Решение планиметрических задач на ЕГЭ.

Слайд 2

Введение Необходимые теоретические знания по планиметрии при решении задания С4 Глава 1. Медиана прямоугольного треугольника Глава 2. Удвоение медианы Глава 3. Параллелограмм. Средняя линия треугольника Глава 4. Трапеция Глава 5. Нахождение высот и биссектрис треугольника Глава 6. Отношение отрезков Глава 7. Отношение площадей Глава 8. Касательная к окружности Глава 9. Касающиеся окружности Глава 10. Пересекающиеся окружности Глава 11. Окружности, связанные с треугольником и четырехугольником Глава 12. Пропорциональные отрезки в окружности Глава 13. Углы, связанные с окружностью. Метод вспомогательной окружности Глава 14. Подобные треугольники Глава 15. Свойства высот и точки их пересечения Заключение Список литературы

Слайд 3

Способствовать формированию осознанных мотивов изучения геометрии

Слайд 4

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. Г. Галилей Актуальность темы: выявить общие подходы при решении задач по планиметрии, используя необходимый теоретический материал для успешного решения задачи С-4 на ЕГЭ углубить свои знания по геометрии

Слайд 5

В математике следует понимать не формулы , а процесс мышления Е. И. Игнатьев Структура работы : Работа состоит из 15 глав, включает 105 решенных задач, связанных единой идеей, рассматриваются общие подходы к решению геометрических задач, при обилии их различных типов и многообразии их приемов и методов решения

Слайд 6

Методы, используемые в работе для решения задач геометрический (требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений) алгебраический (геометрическая величина вычисляется с помощью уравнений) комбинированный (на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других – алгебраическим) Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели. Г. Лейбниц

Слайд 7

Чтоб мудро жизнь прожить Знать надобно немало О. Хаям Глава 1. Медиана прямоугольного треугольника При решении задач этой главы используются следующие свойства: 1. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла . Равна половине гипотенузы. 2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный

Слайд 8

Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство. Герман Вейль Глава 2. Удвоение медианы Во многих случаях для решения задачи удобно применить дополнительное построение - удвоение медианы. На продолжении медианы АМ треугольника АВС за точку М отложим отрезок MD, равный B М. Тогда диагонали А C и В D четырёхугольника ABDC точкой пересечения М делятся пополам, значит, ABDC — параллелограмм. Далее применяем свойства параллелограмма.

Слайд 9

Геометрия есть познание всего сущего. Платон Глава 3. Параллелограмм. Средняя линия треугольника Для решения задач этого раздела нужно знать : свойства и признаки параллелограмма; теорему о медианах треугольника (медианы треугольника пересекаются в од­ной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины тре­угольника); теорему о средней линии треугольника; Свойство : сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон; Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. А В С D

Слайд 10

Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять. Р. Декарт Глава 4. Трапеция Ещё одно важное свойство трапеции - т очка пересечения диагоналей любой трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. При решении задач на трапецию во многих случаях полезны дополнительные построения, связанные с параллельным переносом боковой стороны или диагонали. При решении задач, связанных с равнобедренной трапецией, кроме общеизвестных свойств и признаков (углы при основании равны, диагонали равны и образуют равные углы с основанием и т. д.) иногда полезно применить следующее свойство:

Слайд 11

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии. А.С. Пушкин Глава 5. Нахождение высот и биссектрис треугольника Нахождение высоты прямоугольного треугольника S= S= h= Нахождение биссектрисы треугольника АК 2 =АВ×АС-АК×КМ

Слайд 12

Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому. Д. Пойа Глава 6. Отношение отрезков Задачи этой главы решаются с помощью дополнительного построения, которое приводит к подобным треугольникам. П ример. Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС за точку С взята точка N, причём АС = 2CN. Точка М находится на стороне ВС, причём ВМ : МС =1 : З. В каком отношении прямая MN делит сторону АВ? Решение. Через точку В проведём прямую, параллельную АС. Пусть прямая MN пересекает её в точке Т, а прямую АВ - в точке К. Обозначим АС = а. Тогда CN = 0,5 а, AN=1,5a. Из подобия треугольников ТВМ и NCM нахом, что ТВ=1/3С N=1/6a. Из подобия треугольников ТВК и NAK – ВК:АК=ТВ: AN=1/9. Ответ: 1: 9, считая от точки В.

Слайд 13

Величие человека - в его способности мыслить. Б. Паскаль Глава7. Отношение площадей При решении большинства задач этого раздела применяются два утверждения: если точка М лежит на стороне ВС треугольника АВС, то площа­ди треугольников АМВ и АМС пропорциональны отрезкам ВМ и СМ , т.е. 2) если прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС (или их продолжения) в точках Р и Q соответственно, то

Слайд 14

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! Д. Пойа Глава 8. Касательная к окружности При решении задач, связанных с касательной, чаще всего исполь­зуются следующие свойства касательной: Если из точки М, не лежащей на окружности с центром О, проведе­ны к окружности две касательные МА и МВ (А и В - точки касания),т о: МА=МВ; 2) МО - биссектриса угла АМВ 3) прямая МО перпендикулярна отрезку АВ и делит его пополам.

Слайд 15

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. В. Произволов Глава 9. Касающиеся окружности Окружности касаются внешним образом, если их центры лежат по разные стороны от общей касательной Окружности касаются внутренним образом, если их центры лежат по одну сторону от общей касательной Свойство: прямая, проведенная через центры окружностей, проходит через точку касания Примечание: если в условии задачи не указано каким образом касаются окружности, то необходимо рассматривать оба случая

Слайд 16

Глава 10. Пересекающиеся окружности При решении задач по данной теме используют свойство пересекающихся окружностей: Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит её пополам. Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. В. Шрадер

Слайд 17

Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи. Д. Пойа Глава 11. Окружности, связанные с треугольником и четырёхугольником . Окружность, вписанная в треугольник Вневписанные окружности обозначения r 1 ,r 2 ,r 3 — радиусы вневписанных окружностей с центрами I 1 ,I 2 ,I 3 , касающиеся соответственно сторон a,b,c ; p — полупериметр треугольника; r — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности. Свойства: Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника. 4R = r 1 + r 2 + r 3 – r; S=pr ; S = (р — а) r а

Слайд 18

Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым. А.П. Конфорович Окружность, вписанная в четырехугольник Окружность, описанная около четырехугольника Свойство 1. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Свойство 2. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Свойство 1. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 . Свойство 2. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Слайд 19

Доказательство - это рассуждение, которое убеждает. Ю.А. Шиханович Глава 12. Пропорциональные отрезки в окружности Теорема. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны, т. е. если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точ ­ ке М, то АМ • МВ = СМ • MD. Теорема (о касательной и секущей). Если из точки, лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадра ­ ту касательной, т. е. если точка М расположена вне окружности, прямая, проходящая через точку М, касается окружности в точке С, а вторая прямая, проходящая через точку М, пересекает окружность в точках А и В, то МС 2 = МА • МВ. Следствие. Для данной точки М, данной окружности и любой прямой, проходящей через точку М и пересекающей окружность в точках А и В, произведение МА • МВ одно и то же.

Слайд 20

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. А.Н. Крылов Глава 13. Углы, связанные с окружностью. Метод вспомогательной окружности Вписанный угол равен половине угловой величины соответствующего центрального угла (дуги). Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, т. е. если точки А и В лежат на окружности по одну сторону от прямой, содержащей хорду CD, то L CAD = L CBD. Если же точки А и В лежат по разные стороны от пря ­ мой CD, то L CAD + L CBD =180°. Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними. Угловая величина дуги - это угловая величина соответствующего этой дуге центрального угла.

Слайд 21

Между духом и материей посредничает математика. Штейнгауз Гуго Условия, при которых четыре точки лежат на одной окружности: Метод вспомогательной окружности Можно указать точку, равноудалённую от рассматриваемых точек А, В, С и D. Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой CD, отре­зок CD виден под одними тем же углом. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, и при этом ОА • ОВ = ОС•OD. Точки А и В лежат на одной стороне неразвёрнутого угла с вер­шиной O , точки С и D -на другой, и при этом ОА • ОВ = ОС • OD. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой CD, и при этом сумма углов СА D и СВ D равна 180°. Из точек А и В отрезок CD виден под прямым углом

Слайд 22

Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину. Врублевский Славомир Глава 14. Вспомогательные подобные треугольники При решении задач этой главы ключевая идея состоит в отыскании пары подобных треугольников. Пример. На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка D, причём L BCD = L BAC. Известно, что ВС = а, АС = b , АВ = с. Найдите CD. Решение. Треугольники CBD и АВС подобны по двум углам,т. к. L BCD = L BAC по условию, а угол при вершине В —общий. Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны, т.е. С D : АС=ВС:АВ. Следовательно, CD = Ответ:

Слайд 23

Глава 15. Некоторые свойства высот и точки их пересечения Точки В, С, В 1 и С 1 лежат на одной окружности, причём ВС — её диаметр Треугольник АВВ 1 подобен треугольнику АСС 1 . L AB 1 C 1 =L ABC Треугольник АВ 1 С 1 подобен треугольнику АВС, причём коэффи­циент подобия равен Расстояние от точки Н до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра О описанной окружности до стороны, противо­положной этой вершине L BAH = L CAO ОА ⊥ В 1 С 1 Точки, симметричные ортоцентру Н относительно сторон тре­угольника, лежат на описанной окружности треугольника

Слайд 24

Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества . Роджер Бэкон Заключение Надеюсь, что рассмотренные теоретические вопросы и решенные задачи помогут не только мне, но и другим обучающимся, заинтересовавшимся моей работой, в успешном решении задания С4 при выполнении ЕГЭ по математике. Желаю удачи в изучении геометрии !

Слайд 25

Список литературы 1. Р. К. Гордин « ЕГЭ 2010. Математика. Задача С4 » под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко. Издательство МЦНМО Москва, 2010 2. Л. Д. Лаппо, М. А. Попов « Математика вступительные испытания. Подготовка к ЕГЭ » . Издательство « Экзамен » Москва, 2010 3. В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина « Математика. Репетитор. ЕГЭ 2011 » . Издательство « Эксмо » Москва, 2010 4. Л. Д. Лаппо, М. А. Попов « Математика. Тематические тренировочные задания. Уровень В, С » . Издательство « Экзамен » Москва, 2010 5. И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П. И. Захаров « Математика. Тематическая рабочая тетрадь для подготовки к экзамену » . Издательство « Экзамен » Москва, 2010 6. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина « Геометрия 7-9 классы » . Издательство « Просвещение » москва, 2009 7. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский « Геометрия в таблицах 7-11 классы. Справочное пособие » . Издательство « Дрофа » Москва, 2009 8. А. Н. Роганин, И. В. Лысикова « Математика в схемах и таблицах » . Издательство « Эксмо » Москва, 2010