,
4. В локтях – 156 см.,
5. В аршинах – 153 см.

  Исходя из полученных данных, прихожу к выводу, что старинные меры длины применять неудобно и неточно, хотя дюйм, как самая маленькая единица измерения оказалась самая точная.  Поэтому при измерении роста лучше не пользоваться старинными мерами длины,  а применять метрическую систему, в которой мой рост равен 155 см.

Эксперимент №2

                                         Измерение площадей.

   Для измерения площади комнаты я сделал образцы старинных мер измерения. Измерил ими длину и ширину комнаты. У меня получилось:

1. В дюймах длина 140, ширина 90.
2. В вершках длина 75, ширина 51.
3. В пядях длина 18, ширина 15.
4. В локтях длина 7, ширина 5.
5. В аршинах длина 5, ширина 3.

   Для определения площади все эти единицы измерения, необходимо было переводить в сажени, так как только эта единица измерения применялась в определении площадей. Я попробовал перевести вершки в сажени, и у меня получилось следующее:

Сначала нужно определить, во сколько раз сажень больше вершка, так как сажень равна 2,1 м. или 210 см. а вершок равен 4,5 см. Соответственно  210:4,5 =  46, то есть саженей в 46 раз больше вершка. Тогда в моем примере ширина будет равна 51:46 = 1,1( саженей ), длина 75:46 = 1,63 (саженей); 1,1 х 1,63 = 1,79 ( сажений2 ). Мы видим, что определение площади таким способом очень трудоемко (у меня на измерение и подсчеты ушел 1 час) и неточно, поэтому мы приходим к выводу, что лучше определять площади с помощью метрической системы мер в нашем случае длина 3,6 м, ширина 2,3м, 3,6 х 2,3 = 8,28 м2 площадь измеряемого помещения.

Заключение

   После проведения экспериментов, я подумал, что моя гипотеза не подтвердилась и современному человеку не обязательно знать старинные меры длины. Но оказалось, что это не так и в подтверждении я привожу следующие примеры:

Во-первых, по телевизору шли РИА новости, где рассказывалось о событиях в Америке. Там упоминалось о самом высоком небоскребе в мире Эмпайер-Стейт-Билдинг – высота, которого равна 1250 футам. Как же я узнаю настоящую высоту здания, если не знаю размеров этой величины в метрической системе? Кроме того в футах до сих пор в англоязычная странах измеряют рост человека, животных, высоту зданий и других объектов.

Во-вторых, читая литературу, в сказках и других произведениях, как русских, так и зарубежных мы часто встречаем старинные единицы измерения и слова их обозначающие. Поэтому, не зная значения этих обозначений можно не понять текста в полной мере. Многие выражения со старинными мерами длины стали устойчивыми сочетаниями - фразеологизмами, которые мы употребляем в речи, поэтому и надо понимать их смысл. А это не возможно без знания старинной системы мер.

В-третьих, такое обозначение как дюйм мы встречаем при упоминании о размерах экранов телевизоров и мониторов, диаметров дула пистолета, компакт дисков, водопроводных труб, автомобильных дисков и пр.

В-четвертых, на домашней беговой дорожке расстояние указывается в милях, не зная перевода в метрическую систему мили, я не узнаю, сколько пробежал на тренировке.

Это лишь некоторые из примеров подтверждающие мою гипотезу, что современному человеку необходимо знание старинной системы мер длины.

Подтверждение гипотезы о необходимости знаний старинной системы мер современным человеком вызвало необходимость:

• Составить словарь старинных мер длины (см. приложение 8).
• Составить сборник задач со старинными мерами длины (см. приложение 9).
• Создать словарь фразеологизмов и пояснение пословиц (см. приложение 10).

Список литературы:

1. Аменицкий Н.Н., «Забавная арифметика» - М.: Наука, 1991.
2. Даль В.И. «Пословицы и поговорки русского народа» - сборник в 2-х томах- М.: Художественная литература, 1984.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» - М.: Просвещение, 1989.
4. Депман И.Я. «Возникновение системы мер и способов измерения».: Учпедгиз Серия: Библиотека школьника, 1956.
5. http://wikipedia.org
6. http://mer.kakras.ru

        Приложение 1

Приложение 2

                          Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

 Приложение 7

Приложение 9

Сборник задач со старинными мерами длины:

1. «Алиса встала и подошла к столу, чтобы выяснить, какого она теперь роста. Судя по всему в ней было не больше 2 футов». Какого роста была Алиса? (60 см)
2. «Отдал царевич приказание и вскоре явились во дворец 12 добрых молодцев, его верных слуг, все на одно лицо, голос в голос, волос в волос и ростов в сажень». Какого роста были добры молодцы? (2,1м)
3. «Братья сеяли пшеницу, да возили в град-столицу; знать столица та была верст 15 от села». На каком расстоянии была столица от села? (Ответ округлите до целых). (15 км)
4. «Каков рост в миллиметрах у Дюймовочки в одноименной сказке Г-Х. Андерсена?» ( 2,5см)
5. «А.С. Пушкин говорит, что у царя Салтана родился сын «в аршин». Найдите рост будущего царя Гвидона в сантиметрах». (72 см)
6. «Обычное пожелание морякам перед плаванием: «Семь футов под килем». Сколько это будет в саниметрах? (2,5 м)
7. Кольцо баскетбольной корзины расположено на высоте 10 футов. Найдите эту высоту в метрах, сантиметрах и миллиметрах.
8. Длина футбольных ворот 7м 32 см., а высота 2 м. 44 см. Найдите размеры ворот в футах.
9. Выразите в дюймах и сантиметрах 1 вершок, 1 пядь, 1 аршин, 1 сажень.
10. Верста – 500 саженей. Найдите длину версты в метрах.
11. Есть поговорка «Пять верст до небес, и все лесом». Сколько метров «до небес»?
12.  «Коломенская верста». «Какого роста человек, которого прозвали «коломенской верстой»?
13.  Пешеходы. «Двое вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов, находящихся друг от друга на 75 верст. Один проходит в час 4 версты, другой – 3, ½» Через сколько часов они встретятся?
14. Собака и заяц. «Собака усмотрела зайца в 150 саженях от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака за 5 минут 1300 саженей». За какое время собака догонит зайца?
15.  Сбор яблок. «На расстоянии аршина одного от другого лежат в ряд 100 яблок. Перед первым яблоком стоит корзина, так же на расстоянии 1 аршина от него». Какой путь совершит тот, кто возьмется собрать все эти яблоки так, чтобы брать их последовательно одно за другим и каждое отдельно носить в корзину, которая все время стоит на одном и том же месте?
16.  Длинная борода. «Борода растет у человека, удлиняясь в неделю на 1/5 дюйма. Предположим, что борода растет с постоянной скоростью на протяжении всей жизни человека». Какой длины достигла бы борода у мужчины, который не брился в течение 30 лет?