Презентации к урокам

Слайд 2

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0 . Для обозначения перпендикулярности используется знак ┴. На рисунке прямая m перпендикулярна прямой n или m ┴ n . Лемма о перпендикулярных прямых Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Символически эту лемму можно записать так m n

Слайд 3

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой на этой плоскости. Для обозначения перпендикулярности используется знак ┴. На рисунке изображена прямая l , перпендикулярная плоскости p или l ┴ p .

Слайд 4

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Символически эту теорему можно записать так Теорема о двух прямых, перпендикулярных к плоскости Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны друг другу. Символически эту теорему можно записать так

Слайд 5

Наверное, каждому приходилось вкапывать штанги футбольных ворот. До перекладины порой и не доходило. Как важно при этом было так установить штангу так, чтобы она была перпендикулярна поверхности земли. Если использовать определение перпендикулярности прямой к плоскости, то тогда следует проверять перпендикулярность штанги к каждой прямой на футбольном поле. А нельзя ли ограничиться меньшим числом проверок? Оказывается можно. Но одной проверки явно недостаточно. Если данная прямая перпендикулярна только к одной прямой на плоскости, то она не перпендикулярна к самой плоскости (рис.3). Она может и лежать в этой плоскости. Если же прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости (рис.4). Это утверждение называется признаком перпендикулярности прямой и плоскости и формулируется в виде теоремы. Таким образом, чтобы установить штангу ворот перпендикулярно плоскости поля достаточно проверить ее перпендикулярность, посмотрев на нее с двух разных, но не противоположных сторон.

Слайд 6

Пусть b┴q; b┴p; p  a; q  a; p ∩ q=O. Докажем, что b┴a. Для этого нужно доказать, что прямая b перпендикулярна к любой (произвольной) прямой m на плоскости a. Рассмотрим сначала случай, когда прямая b проходит через точку пересечения О. Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Отметим на прямой b точки А и В, равноудаленные от точки O, и проведем в плоскости a прямую, пересекающую прямые p, l и q соответственно в точках P, L и Q. Так как прямые p и q – серединные перпендикуляры, то АР=ВР и AQ=BQ. Следовательно, ∆ APQ= ∆ BPQ (по трем сторонам). Тогда  APL=  BPL и ∆ APL= ∆ BPL (по двум сторонам и углу). Тогда AL=BL. Следовательно, ∆ ALB – равнобедренный, отрезок LO является медианой и высотой в этом треугольнике ,  AОL=90 0 и b┴l. Поскольку l || m, то b┴m (по лемме о перпендикулярных прямых), то есть b┴a. A b O m q j p P a Q L B α

Слайд 7

Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О, но а┴q; а┴p. Проведем через точку О прямую, параллельную прямой а. Эта прямая перпендикулярна прямым p и q (по лемме о перпендикулярных прямых) и, следовательно, совпадает с прямой b. Поскольку b┴a и b||a, то а┴a (по теореме о двух параллельных прямых и плоскости). Теорема доказана. Символически эту теорему можно записать так Докажем две теоремы, обосновывающие существование плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой и существование прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости. При доказательстве этих теорем будет использован признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Слайд 8

Обозначим данную прямую буквой а, а произвольную точку пространства – буквой М. 1. Докажем существование плоскости, перпендикулярной прямой а и проходящей через точку М. Проведем через прямую а две плоскости  и  так, чтобы плоскость  проходила через точку М.. В плоскости  проведем через точку М прямую р, перпендикулярную прямой а и пересекающую ее в точке А. В плоскости  проведем прямую q, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые p и q. Эта плоскость перпендикулярна прямой а (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) и проходит через произвольную точку М. Следовательно, это искомая плоскость. Существование доказано. Теорема Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой и притом только одна .

Слайд 9

2. Докажем единственность такой плоскости. Проведем доказательство от противного. Пусть существуют две плоскости  и  , проходящие через точку М и перпендикулярные прямой а. Но тогда  ||  . Но плоскости  и  не могут быть параллельными друг другу, так как имеют общую точку М. Следовательно наше предположение неверно и существует только одна плоскость, проходящая через произвольную точку пространства перпендикулярно данной прямой. Единственность доказана.

Слайд 10

Обозначим данную плоскость буквой a, а произвольную точку пространства – буквой М. 1. Докажем существование прямой, перпендикулярной плоскости  и проходящей через точку М. Проведем в плоскости  прямую b. Через точку М проведем плоскость  , перпендикулярную прямой b (это мы можем сделать на основании предыдущей теоремы о плоскости перпендикулярной прямой). Пусть с –общая прямая плоскостей  и  . Проведем в плоскости  через точку М прямую а, перпендикулярную прямой с. Тогда прямая а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости  . Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости a (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Следовательно, а - искомая прямая. Существование доказано.

Слайд 11

2. Докажем единственность такой прямой. Проведем доказательство от противного. Пусть существует две прямые а и а1, проходящие через точку М и перпендикулярные плоскости a. Но тогда а||а1 (см. теорему о двух прямых, перпендикулярных к плоскости). Но прямые а и а1 не могут быть параллельными друг другу, так как имеют общую точку М. Следовательно наше предположение неверно и существует только одна прямая, проходящая через произвольную точку пространства перпендикулярно данной плоскости. Единственность доказана.

Слайд 12

Дано : плоскость (АВС), МВ ┴ АВ, МВ ┴ ВС, D  (АВС). Доказать : ∆ MBD - прямоугольный. Доказательство . МВ ┴ АВ, МВ ┴ ВС. Следовательно, МВ ┴ (АВС) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Тогда МВ ┴ BD (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости). Следовательно,  DBM=90 0 и ∆ MBD – прямоугольный, что и требовалось доказать.

Слайд 13

Дано : АВСD - квадрат, МА ┴  , АВСD  . Доказать : BD ┴ МО. Доказательство . МА ┴  , следовательно, МА ┴ ВD (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости). ВD ┴ АО (по свойству квадрата). Тогда ВD ┴ (АОМ) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости – BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и МА, лежащим в этой плоскости). Следовательно, BD ┴ МО (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости), что и требовалось доказать.

Слайд 1

Слайд 2

-5 3 -0,2 -5 13 1,4 -15 + 27 -8 – 12 -2 · (-1 ,6) · (-5) -1,5 + 2,7 45 :(-0,9) -15 :3 *(-6) -1,5 : 0,3

Слайд 4

Чтобы правильно занять свое место в кинотеатре, нужно знать две координаты – ряд и место Кинотеатр 1 ряд 2 ряд 3 ряд 4 ряд 5 ряд 6 5 4 3 2 1 7 8 9 10 11 12 6 5 4 3 2 1 7 8 9 10 11 12 6 5 4 3 2 1 7 8 9 10 11 12 6 5 4 3 2 1 7 8 9 10 11 12 6 5 4 3 2 1 7 8 9 10 11 12 ЭКРАН 3 ряд 10 место

Слайд 5

Рене Декарт – французский философ, математик, физик и физиолог . (1596-1650). Автор координатной плоскости , поэтому ее часто называют декартовой системой координат.

Слайд 6

0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 ось абсцисс ось ординат -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 Y ПРЯМОУГОЛЬНАЯ (ДЕКАРТОВА) СИСТЕМА КООРДИНАТ О X начало координат

Слайд 7

Чтобы найти свое место в поезде сначала мы ищем свой вагон, затем номер своего места.

Слайд 8

А Б В Г Д Е Ж З И К 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Г 5

Слайд 9

Шахматы f6 d5

Слайд 10

Широта – параллели, долгота - меридианы Система географических координат Нанесенные на глобусы и карты параллели и меридианы составляют градусную сетку.

Слайд 11

С помощью координатной сетки летчики, моряки определяют местоположение объектов.

Слайд 12

Принцип определения положения клетки в игре «Морской бой» использован при построении таблицы квадратов натуральных чисел от 1 до 99. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 121 144 169 576 225 256 289 324 361 2 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 12 2 = 144 46 2 = 2116 88 2 = 7744 39 2 = 1521

Слайд 13

0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 Y X Определение координат точки А (4;2) В (-3; - 1) абсцисса ордината Х=4 У=2

Слайд 14

0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 Y X Определите координаты точек А В С D Е F (-4;3) (2;2) (4;-1) (-5;0) (-3 ;-2) (0;-2)

Слайд 15

0 Y X 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 -6 -8 -10 -12 2 8 12 4 6 10 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14

Слайд 16

Построить фигуру, последовательно соединяя точки 1) (- 8; 1), (- 6; 2), (- 2; 0), (1; 2), (5; 1), (7; - 4), (9; - 3). 2) (- 2; 6), (0; 8), (3; 7), (5; 5), (7; 7). 3) (1; 2), (3; 9), (4; 8), (5; 8), (6; 9), (6; 10), (5; 11), (4; 11), (3; 10), (3; 9). 0 Y X 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 -6 -8 -10 -12 2 8 12 4 6 10 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14

Слайд 17

«Математику уже затем учить надо,что…»: а) можно получить хорошие отметки и порадовать родителей; б) она ум в порядок приводит; в) в жизни может пригодиться; г) помогает в жизни ориентироваться

Слайд 1

Слайд 2

Определение сечения. Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника .

Слайд 3

Секущая плоскость А В С D M N K α

Слайд 4

Секущая плоскость сечение A B C D M N K α

Слайд 5

На каких рисунках сечение построено не верно? B А А А А А D D D D D B B B B C C C C C N M M M M M N Q P P Q S

Слайд 6

P N Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками. Построение: А В С D P M N 2. Отрезок PN А В С D M L 1. Отрезок MP Построение: 3. Отрезок MN MPN – искомое сечение 1. Отрезок MN 2. Луч NP; луч NP пересекает АС в точке L 3. Отрезок ML MNL –искомое сечение

Слайд 7

Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками. Построение: А С В D N P Q R E 1. Отрезок NQ 2. Отрезок NP Прямая NP пересекает АС в точке Е 3. Прямая EQ EQ пересекает BC в точке R NQRP – искомое сечение

Слайд 8

Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками. Построение: А B C D M N P X K S L 1. MN ; отрезок МК 2. MN пересекает АВ в точке Х 3. ХР; отрезок SL MKLS – искомое сечение

Слайд 9

Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры .

Слайд 10

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P. XY – след секущей плоскости на плоскости основания D C B А Z Y X M N P S F

Слайд 11

XY – след секущей плоскости на плоскости основания D C B Z Y X M N P S Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P. А F

Слайд 12

Конец 

Слайд 1

Слайд 2

Теорема : Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведения противоположных сторон Дано : Окр. (О, R ) АВС D – вписанный четырехугольник Доказать: Доказательство: 1) Дополнительное построение :  АВК =  5 2) Рассмотрим  АВК и  ВС D  АВК =  5  1 =  2 (вписанные, опираются на дугу ВС) и значит или (X) 3) Рассмотрим  СВК и  АВ D  КВС =  АВ D  3 =  4 (вписанные, опираются на дугу АВ) и значит или (Y) Складывая соотношения (X) и (Y) получаем: следует, что  АВК ~  ВС D , следует, что  СВК ~  ABD ,

Слайд 3

Рассматриваемое свойство вписанных четырехугольников является характеристическим, т.е. верно и обратное утверждение : Если в четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность Данная теорема называется теорема Птолемея Теорема Птолемея значительно облегчает решение многих задач, например, с использованием этой теоремы можно легко доказать теорему Пифагора

Слайд 4

Задача . В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Почему для доказательства этой теоремы можно использовать теорему Птолемея? Какое дополнительное построение для этого надо сделать? АС = В D, AB=CD, AD=BC Решение:

Слайд 5

Задача. На окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС взята точка Е, отличная от вершин треугольника. Доказать, что один из отрезков АЕ, ЕВ, ЕС равен сумме двух других. Дано: АВС АВ=ВС=СА Точка Е лежит на Окр(О; R ) Доказать: АЕ=ВЕ+ЕС Доказательство: По теореме Птолемея , а т.к. АВ=ВС=СА, то , откуда АЕ = ВЕ + ЕС. Что и т.д.

Слайд 6

Дано: ABCD – трапеция Окр(О 1 , R )- описанная около трапеции АС  В D Доказать: Задача. Доказательство  1 =  2= 45 0 , тогда  4= 90 0 . По теореме Птолемея ; , , значит , откуда и Что и т.д.

Слайд 1

Слайд 2

Джованни Чева ( 7 декабря 1647 — 15 июня 1734) — итальянский математик и инженер, доказавший теорему Чевы о геометрии треугольника. Основной заслугой является построение учения о секущих, которое положило начало новой синтетической геометрии. Оно изложено в сочинении «О взаимопересекающихся прямых» Джованни Чева получил образование в иезуитском колледже Милана, а в 1670 году поступил в Пизанский университет. В 1685 году женился на Сесилии Веччи , у них было несколько детей. Чева был инженером-гидравликом и в качестве такового несколько раз служил правительству Мантуи . Смерть его последовала во время осады Мантуи .

Слайд 3

Пусть в ∆ ABC на сторонах BC,AC,AB или их продолжениях взяты соответственно точки A 1 , B 1 и C 1 ,не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые A A 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство A B C A ₁ C ₁ B ₁ O A B C A ₁ C ₁ B ₁ O

Слайд 4

Теорема Чевы и ее следствия. Следствие 1 . Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины . Следствие 2 . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Следствие 3 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Следствие 1 Следствие 2 Следствие 3

Слайд 5

Следствие 4 . . Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Следствие 5 . Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Следствие 4 Следствие 5

Слайд 6

Докажите , что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Применение теоремы Чевы L ₁ A B C L ₂ L ₂ Покажем, что Тогда по теореме Чевы (обратной) AL 1 , BL 2 , CL 3 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника Перемножая почленно полученные равенства, получаем Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке.