Решение олимпиадных задач

Слайд 1

Решения олимпиадных задач Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать случая, сделать его немного занимательным. Блез Паскаль.

Слайд 2

Цель олимпиады по математике — способствовать поиску наиболее одаренных школьников . Важной особенностью задач, используемых при проведении школьного и муниципального этапов, является ориентация их на проверку развития у учащихся теоретического мышления, логики, а также творческих способностей и интуиции. Задачи школьного этапа олимпиады должны быть такой сложности, чтобы не отпугнуть учащихся, а дать им возможность продемонстрировать свои лучшие качества.

Слайд 3

Основные критерии отбора олимпиадных задач для проведения школьного и муниципального этапов Всероссийской олимпиады школьников по информатике оригинальная формулировка задачи (или идея ее решения); в тексте условия задачи не должны встречаться термины и понятия, выходящие за пределы изучаемых в рамках базового учебного плана предметов; задача должна быть однозначно определена; задача не должна требовать для своего решения специальных знаний; формулировка задачи должна предполагать наличие этапа формализации при ее решении; задача должна быть разумной сложности и трудоемкости.

Слайд 4

Основные типы и методы решения олимпиадных задач В ходе изучения научной литературы нами были выявлены следующие типы олимпиадных задач для учащихся 5-7 класса: Числовые ребусы; Арифметика Задачи на взвешивание, переливания; Логические задачи; Задачи на движение или работу; Задачи на раскраску или разрезание; Задачи содержащие идеи четности или делимости; Задачи на проценты и отношения Задачи, решаемые с конца Геометрические задачи;

Слайд 5

Задача 1. Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составить одно двузначное и одно трехзначное число так, чтобы второе делилось на первое? Каждая цифра должна быть использована ровно один раз. Решение: Можно. 532 делится на 14, а 215 делится на 43.

Слайд 6

Задача 2. Когда за доброе дело правитель страны решил наградить умного человека, тот пожелал взять столько золота, сколько весит слон. Но как же взвесить слона? В те времена не было таких весов. Что бы в подобной ситуации смогли придумать вы? Решение: Мудрец сделал так: он поместил слона в лодку, затем отметил по борту уровень воды. Когда слона вывели из лодки, осталось только поместить туда золото.

Слайд 7

Задача 3. Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 50 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин всё перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. С какой скоростью (в "нормальных" м/мин) бегает таракан Валентин? Решение: Валентин пробегает 50*60=3000 см за 100 с, то есть его скорость 30 см/с, что составляет 18 м/мин.

Слайд 8

Задача 4 В каждой клетке квадрата 9 × 9 сидит жук. По команде каждый жук перелетает на одну из соседних по диагонали клеток. Доказать, что по крайней мере 9 клеток после этого окажутся свободными. Решение: Раскрасим доску в четыре цвета, так чтобы каждый цвет образовывал раскраску «в горошек». Назовём цвет, в который окрашены угловые клетки, синим, а цвет, в который окрашены клетки, примыкающие к угловым по диагонали – красным. На синие клетки жуки могут перелетать только с красных. Остаётся заметить, что синих клеток на 9 больше, чем красных. Стоит заметить, что мы здесь имеем дело с той же самой шахматной раскраской, но применённой к диагоналям.

Слайд 9

Задача 5 Докажите , что произведение любых трех последовательных чисел делится на 6. Решение . Среди трех последовательных чисел есть как минимум одно четное и одно, делящееся на 3. Значит, их произведение разделится на 6.

Слайд 10

Задача 6 Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился за лето на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %. Остался ли за этот год его вес прежним ? Решение: Если Женя весил x кг, то после уменьшения веса на 20 % он стал весить 0,8x кг, а после увеличения веса на 30 % – 0,8x·1,3 кг и т. д., в итоге Женя весил 0,8x·1,3·0,8·1,1 или 0,9152x кг , что меньше x кг. Значит, Женя похудел.

Слайд 11

Задача 7 Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, в второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов? Решение: Так как осталось 32 км, а в третий день туристы прошли остаток, то 32 км будут составлять последнего 2/3 остатка, тогда сам последний остаток будет равен 32 : 2/3 = 48 (км). Эти 48 км будут составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен 48 : 2/3 = 72 (км). Эти 72 км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит, весь маршрут будет равен 72 : 2/3 = 108 (км).

Слайд 12

Задача 8 Нарисовать треугольник, который можно разделить на 5 равных треугольников. Решение. Очевидно , что треугольник можно разделить на 4 равные части. Далее к этому треугольнику требуется «приставить» его четвертую часть; при этом снова должен получиться треугольник. Это возможно только в том случае, когда треугольник является прямоугольным, ведь только тогда сумма двух прямых углов даст развернутый угол (отрезок, который является стороной треугольника, при этом будет суммой сторон большого треугольника и его «четвертушки»). Покажем на рисунке решение задачи. Необходимо нарисовать прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза длиннее

Слайд 13

Задача 9 Задачи на переливания, которые решаются с помощью алгебраического метода. Задача: Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал? Решение: Как в результате можно получить 4 л? Нужно из 5-литрового сосуда отлить 1 л. А как это сделать? Нужно в 3-литровом сосуде иметь ровно 2 л. Как их получить? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. Решение лучше и удобнее оформить в виде таблицы: Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (1 шаг). Из 5-литрового сосуда отливаем 3 л в 3-литровый сосуд (2 шаг). Теперь в 5-литровом сосуде осталось 2 литра меда. Выливаем из 3-литрового сосуда мед назад в бочку (3 шаг). Теперь из 5-литрового сосуда выливаем те 2 литра меда в 3-литровый сосуд (4 шаг). Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (5 шаг). И из 5-литрового сосуда дополняем медом 3-литровый сосуд. Получаем 4 литра меда в 5-литровом сосуде (6 шаг ). Шаг Сосуд – 3л Сосуд – 5л 1 0 5 2 3 2 3 0 2 4 2 0 5 2 5 6 3 4

Слайд 14

Методы решения задач по математике Доказательство от обратного (противного ). Метод математической индукции . Принцип Дирихле . Метод Кругов Эйлера Метод раскраски..

Слайд 15

Памятка участнику олимпиады. Прочитайте все задачи и наметьте, в каком порядке вы будете их решать. Помните последние задачи обычно более сложные. Если для вас задача решалась слишком легко, то, скорее всего вы не поняли условие или где-то ошиблись. Если задача не решается – попробуйте упростить ее условие (взять меньшие числа, рассмотреть частные случаи и т.д ) или порешать ее «с конца», «от противного», поставить вместо чисел переменные и т.д. Не зацикливайтесь на одной задаче: иногда отрывайтесь от нее и оценивайте положение. Если есть хоть небольшие успехи, то можно продолжать, а если мысль ходит по кругу, то задачу лучше оставить, хотя бы на время. Почувствовав усталость – отдохните (посмотрите в окно, закройте глаза, отвлекитесь). Решив задачу, сразу оформите ее решение. Это поможет проверить рассуждения и освободить мысли для других задач. Перед сдачей работы, проверьте еще раз написанное – поймут ли ваши решения задач члены жури?

Слайд 16

УСПЕХОВ В РАБОТЕ !