Мини-проект по математике 6 класс

Введение

         Имея дело с натуральными числами, иногда возникает вопрос о выполнимости действия деления для двух данных чисел, т.е. о делимости этих чисел. Понятно, что в случае деления не всегда можно с уверенностью сказать, что разделив два натуральных числа, можно получить результат- натуральное число. Вот здесь и возникает вопрос как же узнать, возможно,выполнить деление «нацело» или нет. Я выбрал именно эту тему не случайно. Она меня заинтересовала т.к. часто в различных задачах и примерах встречаются задания, в которых легче пользоваться свойствами деления чисел и я захотел узнать об этом больше.

В данной работе я более подробно остановлюсь на свойствах деления на четыре.

Для выяснения того, делится ли одно число на другое ,существует несколько способов.

        Один из них состоит в непосредственном делении этих чисел. Однако такое деление часто оказывается слишком долгим и утомительным, к тому же при таком долгом делении высока вероятность допустить ошибку, и,

следовательно так и не получить ответ на вопрос делится ли одно из чисел на другое.

       Другим способом выяснения делимости является применение признаков делимости. Поэтому удобно иметь некоторые легко запоминающиеся признаки, позволяющие это определить без выполнения деления. В 6 классе мы проходили признаки делимости на 2,3,5,10,9. Поэтому мы можем легко и быстро, не выполняя вычислений узнать делится ли число на 2,3,5,10,9.

Мне стало интересно, а существуют ли еще признаки делимости и как их вывести. Для своей работы я выбрал признак делимости на 4 и решил  узнать, можно ли определить только по виду числа,  делится оно на 4 или нет.

Поэтому моя работа строилась по следующему плану.

1. Задача.

Как по виду числа, не выполняя деления, узнать, делится  число на 4 или нет.

2. Постановка проблемы.

Сформулировать признак делимости  на 4 для любого натурального числа.

3. Разбор частных случаев.

Исследование начинается с разбора частных случаев: берутся различные числа, проводится деление, делается вывод о делимости данного числа на 4.

Ищется закономерность.

4. Оформление результатов исследования.

Результаты исследования оформляются в виде таблицы.

5. Выдвижение гипотезы.

На основе проведенного исследования выдвигается гипотеза о том, что  на 4 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.

6. Доказательство или проверка гипотезы.
7. Применение результатов исследования.

Глава 1

1. Задача

Как по виду числа, не выполняя деления, узнать, делится ли число  на 4 или нет.

2. Постановка проблемы:

Сформулировать признак делимости на 4 для любого натурального числа.

3.Рассмотрим частные случаи, выполняя деление столбиком, записывая только ответ.

  100/4=25                         5000/4=1250                90000/4=22500

   60/4=15                           3428/4=857                          5555/4=1388,75

   358/4=89,5                      6584/4=1646                8592/4=2148

   513/4=128,25                  654/4=163,5                 3247/4=811,75

   927/4=231,75                  1583/4=395,75             6547/4=1636,75

   232/4=58                         654/4=163,5                 952/4=238

   1384/4=346                     51/4=12,75                   6234/4=1558,5

4.Для наглядности занесем полученные результаты в таблицу:

.

Из таблицы видно, что на 4 нацело делятся все числа, которые заканчиваются на 2 нуля или две последние цифры которого образуют число, делящиеся на четыре.

5. Возникает гипотеза,  что на 4 делятся те и только те числа, которые заканчиваются на два нуля или две последние цифры которого образуют число, делящиеся на четыре.

6. Доказательство  гипотезы.

Для доказательства мне понадобились две теоремы , которые я взял в дополнительной литературе.

Теорема 1 (теорема о делимости суммы).

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число .

Теорема 2  (теорема  о  делимости  произведения).                                                          Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. 

Теперь к доказательству гипотезы:

1.Рассмотрим число а=100∙п,  где  п – натуральное число. Тогда по теореме 2 число а делится на 4.

2. Рассмотрим число вида

а=100∙п + 10∙k + r= 100∙n + (10∙k + r),  k,r – натуральные числа и 0.

Здесь п – число сотен, к– число десятков, r– число единиц. 

Тогда по теореме 1: если каждое из двух чисел делится на какое-либо число, то их сумма тоже делится на это число, т.е. если первое слагаемое 100∙п делится на 4 и второе слагаемое (10∙k + r) тоже делится на 4, то и всё число делится на 4.

Первое слагаемое 100∙п делится на 4, т.к. одним из множителей является число 100, которое делится на 4. Значит, 100∙п тоже делится на 4.

Второе слагаемое (10∙k + r) тоже должно делиться на 4.  А оно будет делиться на 4 в том случае, если будет представлять собой число, которое делится на 4. В то же время второе слагаемое (10k + r) является двумя последними цифрами числа.

Отсюда получаем, что, если две последние цифры числа представляют собой  число, делящееся на 4, то и всё число делится на 4. Таким образом, гипотеза доказана.

Заключение

В результате исследования я получил признак делимости на 4: на 4 нацело делятся все числа, которые заканчиваются на 2 нуля или две последние цифры которого образуют число, делящиеся на четыре.

Результаты данного исследования позволяют сравнительно быстро определить, является ли число кратным 4 или нет без необходимости выполнять фактическое деление.                        

Признаки делимости  используются при сокращении дробей.

Также эти знания понадобятся при нахождении наибольшего общего делителя чисел и при нахождении общего знаменателя.

Признак делимости на 4 может понадобится и при решении задач такого вида:

1. Можно ли разместить 718 человек в четырехместные каюты так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест?
2. В записи 4791*31* замените звездочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 4.

И, конечно, мы используем признаки делимости при устном счете в быту, в магазине и т.д.

Список литературы

1. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин « За страницами учебника математики» М. Просвещение. 1989 г.

2.  Математика – 6, учеб. для 6 кл общеобразов. Учрежд/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др.