Джероламо Кардано: шифры и не только

Муниципальное общеобразовательное учреждение лицей № 9 Дзержинского района г.Волгограда

Городской конкурс учебно-

исследовательских работ

старшеклассников «Я и Земля»

им. В.И. Вернадского

секция математики

Джероламо Кардано: шифры и не только

Выполнил:  

ученик 8 «Г» класса

Панова Лилия Евгеньевна

Учитель математики:  

Кузнецова Маргарита Сергеевна

Научный руководитель:

Пономарева Юлия Сергеевна,

ст.преп. каф. информатики и

информатизации образования ВГСПУ

Волгоград, 2012

Содержание

Введение

Криптография сейчас – динамично развивающееся научное направление, вбирающее в себя новейшие достижения теории чисел и информатики. История криптографии, как науки о методах шифрования информации, насчитывает тысячелетия. Многие известные ученые внесли свой вклад в ее развитие. К числу таких и относится итальянский математики, физик, врач, философ Джероламо Кардано.

Объектом исследования является вклад Д. Кардано в развитие математики и криптографии.

Предметом исследования выступает шифр «решетка Кардано».

Цель исследования – изучить свойства решетки Кардано.

1.​ Для достижения поставленной цели нами были сформулированы и решены следующие задачи:

1.​ Проанализировать вклад Д. Кардано в развитие математики, криптографии, техники.

1.​ Изучить сущность шифра «решетка Кардано».

1.​ Изучить свойства шифра «решетка Кардано», найти примеры ключей.

Основу гипотезы исследования составили предположения о том, количество ключей в «решетке Кардано» увеличивается в соответствие с увеличением сторон решетки.

В качестве методов исследования мы использовали обзор литературы по криптографии и истории математики, а также вычислительный эксперимент.

Полученные результаты могут быть использованы в качестве дополнительного материала на уроках и факультативах по математике и информатике.

1. Вклад Д. Кардано в развитие современных естественных наук

1.1. Краткая биография Д. Кардано

24 сентября 1501 года в Павии родился будущий итальянский математик, механик и врач Кардано Джироламо (Джеронимо или Иеронимус). Кардано получил образование в университетах Павии и Падуи. В 1534  г. стал профессором математики в Милане и Болонье.

В 1539 его в Коллегию врачей, специально изменив для этого правила приема. Вскоре Кардано стал ректором Коллегии и знаменитым врачом. Слава Кардано - врача была несомненной: его приглашали лечить таких знатных особ, как шотландский архиепископ Гамильтон, кардинал Марон и т.д.

В свободное время Кардано занимался самыми разными вещами.. Так, его книга «О тонких материях» служила популярным учебником по статике и гидростатике в течение всего XVII в. Указаниям Кардано на возможность использования частоты собственного пульса для измерения времени последовал Галилей. Известны рассуждения Кардано о создании вечного двигателя, о различии между электрическим и магнитным притяжением.

Ученый занимался экспериментальными исследованиями и конструированием различных механизмов.

Кардано был страстным любителем азартных игр. Результатом этого увлечения книга «Об азартных играх» содержащая начала теории вероятности, формулировку закона больших чисел, некоторые вопросы комбинаторики. И хотя в нём Кардано допустил немало ошибок, это один из первых серьёзных трудов по комбинаторике и теории вероятностей.

Публикация книги «Великое искусство, или О правилах алгебры» вызвала знаменитую тяжбу Кардано относительно приоритета в решении кубических уравнений с Никколо Тартальей, лектором из Венеции. Способ решения кубических уравнений был найден Сципионом дель Ферро из Болоньи еще в 1515. В 1535 Тарталья независимо от него изобрел свой метод и сообщил о нем Кардано, взяв с последнего клятву сохранить открытие в тайне. Тем не менее Кардано опубликовал в своей книге все известное ему о кубических уравнениях, заявив, что знал о содержании работы Ферро и это освобождает его от всех обязательств по отношению к Тарталье. В 1546 Тарталья обвинил Кардано в вероломстве. Тяжба окончилась после публичного диспута в 1548, в котором интересы Кардано представлял Феррари.

Последние годы жизни Кардано были омрачены трагическими событиями. Его сын, тоже миланский врач, был казнен в 1560 за отравление неверной жены. В 1562 Кардано был назначен профессором в Болонью, где его в 1570 арестовала инквизиция. В чем он обвинялся, точно не известно. Приговор был относительно мягким, но ему запрещалось публиковать свои сочинения. Остаток жизни он провел в Риме, пытаясь добиться прощения.

Существует легенда, что Кардано даже вычислил день своей смерти. Когда «пришёл» день вычисленной смерти, Кардано отравил себя, чтобы доказать правильность расчётов.

В автобиографии, составленной на склоне лет, Кардано так пишет о себе: «Цель, к которой я стремился, заключалась в увековечении моего имени, поскольку я мог этого достигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях или власти».

Умер Кардано в Риме 20 сентября 1576.

1.2. Изобретения в технике

В книгах «О тонких материях» и «О разнообразии вещей» он обсуждал устройство и принцип действия огромного числа механизмов, аппаратов, машин и сооружений.

Например, Кардано принадлежит также целый ряд мелких изобретений:

• масляный светильник с автоматической подачей масла,
• замок «с секретом»,
• дымоход, в котором проделаны отводящие трубы (по две на каждую сторону света) так, чтобы при «противных ветрах» дым мог выходить в соответствующие отверстия,
• камера – обскура с установленной линзой у выходного отверстия и т.д.

Он описал четыре вида «сосудов для перегонки», различных в зависимости от сжигаемого и перегоняемого материала, от формы трубок и их расположения и т. д.; способ изготовления бутылок повышенной прочности; методы конструирования сводов; машины для подъема грузов и затонувших кораблей, принципы устройства шлюзов, планы фортификационных укреплений; «водоподъемные машины» - насос Ктезибия, насос с полым поршнем, архимедов винт и «аугсбургскую машину», состоящую из ряда таких винтов; устройства водостоков и отхожих мест; машину для просеивания муки - одно из первых производственных средств автоматизации; ветряные мельницы и многое другое.

В области механики Кардано занимался теорией рычагов и весов. Он изобрел шарнирный механизм, предназначенный для передачи вращения между пересекающимися осями, названный впоследствии карданным механизмом. Ему принадлежит изобретение устройства, позволяющего сохранить неизменным положение тела при любых поворотах кинематической системы. С именем Кардано связаны такие понятия,  как карданный вал и карданная передача автомобиля.

В книге «О тонких материях» он описал «повозку императора», в которой сиденье устанавливалось на специальной подвеске, так что сиятельное тело сохраняло неизменное положение при езде по наклонным или ухабистым дорогам. Почти четыре века спустя об изобретении Кардано вспомнили автомобилестроители.

Особый интерес для Кардано представляли различные способы передачи движения и часовые механизмы.  Он исследовал и описывал зубчатые, корончатые и червячные зацепления, канатные передачи, передачи гибкими нитями; приводил определение передаточного числа и пользовался им при подсчете чисел зубьев в зубчатой передаче; сообщал способы преобразования поступательного движения во вращательное и наоборот в насосах и воздуходувных машинах», приводил методику нарезания зубьев; сформулировал правила построения часовых механизмов с подробным описанием часовых пружин и баланса.

Он указывал, что добиться равномерности хода часов на протяжении суток невозможно:  зубья колес неодинаковы, а натяжение пружины вначале сильнее, чем в конце. Грязь и пыль со временем ослабляют пружину, поэтому все часовые механизмы со временем идут медленнее и ни один не движется быстрее.

Рис.1. Карданные механизмы

1.3. Математические работы Д. Кардано

Математические работы Кардано - «Практика общей арифметики и простые измерения», «Великое искусство, или О правилах алгебры», «Правила Анализа», «Великое искусство арифметики», «Новое сочинение об отношениях чисел», «Об игре в кости» и т.д.

Анализ этих работ представляет немалые трудности, так как Кардано писал почти обо всем, что знала математика Возрождения, перемежая новые, собственные, результаты с теми, которые уже были получены другими авторами. Однако, ни в одной из областей математики его достижения не являются столь весомыми и неоспоримыми, как в алгебре: даже многочисленные враги и критики не отказывали ему в славе крупнейшего алгебраиста XVI века.

В первой главе «Великого искусства» Кардано называл создателем алгебры «Мохаммеда, сына араба Мусы». Совершенно очевидно, что он имел в виду великого арабского ученого Абу Абдулла Абу Джафар Мухаммад ибн Муса ал-Хорезми (787 - ок. 850), написавшего в 820 году «Краткую книгу об исчислении ал-джабры и ал-мукабалы». Название трактата ал-Хорезми соответствует методам решения уравнений: ал-джабр (восстановление, араб) означает перенос отрицательных членов из одной части уравнения в другую, но уже с положительным знаком, действие ал-мукабалы (противопоставление, араб) заключается в приведении подобных членов, то есть сокращении равных членов в обеих частях уравнения.

Выполнив, например, преобразования уравнения х 2 + 2х - 5х = 4 (х2 + 2х = 4 + 5х и х2 = 4 + 3х), мы произведем операции ал-джабр и ал-мукабала соответственно. В «Краткой книге» содержались методы решения уравнений первой и второй степени, которые автор приводил в числовой форме, но сопровождал геометрическими доказательствами, заимствованными арабской наукой у древних греков. Сочинение «Мухаммеда, сына араба Мусы», переведенное на латинский язык, пользовалось большой известностью в средневековой Европе. Поначалу переводчики полностью переписывали заглавие «Краткой книги», но постепенно вторая часть стала воспроизводиться все реже и,наконец, совсем исчезла. Осталось только слово «ал-джабр», которое затем превратилось в «алгебру».

 Основная алгебраическая проблема, занимавшая Кардано, - нахождение способов решений уравнений третьей и четвертой степеней. В соответствии с математическими традициями своего времени он рассматривал только уравнения с положительными коэффициентами, поэтому, например,  уравнение x3 + qx + r = 0 распадалось у него на три отдельных случая:

• x3 + qx = r;
• x3 = qx + r;
• x3 + r = qx

Эти уравнения вслед сам Кардано мы будем называл «уравнениями Тартальи».

Кроме того, он следил, чтобы коэффициент при старшей степени неизвестной был равен единице.

Кардано удалось справиться лишь с уравнениями частного вида, но методы, которые он применял, заслуживают внимания, так как впоследствии он с успехом использовал их и в «Великом искусстве». Он подметил, что кубическое уравнение иногда удается решить, если добавить в обе его части одно и то же выражение, так чтобы образовался общий делитель, который можно было бы сократить. При этом решение кубического уравнения сводилось к решению квадратного.

Например,  если в обе части уравнения 2х3 + 4х2 + 25 = 16х + 55 добавить 2х2 + 10х + 5, то после простейших преобразований можно получить (2х + 6) (х2 + 5) = (2х + 6) (х + 10) или х2 + 5 = х +10, откуда далее находится значение переменной x.

Однако общую формулу решения Кардано так и не удалось отыскать. В конце концов ему удалось заполучить «великий секрет», и с этого времени начался второй и наиболее плодотворный этап его алгебраического творчества.

Предложенный Кардано прием искусственных подстановок оказался весьма плодотворным для дальнейшего развития алгебры. Он стал той почвой, на которой великому французскому математику Франсуа Виету удалось создать применяемый и ныне «общий способ преобразования уравнений».

Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных корней уравнений. В его работе впервые появляются мнимые величины. Кардано также обнаружил, что кубическое уравнение может иметь три вещественных корня (этот факт остался незамеченным даже в трудах Омара Хайяма), причём сумма этих корней всегда равна коэффициенту при x2 (одна из формул Виета).

Кардано первым из математиков не только дал способы решения уравнений, но и попытался проникнуть в их природу, сформулировать положения, общие для всех алгебраических уравнений.

Определенных успехов Кардано достиг и в других областях математики.

В «Новом сочинении об отношениях чисел» он касался некоторых вопросов комбинаторики,  основываясь главным образом на рассмотрении свойств таблицы биноминальных коэффициентов, получившей впоследствии название «треугольника Паскаля». Кардано выписал все пятнадцать сочетаний из шести элементов по два, утверждая без доказательства справедливость соотношения С1n + С2n +… + Сnn, = 2n-1; наконец, привел правило для нахождения элементов «треугольника Паскаля», из которого следует, что ему было известно важное соотношение.

Еще одним разделом математики, привлекавшим внимание Кардано, была теория вероятности. Он рассматривал некоторые вероятностные задачи, связанные с игровыми ситуациями, в «Практике арифметики», причем, как утверждают некоторые историки математики, фактически уже пользовался теоремой сложения вероятностей, которая появилась значительно позже.

Существенным шагом в развитии вероятностных представлений явилась его «Книга об игре в кости». Тридцать две ее главы посвящены истории азартных игр, тому, как распознавать мошенников и помешать их замыслам, о чем наглядно свидетельствуют названия некоторых глав - «Мошенничество», «Условия, при которых стоит играть», «Об одной ошибке…», «Об обманах…». Кардано рассказывал и о психологии игры и об отличии игры в карты от игры в кости. В той части книги, которая посвящена стратегии игры, Кардано рассматривал задачи, связанные с бросанием двух и трех игральных костей и выпадением на верхних гранях определенного числа очков.

Писал Кардано и о совершенных и треугольных числах, о связи «магических» квадратов с планетами, о «полезных и вредных для человека числах», о различных геометрических проблемах, о правилах коммерческой арифметики, о календарных вычислениях и о многом другом.

2. Кардано и криптография

2.1. Характеристика «решетки Кардано»

В книге «О тонких материях» описано криптографическое средство, получившее название «решетки Кардано».

С помощью решетки секретное послание оказывалось сокрытым внутри более длинного и совершенно невинно выглядевшего открытого текста. В простейшем варианте она представляла собой лист плотного материала (картона или пергамента), в котором через неправильные интервалы прорезаны прямоугольные отверстия постоянной высоты и переменной длины, расположенные на различном расстоянии друг от друга (трафарет).

Человек, передающий сообщение, накладывал решетку на чистый лист бумаги и в перфорированных отверстиях писал текст сообщения, так что в каждом из них помещались либо буква, либо слог, либо целое слово. Затем решетка убиралась, а оставшиеся пробелы заполнялись неким текстом, маскирующим секретное сообщение. Для прочтения сообщения достаточно было наложить на лист бумаги аналогичную решетку и читать через «окна» текст.

Подобным криптографическим методом пользовались многие известные исторические лица, например кардинал Арман Жан дю Плесси Ришелье и А. С. Грибоедов (во время своей дипломатической миссии).

2.2. Изучение некоторых свойств поворотной решетки

Ключом шифра, называемого «поворотная решетка», является трафарет, изготовленный из квадратного листа клетчатой бумаги размера n×n (n - четно). Некоторые из клеток вырезаются. Одна из сторон трафарета помечена. При наложении этого трафарета на чистый лист бумаги четырьмя возможными способами (помеченной стороной вверх, вправо, вниз, влево) его вырезы полностью покрывают всю площадь квадрата, причем каждая клетка оказывается под вырезом ровно один раз. Буквы сообщения, имеющего длину n2, последовательно вписываются в вырезы трафарета, сначала наложенного на чистый лист бумаги помеченной стороной вверх. После заполнения всех вырезов трафарета буквами сообщения трафарет располагается в следующем положении и т. д. После снятия трафарета на листе бумаги оказывается зашифрованное сообщение. В нашей работе рассматривается способ нахождения различных ключей для четного числа n.

Для определения всех возможных ключей нужно определить правила для расположения вырезов:

1. Может быть вырезана только одна угловая клетка, иначе получится наложение.
2. Количество вырезанных клеток должно быть равно n, если меньше – буквы будут повторяться, если больше – некоторые клетки останутся незаполненными.

Рассмотрим способы нахождения числа ключей поворотной решетки на примере значения n=4.

n = 4.

Случай 1: три клетки из четырех располагаются на одной стороне

Вырезаем клетки по сторонам. Начинаем вырезать с верхней стороны, пронумеруем вырезанные клетки:

1. 123
2. 132
3. 213
4. 231
5. 312
6. 321

Четвертую вырезанную клетку располагаем во внутреннем квадрате 2×2 любым способом. Получаем всего 4×6 = 24 способа размещения вырезанных клеток.

Таким образом, получаем всего 24 ключа для решетки 4×4 с вырезанными 4-мя клетками.

Случай 2: две (№ 1 и № 2) клетки расположены на одной стороне.

Тогда возможно следующее размещение остальных вырезанных клеток:

1. 1 клетка (№ 3) расположена на другой стороне, 1 клетка (№ 4) находится во внутреннем квадрате 2×2.

Пронумеруем клетки верхней строки: 1, 2, 3, 4. Тогда 2 закрашенные клетки могут располагаться в следующих позициях: 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4:

Рис. 2 Расположение клеток в поворотной решетке

Однако трафарет 1-4 при повороте на 900 даст наложение. Поэтому остается 5 возможных вариантов.

Одна из закрашенных клеток (№ 3) располагается на всех трех сторонах решетки, кроме верхней. Всего, с учетом изложенных выше правил, возможно 3 варианта размещения этой клетки:

Рис. 3 . Расположение вырезанных клеток в поворотной решетке

Кроме того, возможно 4 варианта размещения во внутреннем квадрате 2×2 клетки № 4.

Таким образом, получаем всего 3×4×5 = 60 ключей.

2. 2 клетки расположены на других сторонах:

1. клетки находятся на одной стороне;
2. клетки расположены на разных сторонах.

Данный вариант невозможен, т.к. возникают наложения.

3. 2 клетки находятся внутри квадрата.

Данный вариант невозможен, т.к. возникают наложения.

Действуя подобным образом, мы нашли, что количество всех трафаретов (ключей) для решетки размером 4×4 клетки составляет 256.

В Приложении 1 приведены примеры расположения вырезанных клеток.

Нами также было замечено, что количество ключей с увеличением размеров решетки резко возрастает.

Заключение

Литература

1.  Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. 3-е изд., расширенное. М.:МЦНМО, НМУ, 2001. 448 с.
2. Гутер Р., Полунов Ю. Джироламо Кардано. М.: НЦ. «Энас», 2010 г. 256 с.
3. Жельников В. Криптография от папируса до компьютера. М.: Отдел исследования программ, 1996 г. 340 с.
4. Смышляев В.К. О математике и математиках. Йошкар-Ола: Наука, 1977. 224 с.
5. Чикин С.Я. Врачи-философы. М: Наука, 1990. 384 с.

Приложение 1