Нестандартные алгоритмы быстрого счета

Школьная научно- практическая  конференция молодых исследователей

«Шаг  в будущее-2014»

Нестандартные алгоритмы быстрого счета

МАОУ СОШ № 37

Автор: Вишневская Анастасия,

Россия, Тюменская область, г. Тюмень,

МАОУ  СОШ № 37,

5 "А" класс

Научный руководитель:

 Ширшова Ирина Владимировна, учитель  математики МАОУ СОШ № 37

г.Тюмень, 2014

Нестандартные алгоритмы быстрого счета

МАОУ СОШ № 37

Вишневская Анастасия,

Россия, Тюменская область, г. Тюмень,

МАОУ СОШ № 37,

5 "А" класс

Краткая аннотация.

В работе собраны сведения о нестандартных алгоритмах быстрого счета без калькулятора. В ходе работы были проведены: практические работы с учащимися 5-х классов по применению нестандартных алгоритмов быстрого счета, беседы с учащимися. По результатам работы были разработаны: памятка для учеников 5-х классов о нестандартных алгоритмах быстрого счета без калькулятора.

Нестандартные алгоритмы быстрого счета

МАОУ СОШ № 37

Вишневская Анастасия,

Россия, Тюменская область, г. Тюмень,

МАОУ СОШ № 37,

5 "А" класс

Аннотация.

На сегодняшний день  большинство учащихся испытывают затруднения при выполнении вычислений. Многие часто используют калькулятор, устные вычисления вызывают трудности. Приемы быстрых вычислений в учебнике практически не рассматриваются. Но при сдаче ЕГЭ и ГИА использование калькулятора не разрешается и на экзамене требуются умения и навыки хороших вычислений. Проект направлен на поиск приемов и методов, улучшающих вычислительные способности учащихся, позволяющих быстро считать не только на уроках математики, но и в обычной жизни.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей, логического мышления и гибкости ума. Данный проект познакомит с приемами быстрого счета, позволит упрощать вычисления, экономить время.

За простым действием умножения скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие способы умножения, сравнить их с нашим сегодняшним действием умножения.

В ходе проекта проведена практическая работа с учащимися 5-х классов по  применению нестандартных алгоритмов быстрого счета.

Нестандартные алгоритмы быстрого счета

МАОУ СОШ № 37

Вишневская Анастасия,

Россия, Тюменская область, г. Тюмень,

МАОУ СОШ № 37,

5 "А" класс

План исследования.

        Темой исследования стало нестандартные алгоритмы быстрого счета. Объектом исследования – методы и приемы быстрого счета. Предмет исследования – процесс  вычисления.

        Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому я сочла важным показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приёмы быстрого счета, можно поспорить и с компьютером. Поэтому возникла проблема исследовать нестандартные алгоритмы быстрого счета.

Мной выдвинута гипотеза: овладение приемами устного счета позволит повысить качество и скорость вычислений пятиклассников.

Цель проекта: найти, изучить, применить на практике  приемы быстрого счета

В ходе работы были поставлены следующие задачи:

1. Изучить  литературные источники, где встречаются различные приемы быстрого счета;
2. Сделать подборку наиболее распространенных и общедоступных приемов быстрого счета;
3. Провести пробный математический диктант в 5 «А» классе;
4. Познакомить учащихся  с приемами  быстрого счета и на конкретных примерах показать преимущества их использования.
5. По результатам  изученного  провести завершающий эксперимент и сравнить его данные с данными пробного математического диктанта.
6. Сделать вывод о подтверждении или опровержении выдвинутой гипотезы.

          Для решения поставленных задач  использованы следующие методы исследования:

1. Практический (сбор информации, эксперимент, беседы);

2. Теоретический (систематизация и обобщение).

Был разработан план работы:

1. Определение темы работы.

2. Изучение источников информации по проблеме.

3. Проведение практической работы и бесед с учащимися по применению необычных алгоритмов быстрого счета.

4.  Оформление результатов  в виде презентации, диаграмм, графиков.

Оглавление.

1. История чисел и устного счета…………………………………………….……………….…..6

2. Старинные способы умножения………………………….……………………..…….………..7

3. Устный счет – гимнастика ума…………………………………………………………………11

4. Практическая часть……………………..…..……………………………………………….….13

5. Выводы ………………………………………………………………………………………….14

Список используемой литературы………………………………………………………………..15

Приложения  ………………………..……………………………………………………………..16

1.История чисел и устного счета

В нашей повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с числами, чтобы определить количество чего - либо, называть время, купить, продать, позвонить и т.д. 

Когда же и как возникли числа?

Люди научились считать очень давно, еще в каменном веке. В течение тысячелетий люди использовали пальцы для выражения чисел. С помощью руки они могли показать до пяти единиц. Для выражения большего количества они использовали обе руки, а в некоторых случаях и ноги. Счёт строился на однозначных соответствиях; у некоторых южноафриканских племен при счёте дотрагиваются до каждого предмета по очереди пальцами, начиная с мизинца левой руки. Со временем счет пальцами рук и ног, сменился знаками “заместителями” отсчитываемых предметов. Такими “знаками заместителями” стали камешки, ракушки, которые в процессе счета откладывались в кучки, наносились зарубки, завязывались узелки и пр.

Когда люди научились считать, у них появилась потребность записывать эти числа и производить с ними различные арифметические действия.

2. Старинные способы умножения.

2.1. Русский крестьянский способ умножения.

В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

- деление заканчивается, когда слева появится единица;

- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;

- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

2.2. Индийский способ умножения

Некоторые опытные учителя в прошлом веке считали, что этот способ должен заменить в нашей школе общепринятый способ умножения.

Американцам он настолько понравился, что они его даже так и назвали «Американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом». Перемножить два каких - либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу пишу, что получится.

х23

12

276

Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?

Первый шаг: х23 говорю: «2 х 3 = 6»

12

…6

Второй шаг: х23 говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»

12

.76

Третий шаг: х23 говорю: «1 х 2 = 2».

12 пишу 2 левее цифры 7

276 получаем 276.

Мы познакомились с этим способом на очень простом примере без перехода через разряд. Однако наши исследования показали, что им можно пользоваться и при умножении чисел с переходом через разряд, а также при умножении многозначных чисел. Приведем примеры:

х528 х24 х15 х18 х317

123 30 13 19 12

64944 670 195 342 3804

На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком.

В этом «крестике» и заключается неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.

2.3. Египетский способ умножения

Обозначения чисел, которые использовались в древности, были более или менее пригодны для записи результата счета. А вот выполнять арифметические действия с их помощью было очень сложно, особенно это касалось действия умножения. Выход из этой ситуации нашли египтяне, поэтому способ получил название египетского. Они заменили умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой.

Пример: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

Т. к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т. е. 136 + 34 = 170.

2.4. Умножение на пальцах

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример: 8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000

Движение пальца

А вот еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.

Пример. Пусть надо найти произведение 4х9.

Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца (десятки), а после поднятого - 6 пальцев (единицы). Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.

Еще пример:

Пусть требуется умножить 3 * 9.

Слева направо найдите третий палец, того пальца выпрямленными будут 2 пальца, они и будут означать 2 десятка.

Справа от загнутого пальца выпрямленными окажутся 7 пальцев, они означают 7 единиц. Сложите, 2 десятка и 7 единиц получится 27.

Сами пальцы показали это число.

// // /////

20  7

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

3. Устный счет – гимнастика ума

3.1. Умножение и деление на 4.

Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.

Например,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

Например,

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662

3.2. Умножение и деление на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2.

Например,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740

Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.

Например,

345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2

3.3. Умножение на 25.

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4.

Например,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700

3.4. Умножение на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

3.5. Умножение на 9.

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

3.6. Умножение на 11.

1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например:

 45 * 11 = 495 87 * 11 = 967

4 (4+5) 5 8 (8+7) 7

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

3.7. Умножение трехзначного числа на 111.

Умножим 42 на 111.

Мысленно  раздвигаем цифры первого сомножителя 42 (4…2), предварительно найдя сумму его цифр: 4+2=6, и вставляем полученную сумму, повторив эту операцию дважды:

      4…2=4662,

      42 · 111=4662

3.8. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25

(6 * 7 = 42 Ответ: 4225)

Например:

952 = 9025

9 *10

1252 = 15625

12 * 13

Практическая часть.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком», знают ли какие-либо приемы быстрого счета был проведен устный опрос. Было опрошено 20 учащиеся 5-х классов. Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов выполнения действий, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

По согласованию с учителем математики, я составила  математический диктант, опираясь на изученные алгоритмы быстрого счета. На уроке, с разрешения учителя, я провела диктант в своем классе.

На выполнение данных заданий ушло 15 минут. Все вычисления ребята выполняли столбиком. Затем я показала одноклассникам  те приемы, которые можно было применить, и вновь провела подобный диктант. Время на выполнение предложенных заданий значительно сократилось. Всем ученикам моего класса была роздана памятка по применению нестандартных алгоритмов быстрого счета.

Выводы.

Таким образом первоначальная гипотеза о том, что знание и использование приемов быстрого счета позволит существенно  увеличить скорость и качество счета, подтверждается. На самом деле это  удивительно для меня, так как  с некоторыми приемами   я был знакома с  начальной школы, но  по-новому, как  на своих помощников при счете, я взглянула на них только при выполнении данной работы.

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает удивление. Такие навыки помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет - настоящая гимнастика  ума.

Мне было очень интересно работать над проектом,  я узнала  много новых приемов быстрого счета, выбрала самые интересные и доступные и представила их в своей презентации. Своими наработками я поделились с учащимися 5-х классов. В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого счета будет очень полезна. У меня есть желание продолжить эту работу, знакомиться с новыми приемами быстрого счета, анализировать и делиться своими знаниями с другими.

Список литературы.

1. http://www.superidea.ru Развитие творческого мышления и интеллекта

2.  http://www.all-fizika.com Техника быстрого счета. Быстрый счет в уме.

3. http://skolkobudet.ru/publ/4-1-0-3 Как быстро считать? Хитрые приемчики счета в уме

4. http://www.mathematics-repetition.com/news/sekret-bstrogo-ustnogo-stcheta.html Секреты быстрого устного счета

5. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. – М.: Транзиткнига, 2005.

6. Перельман. Я.И. Весёлые задачи. - М.: Транзиткнига . 2005.

7. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 класса. –М.: Просвещение,1989.

Приложения.

Приложение 1.

Игры с применением быстрого счета.

Отгадывание полученного числа.

1.  Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа.

Я отгадываю: вы получили 10. Верно?

2.  Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного вычтите задуманное.

У вас получилось 1.

3.  Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное.

У вас получилось 2.

4.  Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5. Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.

5.  Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное.

У вас получилось 8.

Угадывание задуманных чисел.

Предложите своим товарищам задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.

Полученную сумму пусть умножит на 3.

От произведения пусть отнимет 7.

Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.

Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.

(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3).

Приложение 2.

Анкета.

1. Умеешь ли ты быстро и правильно считать?

2. Как часто ты пользуешься калькулятором?

3. Знаешь ли ты какие-либо приемы быстрого счета?

4.Как ты думаешь, развивает ли умение считать такие функции, как память, внимание, способность сосредоточиться?

5.Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?

6. Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?

Приложение 3.

Результаты опроса.

Умеешь ли ты быстро и правильно считать?

Часто ли ты пользуешься калькулятором?

Как ты думаешь, развивает ли умение считать такие функции, как память, внимание, способность сосредоточиться?

Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?

Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?

Приложение 4.

Математический диктант № 1

Вычислите всеми известными вами способами.

244х4=                                                                   2365х1,5=

824:4=                                                                    241х9=

1555х5=                                                                 345х11=

355:5=                                                                    34х111=

Приложение 5.

Математический диктант № 2

Вычислите всеми известными вами способами.

344х4=                                                                   1365х1,5=

1024:4=                                                                    231х9=

255х5=                                                                 325х11=

655:5=                                                                    35х111=