Способы умножения натуральных чисел

Департамент по социальным вопросам администрации г. Ишима

Муниципальное казенное учреждение

«Ишимский городской методический центр»

XVI городская научно-практическая конференция молодых исследователей

«Шаг в будущее»

Направление – Математика. Информатика

Способы умножения

 натуральных чисел

 Исследовательская работа

                                                                                                   Автор:

                                                                                                   ученица 5 класса,

                                                                                                   МАОУ СОШ №7 г. Ишима

                                                                                                   Тюкавина Екатерина Алексеевна                                          

                                                                                                   Научный     руководитель:

                                                                                                   Протопопова Мария Олеговна

                                                                                                   учитель математики

                                                                                                   МАОУ СОШ №7 г. Ишима

Ишим

2014

Содержание

1. Краткая аннотация                                                                    3
2. Аннотация                                                                                 4 – 5

     Научная статья                                                                          6 – 14

3.  Введение                                                                                    6 – 7

4. Основная часть

1.  Русско-крестьянский способ умножения                        9 – 10
2.  Квадрат  Пифагора                                                            10 – 12
3.  Таблица Оконешникова                                                    13 – 14
4.  Индийский способ умножения                                         15 – 16
5.  Египетский способ умножения                                        16 – 17
6.  Китайский способ умножения                                         18
7.  Японский способ умножения                                           18 – 19

4. Заключение                                                                                20
5. Литература                                                                                 21
6. Приложения

Способы умножения натуральных чисел

Тюкавина Екатерина Алексеевна

РФ, Тюменская обл., г. Ишим

МАОУ СОШ №7, 5 класс

Краткая аннотация

       В проекте рассматриваются различные способы умножения натуральных чисел, не используемые на уроках и их применение при вычислениях. Работа над проектом способствует осуществлению межпредметных связей математики с: информатикой и ИТ, логикой, историей. Выполнение исследований предполагает работу с бумажными и электронными документами. В результате работы над проектом предполагается изготовление памяток для учащихся. Проект предназначен для развития познавательного интереса к изучаемому предмету, для углубления знаний учащихся в области математики.

Способы умножения натуральных чисел

Тюкавина Екатерина Алексеевна

РФ, Тюменская обл., г. Ишим

МАОУ СОШ №7, 5 класс

АННОТАЦИЯ

                               Цель и задачи проекта:

Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.

Задачи:

1. Найти и разобрать различные способы умножения.
2. Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.
3. Рассказать о новых способах умножения и научить ими пользоваться учащихся.
4. Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.

Объект исследования: Натуральные числа

Предмет исследования: Способы умножения натуральных чисел 

                               Методы исследования:

- изучение и анализ литературы;
- использование различных способов умножения;
- анализ полученных данных.

Гипотеза: «Знания лишь тем открываются.

                    Кто с разными числами знается!!!»  

                                                                                                   Пифагор.

Этапы работы:

1. Сбор информации по дынной теме.

2. Обработка полученной информации.

3. «Пробы» решений различными способами.

4. Создание презентации.

5. Оформление результатов.

Способы умножения натуральных чисел

Тюкавина Екатерина Алексеевна

РФ, Тюменская обл., г. Ишим

МАОУ СОШ №7, 5 класс

Научная статья

Способы умножения натуральных чисел

3. Введение

…..Вы не сможете выполнить умножения многозначных чисел - хотя бы даже двузначных - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т. е. того, что называется таблицей умножения. В старинной «Арифметике» Магницкого необходимость твердого знания таблицы умножения воспета в таких - надо сознаться, чуждых для современного слуха - стихах:

Аще кто не твердит

таблицы и гордит,

Не может познати

числом что множати

И во всей науки, несвобод от муки,

Колико не учиттуне ся удручит

И в пользу не будет аще ю забудет.

Сам Магницкий, автор этих стихов, очевидно, не знал или упустил из виду, что существуют способы перемножать числа и без знания таблицы умножения. Способы эти, не похожи на наши школьные приемы, некоторые употреблялись  в обиходе великорусских крестьян и унаследованы ими от глубокой древности, некоторые используются и в наше время.

 В школе изучают таблицу умножения, а затем учат детей умножать числа в столбик. Разумеется, это не единственный способ умножения. На самом деле, существует несколько десятков способов умножения  многозначных чисел. В данной работе мы приведём несколько способов умножения, возможно они покажутся более простыми и вы будете ими пользоваться.

                               Цель и задачи проекта:

Цель: ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.

Задачи:

5. Найти и разобрать различные способы умножения.
6. Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.
7. Рассказать о новых способах умножения и научить ими пользоваться учащихся.
8. Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.

Объект исследования: Натуральные числа

Предмет исследования: Способы умножения натуральных чисел 

                               Методы исследования:

- изучение и анализ литературы;
- использование различных способов умножения;
- анализ полученных данных.

Гипотеза: «Знания лишь тем открываются.

                    Кто с разными числами знается!!!»  

                                                                                                   Пифагор.

Этапы работы:

1. Сбор информации по дынной теме.

2. Обработка полученной информации.

3. «Пробы» решений различными способами.

4. Создание презентации.

5. Оформление результатов.

4. Основная часть

1. Русско-крестьянский способ умножения.

Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоений другого числа.  Пример: 32 х 13 

 Таблица 1. 

Деление пополам (см. левую половину Табл.1) продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число (правая часть Табл.1). Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение: 

( 32 х 13 ) = ( 1 х 416 )

Особо внимательные  заметят "А как быть с нечетными числами, которые не кратны 2-м?".

Итак, пусть нам необходимо умножить два числа: 987 и 1998. Одно запишем слева, а второе - справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое - умножать на 2 и результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток, то он отбрасывается.

Операцию продолжаем, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки, в которых слева стоят четные числа и сложим оставшиеся числа в правом столбце. Это и есть искомое произведение.  Дана графическая иллюстрация по данному описанию. ( см. Таблицу 2.)

Таблица 2.

2. Квадрат  Пифагора.

1   2   3

4   5   6

7   8   9

Это всем известный Квадрат Пифагора, отражающий мировую систему счисления, состоящую из девяти цифр: от 1 до 9. Выражаясь современным языком – это девяти разрядная числовая матрица, в которой цифры, являющиеся основой для дальнейших вычислений любой сложности расположены в порядке возрастания. Квадрат Пифагора называют и Эннеадой, а тройку цифр - триада. Можно рассматривать тройки цифр расположенные по горизонтали (123, 456, 789) и по вертикали(147, 258, 369). Причем, записанные таким образом, тройки цифр начинают обозначать уже особые числа, подчиняющиеся законам математической пропорции и гармонии.

Вспомним главное правило древнеегипетской математики, в котором сказано, что умножение производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов; то есть каждое удвоение есть сложение числа с самим собой. Поэтому интересно посмотреть на результат подобного удвоения цифр и чисел, но полученному современным методом складывания « в столбик», известному даже в начальных классах школы. Это будет напоминать египетскую систему счисления,  по сути, с разницей в том, что все цифры либо числа записываются в один столбик (без указания того или иного действия в соседнем столбике - как у египтян).

Начнем с цифр, составляющих Квадрат Пифагора: от 1 – до 9.

1           2                3            4             5             6             7            8               9

2           4                6            8           10           12           14          16             18

3           6                9           12          15           18           21          24             27

4           8               12          16          20           24           28          32             36

5          10              15          20          25           30           35          40             45

6          12              18          24          30           36           42          48             54

7          14              21          28          35           42           49          56             63

8          16              24          32          40           48           56          64             72

9          18              27          36          45           54           63          72             81

10        20              30          40          50           60           70          80             90

Цифра 1: обычный последовательный ряд цифр.

Цифра 9: левый столбик - четкий восходящий ряд («поток»).

правый столбик - четкий нисходящий ряд последовательных цифр. Условимся называть восходящим ряд, значения чисел в котором увеличиваются сверху вниз ; в нисходящем же –  наоборот: уменьшаются значения чисел сверху вниз.

Цифра 2:  в правом столбике повторяются четные цифры 2,4,6,8 («в периоде»).

Цифра 8: такой же повтор - только в обратном порядке- 8,6,4,2.

Цифры 4 и 6: четные цифры «в периоде» 4,8,2,6 и 6,2,8,4.

Цифра 5: подчиняется правилу сложения цифры 5- чередование 5 и 0.

Цифра 3: правый столбик - нисходящий ряд уже не цифр, а чисел, образующих  тройки вертикальных рядов в квадрате Пифагора- 369, 258, 147. Причем, отсчет идет «из правого угла квадрата» или справа налево. Здесь также действует принятое выше правило восходящего - нисходящего ряда. Но восходящий ряд – это движение от тройки чисел 147 до тройки 369; нисходящий - от 369 до 147.                                      

Цифра 7: восходящий ряд чисел  147,258,369 из «левого угла» или слева направо.  Впрочем, все зависит от того, как изображена сама девятиразрядная числовая матрица - где поставить цифру 1.

3. Таблица Оконешникова.

Школьники смогут  научиться устно складывать и умножать миллионы, биллионы и даже секстиллионы с квадриллионами. А поможет им в этом кандидат философских наук Василий Оконешников, по совместительству изобретатель новой системы устного счёта. Учёный утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить.  
   По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

По мысли учёного, прежде чем стать вычислительным «компьютером», необходимо вызубрить созданную им таблицу. Цифры в ней распределены в девяти клетках непросто. Как утверждает Оконешников, глаз человека и его память так хитро устроены, что информация, расположенная по его методике, запоминается во-первых, быстрее, а во-вторых – намертво .
       Таблица разделена на 9 частей. Расположены они по принципу мини калькулятора: слева в нижнем углу «1», справа в верхнем углу «9». Каждая часть – таблица умножения чисел от 1 до 9 (опять же в левом нижнем углу на 1, рядом правее на 2 и т.д., по той же «кнопочной» система). Как ими пользоваться?
      Например, требуется умножить 9 на 842. Сразу вспоминаем большую «кнопку» 9 (она вверху справа и на ней мысленно находим маленькие кнопочки 8,4,2 (они также расположены как на калькуляторе). Им соответствуют числа 72, 36, 18. Полученные числа складываем особо: первая цифра 7 (остаётся без изменения), 2 мысленно складываем с 3, получаем 5 – это вторая цифра результата, 6 складываем с 1, получаем третью цифру -7, и остаётся последняя цифра искомого числа – 8. В результате получилось 7578.
Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.
С помощью матричной таблицы Оконешникова по утверждению самого автора, можно изучать и иностранные языки, и даже таблицу Менделеева. Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах. Минобразования РФ разрешило публиковать в тетрадях в клеточку вместе с привычной таблицей Пифагора новую таблицу умножения – пока просто для знакомства.

Пример: 15647 х 5

4. Индийский способ умножения.

В древней Индии применяли два способа умножения: сетки и галеры. На первый взгляд они кажутся очень сложными, но если следовать шаг за шагом в предлагаемых упражнениях, то можно убедиться, что это довольно просто.

Умножаем, например, числа 6827 и 345:

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем один из номеров над колонками, а второй по высоте. В предложенном примере можно использовать одну из этих сеток.

Сетка 1                                                         Сетка 2

2. Выбрав сетку, умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки. В этом случае последовательно умножаем 3 на 6, на 8, на 2 и на 7. Посмотри на этой схеме, как пишется произведение в соответствующей клетке.

Сетка 1

3. Посмотри, как выглядит сетка со всеми заполненными клетками.

Сетка 1

4. В заключение складываем числа, следуя диагональным полосам. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.

Сетка1

Посмотри, как из результатов сложения цифр по диагоналям (они выделены жёлтым фоном) составляется число 2355315, которое и является произведение чисел 6827 и 345, то есть 6827 х 345 = 2355315.

5. Египетский способ умножения.

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать. Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное перемножение на второй множитель (см. пример). Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.

 Разложение. Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:  

1 x 2 = 2                                                                                                                       2 x 2 = 4                                                                                                                         4 x 2 = 8                                                                                                                           8 x 2 = 16                                                                                                                      16 x 2 = 32

Пример разложения числа 25:    Кратный множитель для числа «25» — это 16;     25 — 16 = 9. Кратный множитель для числа «9» — это 8;   9 — 8 = 1.     Кратный множитель для числа «1» — это 1;  1 — 1 = 0. Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример:  умножим «13» на «238» .  Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем:                                                                        ✔         1 х 238  = 238                                                                                                 ✔         4 х 238  = 952                                                                                                 ✔         8 х 238  = 1904                                                                                                13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 =                   1904 + 952 + 238 = 3094.

6. Китайский способ умножения.

А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским.  При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют  количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Пример: умножим 21 на 13. В первом множителе 2 десятка и 1единица, значит строим 2 параллельные прямые и поодаль 1 прямую.

Во втором множителе 1 десяток и 3 единицы. Строим параллельно 1 и поодаль 3 прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть   21 х 13 = 273 

Забавно и интересно, но проводить 9 прямых при умножении на 9 как-то долго и неинтересно, а потом еще точки пересечения считать… В общем, без таблицы  умножения не обойтись!

7. Японский способ умножения.

Японский способ умножения – это графический способ с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский.  Даже чем-то на него похож.

Пример: умножим  12 на  34. Так как второй  множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1, строим  два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2.

 12    х   34

Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре.

    12     х     34

 Количество частей, на которые разделились круги и является  ответом, то есть  12 х 34 = 408.

      Способы умножения натуральных чисел

Тюкавина Екатерина Алексеевна

РФ, Тюменская обл., г. Ишим

МАОУ СОШ №7, 5 класс

Заключение

Работая над этой темой, мы узнали, что существует много различных, забавных и интересных способов умножения. Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

Данная работа может быть использована для занятий на математических кружках, дополнительных занятиях с детьми во внеурочное время, как дополнительный материал на уроке  по теме «Умножение натуральных чисел». Материал изложен доступно и интересно, что привлечёт внимание и интерес учащихся к предмету математика.

Способы умножения натуральных чисел

Тюкавина Екатерина Алексеевна

РФ, Тюменская обл., г. Ишим

МАОУ СОШ №7, 5 класс

Литература

1. Журнал «Математика» №15 2011г.
2. Депман, И. Я., Виленкин, Н. Я., За страницами учебника математики. М., 1989
3. Магницкий, Л. Ф.,  Арифметика.
4. www.rambler.ru
5. www.wikipedia.org