"Полуправильные многогранники"
Презентация по геометрии "Полуправильные многогранники"
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 prezentatsiya_uchashchikhsya_polupravilnye_mnogogranniki_solozobova.ppt | 1.28 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Гипотеза Возможно ли построение любого полуправильного многогранника из куба…
Задачи Изучить полуправильные многогранники. Узнать, как еще называют полуправильные многогранники. Узнать о названиях полуправильных многогранников и об их появлении. Изучить строение некоторых полуправильных многогранников. Научиться строить полуправильные многогранники. Продемонстрировать модели полуправильных многогранников.
Проблемы: С чего начать построение полуправильных многогранников? Как строить полуправильные многогранники?
Ход исследования Изучить общие сведения о полуправильных многогранниках; Проанализировать исторические сведения; Выполнить построение полуправильных многогранников: Усеченный куб Кубооктаэдр Усеченный тетраэдр Подтвердить или опровергнуть гипотезу.
Общие сведения о полуправильных многогранниках Полуправильные многогранники — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами: Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов. Все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.
Существует 13 полуправильных многогранника, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. курносый куб курносый додекаэдр
Архимедовы тела: Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду (доклад), хотя соответствующие работы утеряны. Ему принадлежит открытие 13-ти полуправильных многогранников , которые принято называть "архимедовыми телами", каждый из которых ограничен неодноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники; причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней; в одинаковом порядке каждое из этих тел может быть вписано в сферу.
Многие названия созданы на основе греческих приставок, означающих количество граней и корня -едр, означающего грань. (-hedron- буквально значит место). Усеченный октаэдр: Октаэдр (от греч. οκτώ , «восемь»)
Усеченный икосододекаэдр икосо- (ikosi-) значит 20 додека- значит 2+10 -едр, означает грань усечение (truncate) отсечение угла многогранника вокруг его вершины
Усеченный куб усечение (truncate) отсечение угла многогранника вокруг его вершины
Усеченный икосаэдр: икосо- (ikosi-) значит 20 -едр, означает грань усечение (truncate) отсечение угла многогранника вокруг его вершины
Усеченный додекаэдр: Додека - значит 2+10 и используется для описания двенадцатигранника. -едр, означает грань усечение (truncate) отсечение угла многогранника вокруг его вершины
Курносый додекаэдр: Додека - значит 2+10 и используется для описания двенадцатигранника.
Усеченный тетраэдр тетра - ( tetra ) – четыре.
Икосододекаэдр: Додека - значит 2+10 и используется для описания двенадцатигранника. икосо- (ikosi-) значит 20
Курносый куб:
Кубооктаэдр Октаэдр (от греч. οκτώ , «восемь»)
Усеченный кубооктаэдр усечение (truncate) отсечение угла многогранника вокруг его вершины Октаэдр (от греч. οκτώ , «восемь»)
Ромбокубооктаэдр Приставки могут описывать форму граней, чтобы устранять противоречия между двумя многогранниками с одинаковым количеством граней. Например, это тела: ромбокубооктаэдр и ромбоикосододекаэдр.
Ромбоикосододекаэдр: икосо- (ikosi-) значит 20 Додека - значит 2+10 и используется для описания двенадцатигранника.
Изучим построение полуправильных многогранников. Для этого построим несколько фигур: кубооктаэдр усеченный тетраэдр усеченный куб
Кубооктаэдр (построение): Изобразим куб, в котором передняя грань проектируется в квадрат. Разделим одно из его искаженных ребер пополам. Вершины кубооктаэдра лежат на серединах ребра куба. Отметим еще 3 вершины кубооктаэдра, лежащие на равных искаженных ребрах, пользуясь радиусом, равным уже известной нам половине этого ребра, т.е. R . Найдем середину неискаженного ребра. Отметим еще одну вершину кубооктаэдра в верхней грани и соединим все построенные вершины, лежащие на ребрах, имеющих общую вершину. Одна из граней кубооктаэдра построена. Аналогично отмечая остальные вершины и соединяя их, получим изображение кубооктаэдра:
кубооктаэдр
Усеченный куб (построение): Воспользуемся, изображением куба, у которого передняя грань проецируется в виде квадрата. Длина ребра усеченного куба равна отношению длины ребра куба к (1 + √2) (пусть d =1 + √2). Поэтому возьмем произвольный единичный отрезок, и, построив прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом, равным этому единичному отрезку, найдем отрезок, равный (1 + √2).
Соединим концы единичного отрезка и отрезка, имеющего длину d . Отметим на сторонах угла отрезок, равный неискаженному ребру куба. Проведем линию, параллельно линии, проведенной в предыдущем шаге нашего построения, через одну из подученных вершин. Отрезок на другой стороне угла и будет равен ребру усеченного куба. Чтобы построить изображения вершин усеченного куба, необходимо знать расстояние от вершины куба до ближайшей к нему вершины усеченного куба. Для этого разделим отрезок, равный разности длин ребра куба и ребра усеченного куба, пополам. Отметим все вершины, лежащие на задней грани куба. Пользуясь окружностью с тем же радиусом, отметим все вершины, лежащие на передней грани куба. Соединим их, получив изображение правильного восьмиугольника или одной из граней усеченного куба.
усеченный куб Проведя дополнительное построение, находим изображения вершин, лежащих на искаженных ребрах и соединяем их. Итак, достроив все оставшиеся вершины и соединив их, получим изображение усеченного куба:
Усеченный тетраэдр Усеченный тетраэдр (построение):
Для построения усеченного тетраэдра воспользуемся изображением тетраэдра. Так как при параллельном проектировании не сохраняются углы и равенство не лежащих на одной прямой отрезков, то можно взять изображение произвольного тетраэдра. Вершины усеченного тетраэдра лежат на ребрах данного тетраэдра по две на каждом ребре, причем делят ребро на три равные части. В связи с этим построим произвольный острый угол, стороной которого будет одно из ребер, отметим на другой стороне три равных отрезка произвольной длины. Соединим конец ребра тетраэдра, не совпадающий с вершиной угла, с концом третьего отрезка, проведем еще 2 прямые параллельные ей через концы отрезков. На пересечении усеченного тетраэдра. Аналогично найдем все остальные вершины. Соединим все вершины, лежащие в одной грани исходного тетраэдра, шестиугольник, и так для каждой грани. Усеченный тетраэдр построен:
Вывод: Рассмотрев строение трех полуправильных многогранников, мы сделали вывод, что не любой полуправильный многогранник можно построить из куба. Следовательно, гипотеза опровергнута.
Используемая литература: Книга: «Геометрия» Градов Н. А. Сайты: Geometryim.ru Arhimedgeom.ru Icosogeom.ru
Как нарисовать зайчика
О чем поет Шотландская волынка?
Спасибо тебе, дедушка!
Гном Гномыч и Изюмка. Агнеш Балинт
Фотографии кратера Королёва на Марсе