«Математика владеет не только истинной, но и красотой…»
Математика - это наука, которая встречается и используется во многих сферах человеческой жизни: в живописи, музыке, литературе, архитектурой
Цель работы- Показать связь живописи с математикой, рассмотреть течения в живописи, тесно связанные с математикой и попробовать свои силы в создании картин.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 В работе показана связь математики, как науки с искусством живописи | 947.14 КБ |
Предварительный просмотр:
Городская научно-практическая конференция
«Путь к успеху»
Математика в искусстве
«Математика владеет не только истинной,
но и красотой…»
Автор: Калямагина Светлана Михайловна
6 «А», МБОУ Школа №9
Руководитель: Ежова Елена Сергеевна
Учитель математики МБОУ Школа № 9
Дзержинск, 2015
Оглавление
I часть. Математическая теория живописи.
II часть Абстрактное искусство. Геометрия в живописи.
III часть Увлекательный мир геометрии и топологии.
Цель работы: Показать связь искусства живописи с наукой математикой.
Задачи работы: Математика не только одна из древнейших и необходимых для прогресса естественных дисциплин, но и красивая наука. Числа, формулы математики, внешне холодные и сухие, полны внутренней красоты. Увидеть эту красоту и передать ее другим, задача нелегкая. Постараемся на примерах показать красоту математики в искусстве Показать связь искусства живописи с наукой математики.
Введение
Математика – царица всех наук, символ мудрости. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства. Это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты.
«Легко отыскать примеры прекрасного, но как трудно объяснить, почему они прекрасны.»
Платон
На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине.
Очень важно найти математические закономерности в прекрасном - «законы красоты». Попытки хотя бы приблизиться к ним предпринимались с древнейших времён: это и математические законы Пифагора в музыке, и геометрическая модель Вселенной Кеплера, это и система пропорций в скульптуре и архитектуре, и геометрические законы живописи. И сегодня энтузиазм исследователей не убывает.
I часть. Математическая теория живописи.
В искусстве существует математическая теория живописи. Это теория перспективы, по словам Леонардо до Винчи, «тончайшее исследование и изобретение, основанное на изучении математики, которое силою линий заставляло казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико».
Теория живописной перспективы на геометрической основе возникла и получила сильное развитие в трудах итальянских художников в первой половине ХV века. Художники эпохи Возрождения верили в существование некоей математической формулы красоты.
Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и "Золотым сечением".
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему
a : b = b : c или с : b = b : а.
Древнейшим литературным памятником, в котором встречается "Золотое сечение", являются "Начала" Евклида (3 в. до н.э.). Известно, что о золотом сечении знали Пифагор и его ученики (6 в. до н. э.). Как следствие многочисленных применений золотого сечения как в геометрии, так и в искусстве в эпоху Возрождения появилась книга "Божественная пропорция", а сам термин был введен Леонардо да Винчи в 15 веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.
Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.
Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины. Поэтому, для того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.
В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции.
Термин «золотое сечение» принадлежит Леонардо да Винчи. Сам он говорил: Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения. Именно Леонардо да Винчи был одним из первых художников, кто теоретически развивал учение о перспективе. «Ясно вижу» - переводится с латинского слово «перспектива». Древние же художники изображали предметы в один ряд друг за другом. В Древнем Египте, например, сформировался канон условного изображения человека: голова и ноги – в профиль, плечи и глаз - в фаз.
Леонардо да Винчи: Тайная вечеря
Для художников композиция – основа основ. Леонардо да Винчи, как и многие другие художники, руководствовался принципом Золотого сечения: в Тайной Вечере, к примеру, фигуры учеников расположены в нижних двух третях (большее из двух частей Золотого сечения), а Иисус помещен строго по центру между двумя прямоугольниками.
Леонардо считал, что трапезную надо построить сильно вытянутой — длиной втрое-вчетверо больше ширины.
«— При отдалении, — пояснил он, — фигуры уменьшатся. И чтоб не казаться зрителям на расстоянии слишком маленькими, апостолы моей «Вечери» должны быть по высоте раза в полтора больше нас с тобой. И для охвата взглядом сразу всей стенной живописи надо предусмотреть возможность зрителю от нее отойти.
— Ну а как мы определим высоту здания? — спросил Браманте.
— Нужно проделать ряд вычислений и геометрических построений, чтобы учесть все требования перспективы.
И они принялись за расчеты. Линии и точки, параллели и перпендикуляры, вертикали и горизонтали, диагонали и диаметры, плоскости и объемы, аксиомы и теоремы — эта область знаний была страстью и стихией их обоих.
— Геометрия, — сказал Леонардо, — такая же опора архитектуры и живописи, как скелет — опора мускулатуры тела. Разве твое зодчество, Доннино, не торжество изящества и красоты, логики и гармонии великой науки геометрии?..»
II часть Абстрактное искусство. Геометрия в живописи.
Геометризм, кубизм, или другими словами – супрематизм, абстракционизм – это такие направления в живописи, которые сводились к изображению геометрических фигур и всевозможных линий. В наше время мотивы такой живописи часто используются современными дизайнерами при оформлении помещений. Первыми представителями данного течения в живописи, каждый их которых по своему является его основоположником, это К. Малевич и В. Кандинский.
Василий Васильевич Кандинский, русский художник, который стоял у истоков возникновения абстракционизма в современном изобразительном искусстве. Василий Васильевич Кандинский - выдающийся русский живописец, график и теоретик изобразительного искусства, один из основоположников абстракционизма. Был одним из основателей группы «Синий всадник», преподавателем Баухауса.
Абстрагирование - один из основных способов нашего мышления. Его результат - образование наиболее общих понятий и суждений (абстракций). В декоративном искусстве абстрагирование - это процесс стилизации природных форм. Абстракционизм был призван акцентировать внимание на самостоятельной выразительности цвета: его колористическом богатстве.
«В сером»
Одна из немногих больших картин масло, сохранившихся от «русского периода» (1915-1921) Кандинского. Художник говорил, что она ознаменовала собой конец «драматического периода» - то есть его студий по изучению взаимодействия форм «В сером» задумывалась как композиция, состоящая из нескольких конкретных мотивов (горы, лодки, фигуры людей). На законченном полотне все эти элементы перестают быть различимыми, поскольку сведены к абстрактным иероглифам. Одновременно более мягкой и консервативной становится и палитра художника.
«Казаки».
Одна из лучших работ художника — полуабстрактная, необъяснимо притягательная композиция. В ней очертания хмурых холмов и едва различимые силуэты казаков с саблями на конях включены в общую динамику картины, ее абстрактных форм, линий и ярких, кричащих цветовых пятен.
В манере наложения мазка чувствуется удивительная раскованность, непосредственность, непринужденность. Композиция оживает в нашем сознании, создавая эффект легкости и реалистичности. Построение самой картины поражает своей простотой и ясностью плана, здесь нет излишеств и торопливой суеты. Образы казаков обличаются строгостью и чинностью.
В начале ХХ века авангардное искусство «пополнилось» новым направлением — супрематизмом. Его основателем стал Казимир Малевич.
Так на его полотнах вместо привычных пейзажей и людей появились цветные квадраты, круги и прямоугольники на белом фоне. Эти фигуры служат прототипом всех форм, существующих в реальном мире. Комбинации геометрических фигур различных размеров и цветов, созданные Казимиром Севериновичем, образуют уравновешенные супрематические композиции, будто пронизанные внутренним движением.
Точкой отсчета стал знаменитый «Черный квадрат», который художник назвал «нулем форм». Та простота, с которой можно выразить пропасть между старым и новым, границу между жизнью и смертью, стремления всех и вся к нулю, оказалась пугающей. Через много лет супрематические идеи Малевича станут популярны в графическом дизайне, архитектуре, дизайне мебели и так далее.
Казалось бы, что может быть проще: на белом фоне черный квадрат. Любой человек, наверное, может нарисовать такое. Но вот загадка: черный квадрат на белом фоне – картина русского художника Казимира Малевича, созданная еще в начале века, до сих пор притягивает к себе и исследователей, и любителей живописи. Как нечто сакральное, как некий миф, как символ русского авангарда.
Рассказывают, что Малевич, написав «Черный квадрат», долгое время говорил всем, что не может ни есть, ни спать. И сам не понимает, что такое сделал. И действительно, эта картина – результат, видимо, какой-то сложной работы. Когда мы смотрим на черный квадрат, то под трещинами видим нижние красочные слои – розовый, зеленый, по-видимому, была некая цветовая композиция, признанная в какой-то момент несостоявшейся и записанная черным квадратом.
Художник впоследствии много думал о черном квадрате, писал теоретические работы, связывал его с космическим сознанием. Малевич считал, что «Черный Квадрат» – это вершина всего.
Голландский художник Морица Корнилиса Эшера создал уникальные и очаровательные работы, в которых использован и показан широкий круг математических идей. В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, «невозможных фигурах», логике трёхмерного пространства.
Художник подробно исследует постепенность перехода от одной геометрической фигуры к другой, посредством незначительных изменений в очертаниях. Гравюры М. К. Эшера образуют своего рода художественно-геометрический фильм, дающий зрителю редкую возможность увидеть геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту — в чисто геометрических конструкциях и построениях.
Эшер в данном полотне, мастерски использует прием, который называется тесселяцией. Благодаря этому приему мастер очень искусно разделяет одну плоскость на несколько частей. Таким образом, ему удается покрыть все полотно плоскостями, которые сами по себе не пересекаются и не накладываются одна на другую. Все было сделано идеально, благодаря тому, что художник изучал математические приемы посвященные симметриям, на основе этого и были созданы геометрические фигуры, которые являлись какими-то живыми существами.
Данные графические работы удивляли своими необыкновенными формами и хитросплетениями разных геометрических фигур. Мы можем наблюдать некоторые парадоксы, когда архитектурные сооружения изображаются в трехмерном пространстве.
С первого взгляда зритель может увидеть, что все фигуры идеально между собой сочетаются, но это только на первый взгляд, если более внимательно присмотреться, то на некоторых местах соприкосновения можно увидеть противоречивые соединения.
Вообще картина задумана художником для того, чтобы показать некий мир, который может существовать в противовес всем известным законам физики и гравитации. Благодаря такому тонкому чутью этого вопроса и взаимодействия пространства, художник сумел мастерски выполнить эту композицию, которая впоследствии сделала его всемирно известным и общепризнанным мастером.
Некоторый зритель наблюдая эту картину длительное время, может несколько утомиться, это и не мудрено, так как даже самые известные критики говорили о том, что все работы мастера являются слишком интеллектуальными, и обыденный зритель будет утомлен в осмысливании любого полотна художника. Несмотря на это картины очень популярны и в современном мире.
Многие графические и концептуальные находки Эшера вошли в число символов XX века и впоследствии неоднократно воспроизводились или «цитировались» другими художниками.
В то же самое время работы Эшера подчёркнуто относятся к элитарному искусству.
Абстракционизм можно любить и не любить, можно найти немало как сторонников, так и противников этого, как, впрочем, и любого другого вида искусства. Но любое искусство имеет право на существование, и его нельзя ни запрещать, ни очернять, ни скрывать.
Одним из циклов картин, тоже написанных по строго математическим законам, являются круги.
Одной из самых известных таких картин является «Предел – круг 4 (рай и ад)». На картине изображены ангелы и демоны, причём демоны служат, как бы, фоном для ангелов и наоборот. В центре изображены три крупных ангела и три демона, а к периферии количество ангелов и демонов начинает увеличиваться, а сами они — уменьшаться. Кроме достаточно банальной идеи о том, что зло — это, всего лишь, тень добра тут можно уловить и другие мысли. Например, что добро и зло в нашей жизни дробится на множество мелочей, да так, что мы и сами перестаём отличать одно от другого.
Эстетика геометрической формы, в частности эстетика линии, привлекала к себе внимание не только математиков. При этом красоту линии авторы обычно ставят в зависимость от сложности закона, по которому она строится или который она выражает. Так, по мнению популяризатора А. Студничка, «самая простая красивая форма – круг; она производит на нас приятное впечатление. Удовольствие, испытываемое нами при виде кривой линии, бывает тем сильнее, чем сложнее ее принцип; в эллипсе есть нечто более привлекательное, чем в круге, а овал, спираль и волнистая линия более приятны, чем эллипсы».
III часть. Увлекательный мир геометрии и топологии.
Учёные в последнее время всё больше интересуются искусством. Взаимопроникновение, влияние различных сфер творчества обогащает людей. Учёные рассматривают искусство вообще и изобразительное искусство в частности как область творчества, где и они могли бы найти применение собственным силам.
Анатолий Тимофеевич Фоменко – создатель известной научной школы, разрабатывающей новые методы качественного топологического анализа динамических систем в геометрии, физике, механике. Под его научным руководством защищено девять докторских и двадцать кандидатских диссертаций. Но математикам не чужда и сфера искусства. Анатолий Тимофеевич убежден, что имеется много общего между математикой и живописью.
«Многие мои графические работы имеют прикладной характер. Таким образом, именно математика и преподавание в МГУ привели меня в свое время к созданию графических работ. Это была попытка как бы сфотографировать изнутри увлекательный мир геометрии и топологии. Многие мои графические листы основаны на математических идеях и теоремах, либо изображают реальные физические процессы и важные математические понятия.»
Математика: Гомотопия и вязкая жидкость.
Иллюстрируется общая идея гомотопии - непрерывной деформации объекта, при которой разрешены "склейки", но запрещены "разрывы". Удачным наглядным образом является деформация тяжелой вязкой жидкости, вытекающей из какого-то сосуда (на рисунке эта жидкость выливается из отверстий в небосводе). Те свойства объектов, которые сохраняются при гомотопиях, называются гомотопически-инвариантными свойствами.
Математика: Гомотопия и отрыв капли от твердой поверхности.
Изображено образование капли тяжелой вязкой жидкости, свисающей с твердой поверхности в пространстве. В то же время здесь можно наглядно представить себе начало гомотопии геометрического объекта. Первоначально он был твердым, затем какая-то его часть становится мягкой, податливой и начинает непрерывно деформироваться, как бы под влиянием силы тяжести.
Именно такие образы часто возникают в мозгу математика, работающего в области гомотопической топологии. Формирование подобных наглядных "картинок" важно для успешной работы и в некоторых других областях математики. Дело в том, что многие глубокие доказательства опираются на наглядные интуитивные представления.
В математической практике часто случается, что формальное, - например, алгебраическое доказательство какого-то факта, - удается легче получить после того, как в мозгу сложилась ясная геометрическая картина происходящего.
Математика: Картина обтекания шара набегающим потоком газа.
Здесь представлены некоторые эффекты, связанные с движением тяжелого твердого тела (например, шара) в набегающем потоке жидкости или газа. При небольших скоростях обтекание шара происходит плавно. Если же скорость возрастает, то в реальном потоке появляются завихрения.
Существуют различные математические модели, позволяющие изучать и прогнозировать эти явления. Это особенно важно, например, при проектировании летательных аппаратов. Движение тяжелого твердого тела в идеальной жидкости (газе) описывается уравнениями, которые можно изучать методами теории групп Ли и гамильтоновой геометрии.
Математика: Деформация римановой поверхности алгебраической функции.
Изображена "трехмерная модель" деформации римановой поверхности алгебраической функции в четырехмерном евклидовом пространстве. Риманова поверхность такой функции гомеоморфна двумерной сфере с одной ручкой, т.е. двумерному тору (при условии, что все корни a, b, c, d полинома степени 4 различны).
С точки зрения теории алгебраических функций для построения указанной римановой поверхности нужно взять два экземпляра двумерной сферы, на каждом из которых сделано по два разреза, и склеить (отождествить) соответствующие берега разрезов. В результате получится тор, представленный как две сферы, соединенные двумя трубками-цилиндрами.
Такова картина в случае, когда все 4 корня простые, т.е. не кратные. Если же полином начинает деформироваться таким образом, что его корни стремятся слиться (т.е. когда в пределе получаются кратные корни), то риманова поверхность также реагирует на эту деформацию. Она начинает деформироваться таким образом, что на ней появляются исчезающие циклы, возникают особые точки и в результате риманова поверхность перестает быть гладкой. Пример такой деформации и показан нами.
На киностудии «Союзмультфильм» в 1988 году режиссером В.И. Тарасовым был создан фантастический мультфильм «Перевал» по повести К. Булычёва. В этом мультфильме было использовано много графических работ Анатолия Фоменко.
Первая попытка создать их была вызвана необходимостью объяснить студентам понятия и процессы, которые скрыты за сложными сухими формулами. Он создал целые циклы рисунков, которые привлекли внимание не только любителей искусства, но и специалистов в различных сферах деятельности. Альбомы работ Анатолия Фоменко с подробными разъяснениями автора издавались в России и за рубежом. Отдельной главой в творчестве математика-художника значатся иллюстрации к роману Михаила Афанасьевича Булгакова «Мастер и Маргарита».
IV часть Практическая часть
Мы с одноклассниками решили нарисовать картинки в «Абстракции». Оказалось нарисовать это не очень просто. Вот, что у нас получилось:
«Чёрное и белое».
Вывод:
Для многих мир математики – это только задачи, формулы, перпендикуляры, треугольники… (как говорят: скучная и сухая наука). Но для некоторых этот мир кажется красочным, ярким, удивительным и загадочным, поэтому им удалось самим удивить мир людей и их имена вошли в историю, хотя не все их понимали.
Малевич, Кандинский, Эшер, Фоменко - нельзя сравнивать их искусство, оно разное, но они видели удивительное и красивое там, где многие этого не замечают.
«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».
Бертран Рассел
Литература:
- Леонардо да Винчи «Суждения о науке и искусстве»
- Волошинов А.В. «Математика и искусство» М. Просвещение, 1992
- Энциклопедия замечательных людей и идей.
- Интернет источники: Википедия, Математическое искусство М. К. Эшера, Геометрические образы и ассоциации в математике (А. Т. Фоменко)
- Рисунки к теории взяты из Интернета
- Практическая часть: рисунки учеников 6а класса МКОУ СОШ №9 Зелениной Лизы, Абдюшевой Алисы и Калямагиной Светланы.
Как напиться обезьяне?
Серебряное копытце
Тупое - острое
Алые паруса
Браво, Феликс!