Устный счет - гимнастика для ума

Содержание

Введение………………………………………………………………………2

Цели и задачи…………………………………………………………………4

Тезисы………………………………………………………………………...5

Основная часть……………………………………………………………….6

Заключение…………………………………………………………………..12

Литература…………………………………………………………………...12

Приложения………………………………………………………………….13

Введение.

История возникновения чисел.

Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.

       И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делась из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.
Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал-энэа», 4 «петчевал-петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньше: 4= «булан – булан», 5= «булан – гулиба», 6= « гулиба – гулиба» и т.д.

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли « боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине и берегах Амура нивхи. Ещё в прошлом веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.

Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.
Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха - Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе..». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе..», пока не дойдёт до «ибон-али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба-бе» (одна нога) и «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».
Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками. До сих пор я рассказывал об устном счёте.

         Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы математического цикла. Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора. Я хочу остановиться на способах умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги. Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий, в частности – умножение на 11, двузначные числа. Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако, владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе. На уроках математики приходится, много делать устных вычислений и когда учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11 и 111, у меня возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Я поставил перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления.

Цели проекта:

1. Изучить некоторые приёмы организации устного счёта, позволяющие ускорить и рационализировать вычисления.

2.   Развивать  память  и  повышать математическую культуру мышления, автоматизировать  навыки устного счёта,  развить речь, логическое мышление, математические способности, наблюдательность, интерес.

 3. Развивать познавательный интерес к математике с помощью использования различных видов устного счёта.

Задачи:

- Составить алгоритмы для быстрого вычисления арифметических  действий.

- Освоить описанные ниже приемы устного счета для быстрого выполнения арифметических действий.

- Научиться использовать приёмы устного счёта на различных уроках  и в повседневной жизни.

- Собрать материал по теме, проанализировать и представить в виде исследовательской работы.

Тезисы.

Актуальность: 

   Математика является одной из важнейших наук на земле и  именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Счет в уме является  самым древним и  простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора.    Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.  Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно  важно в тех случаях, когда мы не имеем в своем распоряжении калькулятора и компьютера.

 Гипотеза:   В старину говорили: «Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Прост ли наш современный способ умножения?

Основная часть

     Эта картина (приложение № 1) называется «Устный счет». Написал ее художник Николай Петрович Богданов – Бельский, 1895 году. Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя, очень хорошо знал своих героев: вырос в их среде. Учитель – это Сергей Александрович Рачинский, известный русский педагог, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского университета. В 1868 году С. А. Рачинский решает «уйти в народ». Он держит экзамен на звание учителя начальных классов. На свои средства открывает школу для крестьянских детей в селе Татево Смоленской губернии и становится в ней учителем. Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы. Не случайно, художник изобразил С. А. Рачинского вместе с его учениками именно на уроке устного решения задач. Эта картина – гимн учителю и ученику.

     В своей работе я остановлюсь, на вычислениях, для производства которых достаточно устного счета или применения в некоторых случаях карандаша, ручки и бумаги. Освоение описанных ниже приемов устного счета позволит нам быстро выполнять арифметические действия, что будет способствовать развитию памяти и повышению математической культуры мышления. Знание упрощенных приемов устных вычислений особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий  не имеет в своем распоряжении таблиц или калькулятора.  В своей работе я хочу остановиться на способах умножения натуральных чисел.

     Существуют специальные способы выполнения действий для устного счета, рассчитанные на ум «обычного» человека  и не требующие уникальных способностей.

- Умножение на 11, сумма цифр которого не превышает 10.

- Умножение на 11, сумма цифр которого 10 или больше 10.

- Умножение на 22, 33,…99.

- Умножение на число, оканчивающееся на 5.

- Умножение и деление на 25 и 75.

- Умножение и деление на 50.

- Умножение и деление на 111, 1111, сумма цифр которого не превышает 10.

- Умножение и деление на 111, 1111, сумма цифр которого  10 или больше 10.

- Умножение на 9, 99, 999.

- Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 десятков.

- Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 единиц.

- Способ изменения сомножителей.           

Умножение натуральных чисел

Умножение на 11

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры  этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

72x11 = 7(7 + 2)2 = 792;

35x11 = 3(3 + 5)5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно  раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.    

Пример:

94 х 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

 Умножение на 22, 33, .... 99

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 х 11,  55 = 5 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11 (см. выше п. 1):

24 х 22 = 24 х 2 х 11 = 48 х 11 = 528;

23 х 33 - 23 х 3 х 11 = 69 х 11 = 759;

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792.

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого:

28 х 33 = (28 х 3) х (33 : 3) = 84 х 11 = 924,

48 х 22 = (48 х 2) х (22 : 2) .« 96 х 11 = 1056  и т.д.

Умножение на число, оканчивающееся на 5

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить  следующее правило.

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз,  произведение не изменится.

Примеры:

44 х 5 = (44 : 2) х 5 х 2 = 22 х 10 = 220;

28 х 15 = (28 : 2) х 15 х 2 = 14 х 30 = 420;

32 х 25 = (32 : 2) х 25 х 2 = 16 х 50 = 800.

При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе второго десятка. Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа:

Примеры:

48 х 65 = (48 : 2) х 65 х 2 = 24 х 130 = (24 х 10 + 24 х 3) х 10 = (240 + 72) х 10 = 312 х 10 = 3120;

36 х 85 = (36 : 2) х 85 х 2 = 18 х 170 = (18 х 10 + 18 х 7) х 10 =  (180 + 126) х 10 = 306 х 10 = =3060.

Чтобы научиться быстро умножать на 65, 75, 85 и 95, надо хорошо знать,  как умножать устно двузначные числа такого вида:

14 х 18 - 14 х (10 + 8) = 14 х 10 + 14 х 8 = 140 + 112 - 252;

13 х 19 = 13 х (20 - 1) = 13 х 20 - 13 = 260 - 13 = 247.

Умножение и деление на 25 и 75

Для того, чтобы научиться устно умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости  и таблицу умножения на 4. На 4 делятся те,  и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число,  делящееся на 4.

Примеры:

124  делится  на  4,  так  как  24  делится  на  4;

1716   делится   на   4,  так   как  16   делится   на   4;

1800   делится   на   4,   так   как   00   делится   на   4.

Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

Примеры:

484 х 25 = (484 : 4) х 25 х 4 = 121 х 100 = 12 100; 124 х 25 - 124 : 4 х 100 - 3100.

Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

Примеры:

12 100 : 25 = 12 100 : 100 х 4 = 484; 3100:25 = 3100:100x4 = 124.

Умножение и деление на 75

Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

Примеры:

32 х 75 = (32 : 4) х 75 х 4 = 8 х 300 = 2400;         48 х 75 = 48 : 4 х 300 = 3600.

Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.

Примеры:

2400:75 = 2400:300x4 = 32;               3600 : 75 = 3600 : 300 х 4 = 48.

Умножение и деление на 50

Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 иумножить на 100.

Примеры:

432 х 50 = (432 : 2) х 50 х 2 = 216 х 100 = 21 600;     848 х 50 = 848 : 2 х 100 = 42 400.

Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.

 Примеры:

21 600 : 50 = 21 600 : 100 х 2 = 432;, -.' 42 400 : 50 = 42 400 : 100 х 2 = 848. 

Умножение и деление на 111, 1111 и т.д.

Кто знает, как умножать и делить на 11, может легко умножать и делить на 111. Рассмотрим  примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д.

Примеры:

24 х 111= 2 (2 + 4) (2 + 4) 4 = 2664;

36 х 111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) 6 = 3996;

24 х 1111 = 2 (2 + 4) (2 + 4) (2 + 4) 4 = 26 664;

36 х 1111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) (3 + 6) 6 = 39 996.

Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть  на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами.

72 х 111 111 = 7 999 992.

Раздвинуть 7 и 2 на 5 шагов.

Если единиц 7, то шагов будет на 1 меньше, то есть 6.

Если единиц 9, то шагов будет 8 и т.д.

Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.

Примеры:

48 х 111 = 4 (4 + 8) (4 + 8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 + 1) (2 + 1) 28 = 5328;

75 х 111 = 7 (7 + 5) (7 + 5) 5 = 7 (12) (12) 5 = 8325.

В этом случае надо к первой цифре 7 прибавить 1, получим 8,далее 2 + 1 = 3, а последние цифры 2 и 5 оставляем без изменения.

Получаем ответ: 8325

85 х 111 = 8 (13) (13) 5 = (8 + 1) (3 + 1) 35 = 9425;

69 х 111 = 6 (15) (15) 9 = (6 + 1) (5 + 1) 59 = 7659.

Умножение на 9, 99, 999

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе,  и из результата вычесть первый множитель.

286∙9=286∙(10 - 1)=2860 – 286=2574,

 23∙99=23∙(100 - 1)=2300 – 23=2277,

 18∙999=18∙(1000 - 1)=18000 – 18=17982

Умножение на 5, 25, 125

Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000.

46∙5=46:2∙10=230,

48∙25=48:4∙100=1200,

32∙125=32:8∙1000=4000.

Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 десятков

К 25 прибавить цифру в разряде единиц и к результату приписать справа квадрат

числа единиц так, чтобы получилось четырехзначное число. 

Этот способ основан на тождестве: (50+а)2 =100∙(25+а)+а2.

      Примеры:

1) 51²=2601

Решение.                        

а) 25+1=26, пишем 26;

б) 1²=1, приписываем 01.

2) 58²=3364

Решение.                       

а) 25+8=33;

б) 8²=64.

Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 единиц

      Примеры:

1)  25²=625,          

а) 2(2+1)=6, пишем 6;

б) 5²=25, пишем 25.

2)  75²=5625,          

а) 7(7+1)=56, пишем 56;

б) 5²=25, пишем 25.

То есть, число десятков умножаем на число, большее его на единицу и приписываем  справа  

квадрат 5.

Способ изменения сомножителей

     24∙25 = (24:4)∙(25∙4) = 6∙100 = 600,
    17∙12 = (17∙3)∙(12:3) = 51∙4 = 204.

При этом сведение одного из множителей к однозначному числу - лишь частный

 случай, скажем:

28∙55 = (28:2)∙(55∙2) = 14∙110, что вычислять уже легче.

       Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькулятора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает нам полноценно усваивать предметы физико–математического цикла.

Заключение.

Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую - ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д.н.э.- Пифагора - «Всё есть число!».
   Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.

    Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

    Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.
   Современный способ умножения прост и доступен всем.

При знакомстве с научной литературой обнаружили более быстрые и надежные способы умножения. Поэтому изучение действия умножения – тема перспективная.
    Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

     Учитель математики предложила мне для изучения книгу Билла Хэндли «Считайте в уме как компьютер» (приложения № 2 - № 4). Мне книга понравилась, и у меня появилось желание продолжить  работу и узнать ещё другие методы устного счёта.

    А пока я изучал и анализировал уже известные способы умножения. Но кто знает, возможно, в будущем я и мои одноклассники сами сможем открыть новые способы вычислений.

                                                                   Литература:

1.  Э.Л.Струнников.  «Устный счет».

2.  Н.Л. Мельникова. «Развитие вычислительной культуры учащихся».   

3.  Г.А. Филиппов.  «Устный счет — гимнастика ума».

4.  Билл Хэндли.  «Считайте в уме как калькулятор».

5.  М.В. Величко. Проектная деятельность учащихся. Математика 9-10 классы.

     6. Интернет-ресурсы:   http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm;               

         http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html

Приложение № 1.

Богданов-Бельский Николай Петрович.

 «Устный счёт. В народной школе С.А.Рачинского»

Приложение № 2.

Очень полезная и легкая в усвоении книга, подойдет абсолютно всем. Рекомендую.

Приложение № 3.

Ознакомьтесь с содержанием.

Приложение № 4.

Продолжение содержания.