исследовательская работа "Жизнь и научная деятельность А.Н.Колмогорова"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Левинская средняя общеобразовательная школа»

Районная научно - практическая конференция учащихся

 Меленковского района Владимирской области

Вид работы: исследовательская работа

Тема работы: Жизнь и научная деятельность А. Н. Колмогорова.

Выполнил: Долгова Анна, 11 класс

Научный руководитель: Удалова

                        Вера Михайловна

Меленки

2013

СОДЕРЖАНИЕ

                                                                                                                                       Стр.

Введение............................................................................................................3

Глава 1. Жизненный путь Андрея Николаевича

1. Детство.............................................................................................5
2. Студенческие годы Колмогорова...................................................6
3. Становление в науке........................................................................8

Глава 2. Научная и педагогическая деятельность А.Н. Колмогорова

2.1.        Научная деятельность А.Н. Колмогорова...................................10

2.2.        Педагогическая деятельность А.Н. Колмогорова.......................14

Глава 3. Из области математики

1. Аксиомы элементарной теории вероятности................................16
2. Средние Колмогорова....................................................................17

Заключение .....................................................................................................20

Приложение ....................................................................................................22

Список литературы........................................................................................23

Введение

Данная исследовательская работа посвящена изучению жизни и деятельности Колмогорова Андрея Николаевича. Это один  из известнейших и талантливейших учёных XX века, грандиозный  деятель, талантливый организатор, выдающийся  педагог и неординарная, высокоразвитая личность.

Андрей Николаевич - великий русский ученый, достойно признанный чуть ли не всеми авторитетными мировыми сообществами ученых – член Национальной Академии наук США и американской Академии искусств и наук, член Нидерландской Королевской академии наук и Академии наук Финляндии, член Академии наук Франции и Германской академии естествоиспытателей "Леопольдина", член Международной академии истории наук и национальных академий Румынии, Венгрии и Польши, почетный член Королевского статистического общества Великобритании и Лондонского математического общества, почетный член Международного статистического института и Математического общества Индии, иностранный член Американского философского и Американского метеорологического общества, лауреат самых почетных научных премий: премии П.Л.Чебышева и Н.И.Лобачевского АН СССР, Международной премии фонда Бальцана и Международной премии фонда Вольфа, а также государственной и Ленинской премии, награжденный 7-ю орденами Ленина, медалью "Золотая Звезда" Героя Социалистического труда.

Таким образом, объект данного исследования – жизнь и деятельность великого математика - Колмогорова Андрея Николаевича; цель исследования – выявить достижения и вклад в науку данного ученого.

Для достижения цели решались следующие задачи:

• проанализировать и изучить литературу о жизни и деятельности великого ученого;
• описать вклад в развитие математики;
• установить глубину достижений ученого.

Актуальности данной работы способствовало желание принять участие в районных математических чтениях, посвященных 110-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова.

В работе было использовано 11 источников. Наиболее ценными оказались: «Явление чрезвычайное» книга о Колмогорове, сборник статей; «Колмогоров в воспоминаниях учеников» сборник статей под редакцией А. Н. Ширяева.

Глава 1. Жизненный путь Андрея Николаевича

1.  Детство

Андрей Николаевич Колмогоров родился 25 (12) апреля 1903 года в Тамбове. Мама Андрея Николаевича - Мария Яковлевна Колмогорова умерла в день рождения сына - 25 апреля 1903 года. Имя дали по желанию, заранее высказанному мамой: если родится мальчик, назвать Андреем в честь Андрея Болконского, любимого ею литературного персонажа из романа Л. Н. Толстого. Отец Андрея - Николай Матвеевич Катаев-агроном и немного беллетрист. Будучи еще холостяком, он участвовал в движении народников и в начале века был выслан в Ярославль, где стал работать земским статистиком. Там он и познакомился с Марией Яковлевной Колмогоровой - дочерью крупного помещика Я. С. Колмогорова. Знакомство сблизило их. Мария соглашается стать женой Николая Матвеевича, вопреки воле родителей, и покидает отчий дом. Так как Мария и Николай обвенчаны не были, то родившийся у них мальчик (Андрей) считался незаконнорожденным и не имел права ни на отчество по родному отцу, ни на фамилию его. И лишь после Октябрьской революции по новым законам он смог получить фамилию мамы и отчество по отцу. Заботы об Андрее взяла на себя сестра его мамы - Вера Яковлевна, усыновившая мальчика. Большое участие в его воспитании принимали и другие сестры Марии, особенно Надежда Яковлевна Колмогорова. Первые годы жизни Андрей провел в имении деда - Туношне, расположенном на берегу одного из притоков Волги недалеко от Ярославля. Тетушки одарили мальчика любовью, лаской, вниманием, трогательной заботой о его интеллектуальном и нравственном воспитании. Все старались развить в ребенке любознательность и интерес к книгам, наукам, природе, ответственность и самостоятельность, нетерпимость к безделью и плохо выполненной работе.  Тетушки Андрея в своем доме организовали школу для детей разного возраста, которые жили поблизости, занимались с ними — десятком ребятишек — по рецептам новейшей педагогики. Для ребят издавался рукописный журнал «Весенние ласточки». В нем публиковались творческие работы учеников — рисунки, стихи, рассказы. В нем же появлялись и «научные работы» Андрея — придуманные им арифметические задачи. Здесь же мальчик опубликовал в пять лет свою первую научную работу по математике. Правда, это была всего-навсего известная алгебраическая закономерность, но мальчик сам ее подметил, без посторонней помощи! Андрей Николаевич вспоминал: «Радость математического открытия я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность

 1 = 12

 1 + 3 = 22

 1 + 3 + 5 = 32

 1 + 3 + 5 + 7 = 42 и так далее.»

В 1910 году Вера Яковлевна с Андреем переехала в Москву. Они жили на проценты от капитала, полученного по наследству. Андрей поступил в частную гимназию Репман, после революции преобразованную в двадцать третью школу второй ступени. Он окончил ее в 1920 году. И не сразу решил стать математиком.

Время было голодное и тревожное. Юноше хотелось получить не только знания, но и профессию, ремесло. Вот как он сам впоследствии вспоминал об этом периоде своей жизни: «Техника тогда воспринималась как что-то более серьезное и необходимое, чем чистая наука. Одновременно с математическим отделением университета (куда принимали всех желающих без экзаменов) я поступил на металлургический факультет Менделеевского института (где требовался вступительный экзамен по математике). Но скоро интерес к математике превысил сомнения в актуальности профессии математика».

2.  Студенческие годы Колмогорова

         В 1920 году Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт. Перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Влечет его на математическое отделение Московского университета, но есть и сомнение - здесь чистая наука, а техника — дело, пожалуй, более серьезное. Настоящим мужским делом, кроме того, перспективным он считает металлургический факультет Менделеевского института. Решено поступать и туда, и сюда. И семнадцатилетний юноша выстукивает деревянными подошвами самодельных башмаков два маршрута по московским мостовым: в университет и в Менделеевский институт. Поступив на физико-математический факультет Московского университета в 1920 году, он окончательно связывает свою жизнь с математикой. В первые студенческие годы, кроме математики, Колмогоров занимался самым серьёзным образом в семинаре по древнерусской истории профессора С. Б. Бахрушина. Не бросал мысль о технической карьере, его увлекала металлургия, и, параллельно с университетом, он поступил на металлургическое отделение Химико-технологического института им. Менделеева и некоторое время там проучился. Но вскоре ему становится ясно, что чистая наука тоже очень актуальна. Никаких сомнений — это дело его жизни. Все остальное — лишнее — в сторону! В первые же месяцы сданы экзамены за первый курс. А как студент второго курса, он получает право на «стипендию», шестнадцать килограммов хлеба и килограмм масла в месяц — это настоящее благополучие. Теперь есть и свободное время. Оно отдается попыткам решить уже поставленные математические задачи.

Как это бывает обычно, первые работы А. Н. Колмогорова были посвящены решению отдельных уже ранее поставленных трудных задач. Более широкую деятельность по созданию нового направления исследования он начал с А. Я. Хичкиным в его основной математической специальности – теории вероятностей. На втором курсе он выполнил первые самостоятельные научные работы. Теорией тригонометрических рядов у профессора В. В. Степанова он начал заниматься вместе со своим близким другом - необычайно ярким и талантливым математиком Т. А. Селиверстовым ( оба брата Селиверстова погибли во время ВОВ ). Уже в девятнадцать лет ему удалось построить пример «почти всюду расходящегося тригонометрического ряда», принесший ему мировую известность. Его первым руководителями в университете были, кроме В. В. Степанова, В. К. Власов, П. С. Александров, П. С. Урысон. Несколько позднее он стал учеником Н. Н. Лузина.

3.  Становления в науке

Лекции профессора Московского университета Николая Николаевича Лузина, по свидетельству современников, были выдающимся явлением. У Лузина никогда не было заранее предписанной формы изложения. И его лекции ни в коем случае не могли служить образцом для подражания. Да их и не повторить никому другому, даже сам Николай Николаевич, попроси его, пожалуй, не осилил бы такую задачу, но у него было редкое чувство аудитории. Он, как настоящий актер, выступающий на театральной сцене и прекрасно чувствующий реакцию зрительного зала, имел постоянный контакт со студентами. Он умел приводить студентов в соприкосновение с собственной математической мыслью, открывая таинства своей научной лаборатории. Приглашал к совместной духовной деятельности, к сотворчеству.

Колмогоров впервые обратил на себя внимание профессора на одной лекции. Лузин, как всегда, вел занятия, постоянно обращаясь к слушателям с вопросами, заданиями. И когда он сказал: «Давайте строить доказательство теоремы, исходя из следующего предположения» — в аудитории поднялась рука Андрея Колмогорова: «Профессор, оно ошибочно». За вопросом «почему» последовал краткий ответ первокурсника. Довольный Лузин кивнул: «Что ж, приходите на кружок, доложите нам свои соображения более развернуто».

«Хотя мое достижение было довольно детским, оно сделало меня известным в «Лузитании» -  вспоминает Андрей Николаевич.

Но через год серьезные результаты, полученные восемнадцатилетним второкурсником Андреем Колмогоровым, обратили на себя настоящее внимание «патриарха». С некоторой торжественностью Николай Николаевич предлагает Колмогорову приходить в определенный день и час недели, предназначенный для учеников его курса. Подобное приглашение, по понятиям «Лузитании», так называли себя математики, работавшие под руководством Н. Н. Лузина, следовало расценивать как присвоение почетного звания ученика, как признание способностей. В следующем учебном году Андрей Николаевич посещал лекции Н. Н. Лузина и П. С. Александрова уже на правах "своего", получив №16 в иерархии "лузитанцев".

Двадцатые годы были временем расцвета необыкновенного математического таланта Лузина. Вместе с ним настойчиво и плодотворно работают представители «Лузитании».

К двадцатым годам относятся и первые значительные труды А. Н. Колмогорова.

Глава 2. Научная и педагогическая деятельность А.Н. Колмогорова

2.1. Научная деятельность А.Н. Колмогорова

Летом 1922 года А. Н. Колмогоров строит ряд Фурье, расходящийся почти всюду, т.е. решает  задачу разложения произвольной периодической функции на простые гармонические колебания. Эта работа принесла девятнадцатилетнему студенту мировую известность.        

Обсуждавшиеся в середине двадцатых годов повсюду, в том числе в Москве, вопросы оснований математического анализа и тесно с ними связанные исследования по математической логике привлекли внимание Колмогорова почти в самом начале его творчества. Он принял участие в дискуссиях между двумя основными противостоявшими тогда методологическими школами — формально-аксиоматической (Д. Гильберт) и интуиционистской (Л. Э. Я. Брауэр и Г. Вейль). При этом он получил совершенно неожиданный первоклассный результат, доказав, что все известные предложения классической формальной логики при определённой интерпретации переходят в предложения интуиционистской логики — его знаменитая работа «О принципе tertium non datur» датирована 1925-м годом. Глубокий интерес к философии математики Колмогоров сохранил навсегда.

Особое значение для приложения математических методов к естествознанию и практическим наукам имел закон больших чисел. Крупнейшие математики многих стран на протяжении десятилетий безуспешно старались его получить. В 1926 году эти условия были получены аспирантом Колмогоровым.

Многие годы тесного и плодотворного сотрудничества связывали его с А. Я. Хинчиным, который в то время начал разработку вопросов теории вероятностей. Она и стала областью совместной деятельности учёных. Наука «о случае» ещё со времён Чебышёва являлась как бы русской национальной наукой. Её успехи приумножили многие советские математики, но современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем в 1929 году и окончательно в 1933 году. Своей работой «Основные понятия теории вероятностей», первое издание которой опубликовано в 1933 году на немецком языке (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung), Андрей Николаевич Колмогоров заложил фундамент современной теории вероятностей, основанной на теории меры.

В 1930 году Колмогоров совершает командировку в Германию и Францию. В Геттингене — математической Мекке начала века — он встречается со многими выдающимися коллегами, и прежде всего — с Гильбертом и Курантом.

Андрей Николаевич до конца своих дней считал теорию вероятностей главной своей специальностью, хотя областей математики, в которых он работал, можно насчитать два десятка. Но тогда только начиналась дорога Колмогорова и его друзей в науке. Они много работали, но не теряли чувства юмора. В шутку называли уравнения с частными производными «уравнениями с несчастными производными», такой специальный термин, как конечные разности, переиначивался в «разные конечности», а теория вероятностей — в «теорию неприятностей».

Норберт Винер, «отец» кибернетики, свидетельствовал: «…Хинчин и Колмогоров, два наиболее видных русских специалиста по теории вероятностей, долгое время работали в той же области, что и я. Более двадцати лет мы наступали друг другу на пятки: то они доказывали теорему, которую я вот-вот готовился доказать, то мне удавалось прийти к финишу чуть-чуть раньше их».        

И ещё одно признание Винера, которое он однажды сделал журналистам: «Вот уже в течение тридцати лет, когда я читаю труды академика Колмогорова, я чувствую, что это и мои мысли. Это всякий раз то, что я и сам хотел сказать».

В 1931 году Колмогоров стал профессором МГУ, с 1933 по 1939 год был директором Института математики и механики МГУ, основал и многие годы руководил кафедрой теории вероятностей механико-математического факультета и Межфакультетской лабораторией статистических методов. Степень доктора физико-математических наук Колмогорову была присвоена в 1935 году (учёные степени были восстановлены в СССР в 1934 году).

В 1939 году в возрасте 35 лет Колмогорова избирают сразу действительным членом (пропуская звание члена-корреспондента) Академии наук СССР, членом Президиума Академии и, по предложению О. Ю. Шмидта, академиком-секретарем (по 1942 год) Отделения физико-математических наук АН СССР.

С 1936 года Андрей Николаевич много сил отдает работе по созданию Большой и Малой Советских Энциклопедий. Он возглавляет математический отдел и сам пишет много статей для энциклопедий.

Незадолго до начала Великой Отечественной войны Колмогорову и Хинчину за работы по теории случайных процессов была присуждена Сталинская премия (1941).

А 23 июня 1941 года состоялось расширенное заседание Президиума Академии наук СССР. Принятое на нём решение кладёт начало перестройке деятельности научных учреждений. Теперь главное — военная тематика: все силы, все знания — победе. Советские математики по заданию Главного артиллерийского управления армии ведут сложные работы в области баллистики и механики. Колмогоров, используя свои исследования по теории вероятностей, даёт определение наивыгоднейшего рассеивания снарядов при стрельбе. После окончания войны Колмогоров возвращается к мирным исследованиям.

Ещё в конце тридцатых годов Колмогорова заинтересовали проблемы турбулентности, в 1946 году после войны он вновь возвращается к этим вопросам. Он организует лабораторию атмосферной турбулентности в Институте теоретической геофизики АН СССР. Параллельно с работами по этой проблеме Колмогоров продолжает успешную деятельность во многих областях математики — исследования, посвященные случайным процессам, алгебраической топологии и т. д.

В конце 1940-х годов А. Н. Колмогоров был первым лектором курса теории функций и функционального анализа («Анализ III») на механико-математическом факультете Московского государственного университета. Вместе с С. В. Фоминым он написал учебник «Элементы теории функций и функционального анализа», выдержавший семь изданий (7-е изд. — М.: Физматлит, 2012), а также переведенный на иностранные языки: английский, французский, немецкий, испанский, японский, чешский, дари.

На 1950-е и начало 1960-х годов приходится очередной взлёт математического творчества Колмогорова. Здесь нужно отметить его выдающиеся, фундаментальные работы по следующим направлениям:

• по небесной механике, где он сдвинул с мертвой точки проблемы, оставшиеся нерешенными со времен Ньютона и Лапласа;
• по 13-й проблеме Гильберта о возможности представления произвольной непрерывной функции нескольких действительных переменных в виде суперпозиции непрерывных же функций двух переменных;
• по динамическим системам, где введенный им новый инвариант «эпсилон-энтропия» привел к перевороту в теории этих систем;
• по теории вероятностей конструктивных объектов, где предложенные им идеи измерения сложности объекта нашли многообразные применения в теории информации, теории вероятностей и теории алгоритмов.

Прочитанный им на Международном математическом конгрессе в 1954 году в Амстердаме доклад «Общая теория динамических систем и классическая механика» стал событием мирового уровня.

В теории динамических систем Колмогоров опубликовал теорему об инвариантных торах, обобщенную в дальнейшем Арнольдом и Мозером, что привело к созданию теории Колмогорова — Арнольда — Мозера (одну из первых теорий хаоса).

2.2 Педагогическая деятельность А.Н. Колмогорова

А. Н. Колмогоров широко известен как выдающийся педагог, воспитавший блестящую плеяду советских математиков нескольких поколений. Среди них только академики составляют импозантную компанию более, чем из десяти человек: И.В. Арнольд, А.А.Боровков, И.М.Гельфанд, А.Н.Мальцев, М.Д.Миллионщиков, В.С.Михалевич, С.М.Никольский, А.М.Обухов, Ю.В.Прохоров, Я.Г.Синай, Б.В. Гнедиенко, С.Х.Сираждинов, В.А.Статулявичюс, Л.Н.Большев, А.С.Монин, Б.А.Севастьянов, А.Н.Ширяев.

Много сил отдал Андрей Николаевич делу развития математического образования в школе, написанию учебников, воспитанию юных математических дарований. 

Под его руководством в 1963 году была создана школа - интернат № 18 физико-математического профиля для одаренных школьников, а в 1970 году вместе с академиком Кикоином создает научно-популярный журнал « Квант» для школьников.

Педагогическая деятельность Колмогорова была и удивительно счастливой, и вместе с тем трагической. Как пишет его ученик А.Н. Ширяев: «Школьная математика была предметом его постоянного интереса и заботы на протяжении всей его жизни». Колмогоров сообщает в своей автобиографии, что «с 1922 года (с 19 лет) начал преподавать математику». Очень рано, почти сразу после окончания университета, у него появляются ученики - студенты и аспиранты. В это же время несколько лет заведовал кафедрой математики в педагогическом институте. В разных вариантах А.Н. Колмогоров занимался педагогической деятельностью на протяжении всей своей жизни.

Чтобы понять, какова была этика его как учителя, стоит привести слова одного из его учеников - В.А.Успенского: «По современным нормам Колмогоров должен был бы числиться соавтором многих статей своих учеников, но он, как правило, воздерживался от включения себя в число формальных авторов".

Говоря о Колмогорове - педагоге, невозможно уйти от вопроса о его учебниках по математике, созданных под прямым его руководством. Колмогоров еще в 1939 году, вместе с П.С. Александровым, выпустил учебник алгебры. Вплотную к созданию целого комплекта школьных учебников по математике он подошел на рубеже 50- 60 гг. В 1964 году Колмогоров возглавил комиссию по реформе школьного математического образования. Будучи руководителем авторского коллектива, Колмогоров всегда принимал непосредственно - практическое и часто очень значительное по объему участие в работе над учебниками.

 Главной своей задачей при создании учебников Колмогоров считал их соответствие самым высоким требованиям, поставленных прежде всего математикой.

Выводы:

1. А.Н. Колмогоров – величайший русский математик ХХ столетия, гордость отечественной науки. Он - один из величайших математиков XX века. Его жизнь в науке на редкость интенсивна и плодотворна: создатель современной теории вероятностей, автор классических результатов в теории функций, в математической логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, в теории турбулентности, теории гамильтоновых систем.
2. А.Н. Колмогоров был талантливым педагогом, создал выдающуюся научную школу. Большинство его учеников стало лидерами своих научных направлений, продолжая дело своего учителя.

Глава 3. Из области математики

1. Аксиомы элементарной теории вероятности

Отечественная вероятностно-статистическая научная школа порождена идеями А.Н. Колмогорова

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятый и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

Пусть Ω — множество элементов ω, которые называются элементарными событиями, а F— множество подмножеств Ω, называемых случайными событиями (или просто — событиями), а Ω — пространством элементарных событий.

Аксиома I (алгебра событий). F является алгеброй событий.

Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из F поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(x), которое называется вероятностью события x.

Аксиома III (нормировка вероятности). P(Ω)=1.

Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не пересекаются, то

P(x+y) = P(x) + P(y).

Cовокупность объектов (Ω, F, P) удовлетворяющую аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: Ω состоит из единственного элемента ω, F — из Ω и невозможного события (пустого множества), при этом положено P(Ω) = 1, P() = 0. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

А. Н. Колмогоров под влиянием идей нескольких теорий: множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом, которая позволила описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей. Его книга «Основные понятия теории вероятностей» (1936), где была построена аксиоматика теории вероятностей, принадлежит к числу классических трудов в этой области науки,

        Вывод: Андрей Николаевич Колмогоров поставил теорию вероятностей и математическую статистику, на прочный аксиоматический фундамент и значительно обогатил многие из её разделов, чем внёс неоценимый вклад в мировую науку.

2. Средние Колмогорова

Проведение статистических исследований всегда было делом чести для отечественной интеллигенции. Наибольшие достижения в XX веке были получены в России в математической статистике. Именно деятельность А.Н. Колмогорова  и его работы дали первоначальный толчок дальнейшему развитию ряда направлений, важных для современных статистических методов.

Аксиоматический подход к теории вероятностей позволил рассматривать теорию вероятностей и математическую статистику как часть математики, проводить рассуждения на математическом уровне строгости. В частности, было введено четкое различие между частотой и вероятностью, случайная величина стала рассматриваться как функция от элементарного исхода, и т.д. За основу методов статистического анализа данных стало возможным брать вероятностно-статистические модели, сформулированные в математических терминах.

Естественная система аксиом приводит к так называемым ассоциативным средним. Их общий вид нашел в 1930 г. А.Н.Колмогоров. Теперь их называют «средними по Колмогорову».

Средние Колмогорова или средние по Колмогорову для действительных чисел  — это величины вида

где  — непрерывная строго монотонная функция, а  — функция, обратная к . При этом выбор определённых функций  даёт различные классические средние:

• при  — среднее арифметическое;
• при  — среднее геометрическое;
• при  — среднее гармоническое;
• при  — среднее квадратическое;
• при  — среднее степенное.

 А. Н. Колмогоров показал, что любая средняя величина  имеет вид , если она обладает свойствами:

• непрерывности,
• монотонности по каждому , 
• симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
• среднее от набора равных чисел равно их значению,
• замена любой группы чисел в наборе  их средним не меняет значение среднего всего набора.

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. Прикладная статистика - наука о методах обработки статистических данных. Методы прикладной статистики активно применяются в технических исследованиях, экономике менеджменте, социологии, медицине, геологии, истории и т. д. Эконометрика — наука, изучающая количественные и качественные экономические взаимосвязи с помощью математических и статистических методов и моделей. С результатами наблюдений, измерений, испытаний, опытов, с их анализом имеют дело специалисты во многих областях теоретической и практической деятельности. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.

Для непрерывно распределённой величины  среднее Колмогорова на отрезке :

Полностью посвятили себя статистическим методам в ХХ в. член-корреспондент АН СССР Л.Н. Большев, ученик А.Н. Колмогорова.

Для работ Л. Н. Большева характерно сочетание высокого математического уровня с направленностью на практические приложения статистических методов.

Вывод: А. Н. Колмогоров обогатил науку во многих областях, в том числе, математической статистике, внёс огромный вклад в развитие статистических методов.

Заключение

«Человек, которому было суждено одарить мир хотя бы одной великой созидательной идеей, не нуждается в похвале потомства. Его творчество даровало ему более значительное благо».

Альберт Эйнштейн.

По меткому выражению Стефана Банаха: «Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями. Лучший математик — кто устанавливает аналогии доказательств. Более сильный может заметить аналогии теорий. Но есть и такие, кто между аналогиями видит аналогии». К этим редким представителям последних относится и Андрей Николаевич Колмогоров — один из крупнейших математиков двадцатого века.

XX век - век атома, электроники и кибернетики, век великих космических исследований и открытий. Всё это стало возможно благодаря прогрессу математической науки. Только современные математические методы позволяют людям решать важные технические задачи и внедрять автоматику в производство. Мы ценим выдающиеся достижения Отечественных математиков XX столетия.

В мировой науке, чтобы отметить достижения в тех областях, которые не охватываются Нобелевскими премиями, были учреждены Бальцановские премии. В 1963 г. состоялось первое присуждение Бальцановской премии по математике, и ее лауреатом стал А. Н. Колмогоров. Это была высшая оценка вклада А. Н. Колмогорова в мировую науку.

Стремительно увеличивающаяся временная дистанция позволяет нам лучше понять масштабы личности Андрея Николаевича Колмогорова, оценить его демократизм, глубину педагогического мышления.

Колмогоров скончался 20 октября 1987 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.

Гениальный Учёный, великий Просветитель, замечательный Человек – имя Андрея Николаевича Колмогорова золотыми буквами вписано в плеяду  величайших людей планеты.

«Я, во всяком случае, жил всегда руководствуясь тем тезисом, что ИСТИНА – главное, что наш долг – находить и отстаивать её, независимо от того, приятна она или неприятна.  Во всяком случае, в своей сознательной жизни я всегда исходил из таких положений».

Андрей Николаевич Колмогоров

Приложения

Литература.

• В. М. Тихомиров. Андрей Николаевич Колмогоров (к 90-летию со дня рождения) // Квант. 1993. № 3/4.
• Воспоминания об А. Н. Колмогорове. (Новиков С. П., "Успехи математических наук", 1988, т. 43, вып. 6. с. 35-36.)
• 100 великих учёных. Самин Д. К. М.: Вече, 2000. — 592 с.
• Колмогоров в воспоминаниях. Ред.-сост. А.Н.Ширяев. - М.: "Наука", 1993. 734 с.
• Колмогоров в воспоминаниях учеников: Сб. ст. / Ред.-сост. А. Н. Ширяев. М.: МЦНМО, 2006
• Колмогоров / Новая философская энциклопедия: в 4 т. М.: Мысль, 2010
• Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М., 1991
• Мой математический век. (С. М. Никольский. М.: ФАЗИС, 2003. Серия "К 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова".)
• Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. Сборник статей. - М.: "ФАЗИС", "МИРОС", 1999.

Интернет источники:

• www. wikipedia. Ru
• http://www.kolmogorov.info/