Самопорожденные числа. Постоянная Капрекара

Направление: Математика

Тема: «Самопорожденные числа. Постоянная Капрекара.»

Бятова Софья, Гнездилова Виктория

МБОУ «СОШ №13 с УИОП», Белгородская область, г. Губкин

6 класс

Научный руководитель:

Айзикович А. Г., учитель математики

Губкин2014

Введение

В любом числе изначально заложена некая магия, поскольку в отличие от слова или метафоры оно обладает незримым присутствием авторитета точности и беспристрастности. Многие выдающиеся учёные убеждены, что «природе внутренне присуща некая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде простых математических законов. Именно в силу этой гармонии математическое моделирование природных процессов способно описывать и предсказывать явления природы» . А.Эйнштейн глубоко верил, что «чистое математическое числовое» построение позволяет найти те понятия и те закономерные связи между ними, которые дают ключ к пониманию явлений природы». Причем в математике цениться и внешняя, и внутренняя красота, находящиеся в диалектическом единстве и взаимодополнении. Первой системой чисел, с которой встретился человек, является система натуральных чисел. И с древнейших времен человек пытался постичь и выразить тайны удивительного мира натуральных и целых чисел.

Целые числа завораживают человека своей непредсказуемостью и неопознанностью феерических кульбитов, неожиданными свойствами и гармонией. Часть из них обусловлена удивительными способностями самообразования или самоопределения  чисел через собственные, составляющие их цифры.

В 1949 индийским математиком Даттатрейя Рамачандра Капрекаром был открыт один замечательный класс чисел,  названный им самопорожденными числами. Им посвящено несколько книг Капрекара. За пределами Индии о самопорожденных числах практически ничего не известно, хотя в 1974 г. о них (под другим названием) появилась статья в журнале "The American Mathematical Monthly" (April 1974, p. 407). В статье доказывалось, что существует бесконечное множество самопорожденных чисел. В результате, была поставлена проблема: изучить самопорожденные числа. Выдвинута гипотеза: самопорождённые   и порожденные числа обладают специальными  , необычными свойствами. Целью исследования стало нахождение постоянной Капрекара для многозначных чисел, нахождение  многозначных  самопорождённых чисел аналитически. Были решены следующие задачи:

• изучить методическую литературу
• выявить общие свойства порождённых  чисел (сумма цифр ряда. количество генераторов)
• рассмотреть отдельные примеры с самопорождёнными  числами
• рассмотреть, является ли свойство числа Капрекара некоторым инвариантом относительно двузначной системы счисления.

На современном этапе весьма актуальны исследования, связанные с натуральными числами. Человечеству удалось установить целый ряд законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного. На первоначальном этапе исследования была изучена соответствующая литература следующих авторов. Мартин Гарднер в своей статье «Самопорожденные числа» [4],   впервые представил указанные числа и постоянные Капрекара. В детской энциклопедии рассказывается о появлении чисел самородков (самопорожденных чисел), [12] .  На сайте  «Академия        Тринитаризма» Корнеев А.А называет Д.Капрекара патриархом         числонавтики и предпринимает попытку установления связи постоянной Капрекара с другими числовыми величинами (числом гармонической пропорции) [9], [10]. На сайте «Академия Тринитаризма» также напечатана заметка  С.Л. Василенко «Инверсно-числовые аттракторы», где доказываются утверждения о свойствах постоянных Капрекара[7]  и предлагается новая форма представления инверсно-числовых аттракторов в виде структурированных наборов цифр (знаков).

1.Основная часть

1.1 Порожденные числа, генераторы порожденных чисел и их свойства

Традиционная математика (по большому счёту) – это «математика формул и уравнений», в которой официально нет места качественным свойствам чисел (и цифр), а значит и всяким теориям описывающим качественные отношения разнообразных природных явлений через числовые формы их представления.

Известный математик (и популяризатор науки) М. Гарднер, 40 лет назад «случайно» открыл миру Д. Капрекара , его особый класс самопорожденных чисел и его необыкновенное открытие – константу Капрекара. 
Но и теперь, однако, спустя уже более  60 лет, тайная суть этой константы так и не понята классической математикой. Хотя она же инициировала собой развитие целого ряда новых математических теорий.

Д. Капрекар - индийский математик. За пределами Индии Капрекар более всего известен как автор открытия, совершенного более шестидесяти лет назад. Д. Капрекара занимался замечательными исследованиями по занимательной теории чисел, время от времени получая стипендии от различных индийских университетов. Капрекар печатал свои работы в индийских математических журналах, выступал на конференциях и опубликовал более двух десятков книг на ломаном английском (все они невелики по объему).

Рассмотрим появление порождённых чисел .

Эту процедуру, Капрекар в своей работе  называет цифросложением.

Возьмем любое целое число и прибавим к нему сумму его цифр.
                       Например: 47 + 4 + 7 = 58
                                         58 - порожденное число
                                     47 - генератор порожденного числа
Порожденное число может иметь более одного генератора.

Примеры порожденных чисел.

    63+( 6+3)= 63+9=72

72- порождённое

63-его генератор

123+( 1+2+3)=123+6= 129

129 –порождённое

123 – его генератор

Процесс можно повторять неограниченно, образуя порождаемую цифросложением последовательность. Возьмем какое-нибудь целое положительное число, например 13. Прибавим сумму его цифр, тогда образуется число 17. К этому результату тоже прибавим сумму его цифр, образуется число 25. Продолжая так действовать, получим последовательность чисел:

5, 10, 11, 13, 17, 25, 32, 37, 47, 58, 71, 95... (*)

7,14,19,29,40,44,52,59… (**)

40,44,52,59,73,83,94,107,115,122…(***_)

Сумма цифр числового ряда порожденных чисел

Найти нерекуррентную формулу для частичной суммы членов этой последовательности, которая бы задавала частичную сумму в зависимости от ее первого и последнего члена, не удалось никому, но существует простая формула для суммы всех цифр в последовательности, порождаемой цифросложением. Нужно просто вычесть первое число из последнего и прибавить сумму цифр последнего числа.

Например.

Найдем сумму порожденных чисел 13, 17, 25, 32 из числового ряда (*)

S=(32-13)+3+2=24 ( найдена по правилу Капрекара)

S=1+3+1+7+2+5+3+2=24

Найдем сумму порожденных чисел 14,19,29,40,44,52 из числового ряда (**)

S=(52-14)+5+2=45 ( найдена по правилу Капрекара)

S=1+4+1+9+2+9+4+0+4+4+5+2=45

Найдем сумму порожденных чисел 40,44,52,59,73,83,94,107,115,122 из числового ряда (***).

S=(122-40)+1+5+2= 90( найдена по правилу Капрекара)

S=4+0+4+4+5+2+5+9+7+3+8+3+9+4+1+0+7+1+1+5+1+2+2=90.

Это интересно. Сумму цифр числа, которую Д. Капрекар вычисляет для каждого шага своего «цифросложения», это ничто иное, как древнее (пифагорейское) нумерологическое сложение. Сегодня его называют «неполным нумерологическим сложением. В древнем методе расчёта судьбы (по квадрату Пифагора) используется тот же приём. Сначала выписывают все цифры даты рождения, затем складывают эти числа, с получением числового «образа даты». И, наконец, цифры «образа даты» снова нумерологически складывают. Получают «корень» даты рождения по которой предсказывают судьбу. Квадрат Пифагора – один из методов анализа человека, разработанный древнегреческим философом и математиком Пифагором, который объединил математические системы арабов, друидов, финикийцев и египтян с науками о природе человека в свою систему.

Порожденные числа и количество  их  генераторов.

Порожденное число  может иметь более одного генератора, если оно превышает 100.

• Наименьшее число, имеющее более одного генератора  101. У него два генератора: 91 и 100.

Проверка. 91+9+1=101 или 100+1+0+0=101.

• Наименьшее число-соединение с тремя генераторами равно

10 000 000 000 001. Оно порождено числами 10 000 000 000 000,

9 999 999 999 901 и 9 999 999 999 892.

Проверка. 10 000 000 000 000+1+0+0+0+0+0+0+0+0+..0=10 000 000 000 001.

9 999 999 999 901+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9++0+1=10 000 000 000 001

9 999 999 999 892+9+9+9+9+9+9+9+9+9+9+8+9+2=10 000 000 000 001

• Наименьшее число с четырьмя генераторами, открытое Капрекаром 7 июня 1961 г., имеет 25 знаков: единица, после которой следует 21 нуль и число 102.        

                                   21

• С тех пор Капрекару удалось открыть, как он предполагает, наименьшие числа-соединения с 5 и 6 генераторами.

2.1 Самопорожденные числа

Самопорожденное  число - это число, у которого нет генератора.
Существует бесконечно много самопорожденных чисел.
В пределах первой сотни их - тринадцать:
1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86 и 97.
Простые самопорожденные числа называются самопростыми.

Хорошо известное "циклическое" число 142857 (при умножении его на числа от 1 до 6 всегда получается произведение, записанное теми же 6 цифрами, только переставленными в циклическом порядке) принадлежит к числу самопорожденных чисел.

Самопорожденными являются и такие числа, как 11111111111111111 111 и 3333333333. В этом столетии самопорожденными были

1906, 1917, 1919, 1930, 1941, 1952, 1963 и 1974 годы.

  Почему миллионер столь заметная фигура в обществе? Потому, что

1000 000-самопорожденное число. Следующая за миллионом степень десятки, которая является самопорожденным числом, - это 1016.

Не существует нерекуррентной формулы, позволяющей получать все самопорожденные числа, но у Капрекара есть простой алгоритм, который может проверить любое число на самопорожденность (то есть установить, является ли данное число самопорожденным или нет).

Алгоритм проверки.

1. Находим цифровой корень числа N.

2. Если цифровой корень нечётный, то прибавим к нему 9 и разделим на 2. Если цифровой корень чётный, то разделим его на 2. Частное обозначим через C.

3. Вычтем C из N. Проверим, не порождает ли полученная разность число N. Если нет, то вычтем 9 из последнего результата и проверим снова. Продолжаем вычитать девятку k раз (k-число знаков в N). Если не получим генератор числа N за k шагов, то N-самопорождённое число.

Пример. Проверим на самопорождаемость число 20.

1. Цифровой корень числа 2+0=2 ( четное число),
2. 2:2=1.
3. 20-1=19, 19+1+9=29 не равно 20, значит о вычитаем 9
4. 29-9=20, 20+2+0=22 не равно 20, проверим еще раз
5. 22-9=13,13+1+3=17 не равно 20.

Повторные шаги были выполнены дважды (по числу знаков в числе 20), т.к число 20 не появилось в результате вычисления , 20 –самопорожденное число.

3. Постоянная Капрекара

В 1946 -1949 годах Капрекар разработал процесс, известный теперь как процедура Капрекара.

Первый шаг: выбрать четырёхзначное число, где не все цифры одинаковы (не числа 1111, 2222… и т.п.).

Второй шаг: изменить порядок цифр так, чтобы получить наибольшее и наименьшее число из имеющихся цифр нашего числа. Какое, какое только возможно. И, наконец, вычесть наименьшее число из наибольшего, чтобы получить следующее новое число, а затем повторить всю описанную выше операцию для каждого нового числа.

Это простая операция, однако. Капрекар обнаружил, что она ведёт к удивительным результатам.

 (Важно помнить, что если одна или несколько цифр равны нулю, то их обязательно надо встраивать их в левую часть нашего минимального числа).

Например 9935 

9953 - 3599 = 6354
   6543 - 3456 = 3087
   8730 - 0378 = 8352
   8532 - 2358 = 6174
   7641 - 1467 = 6174

Например 1789

9871 - 1789 = 8082

8820 - 0288 = 8532

8532 - 2358 = 6174

Если взять 1000, то это будет
   1000 - 0001 = 999
   9990 - 0999 = 8991
   9981 - 1899 = 8082
   8820 - 0288 = 8532
   8532 - 2358 = 6174
   7641 - 1467 = 6174

Как только мы достигнем числа 6174, операция повторяется, и каждый раз возвращается всё к тому же числу 6174. Назовём поэтому число 6174 ядром этой операции. Итак, число 6174 - это ядро Капрекар – процедуры. Согласно последнему следствию на первом же шаге преобразования Крапекара образуется число n = 0 (mod 9), которое делится на 9 без остатка.

Это свойство отражается потом на протяжении всего движения чисел.

То есть, какое бы начальное число не было выбрано, сразу или буквально после первой операции оно попадает в некоторое ограниченное множество цифровых структур.

Для трёхзначных чисел имеет место аналогичная постоянная (константа) Капрекара.

Например, используя процедуру Капрекара для трёхзначных чисел, мы получим:

К примеру, для числа 753:

753 - 357 = 396

963 - 369 = 594

954 - 459 = 495

954 - 459 = 495

 Число   495  является уникальным ядром процедуры Капрекара для трёхзначных чисел, и все три цифры  числа   495  можно получить с помощью всё той же операции.

Для чисел, с большим, чем 4, числом знаков, преобразование Капрекара в большинстве случаев рано или поздно приводит к циклическим повторениям чисел, но не к неподвижной точке n = K(n).

Для 5-значных чисел неподвижной точки не существует.

Имеется два 6-значных числа, являющихся неподвижными точками преобразования Капрекара (549945 и 631764).

Семизначных чисел с таким свойством нет.

На конференции "Эволюция открытых систем" (в презентации) была показана интересная фотография, на которой знаменитые каменные статуи острова Пасхи (т.н. «моаи») были расположены четырьмя группами - в первой 6, во второй 1 статуя, в третьей - 7, а в четвертой - 4.

Выводы

Методологическая «изюминка» метода Д. Капрекара заключена в находке той особой манипуляции, которая вывела расчёты на феноменальный результат. В чём состоит этот феномен? При выполнении нескольких ограничивающих правил числонавтическая манипуляция Д. Капрекара демонстрирует, прежде всего, реальность взаимодействия отдельных цифр в тех числовых структурах, которые Капрекар формирует и по-разному использует. Кроме того, эффект этого цифрового взаимодействия проявляет некую константу. Практически для всех чисел. Некий «числовой остров» (с чёткой структурой!), существующий, как оказалось, в безбрежном числовом океане. Специфические манипуляции с элементами любой цифровой структуры способны проявлять закономерности их естественного существования в числовом континууме.

        В данной работе рассмотрены порожденные числа , их особая  схема возникновения.  Изучена формула суммы выборки  чисел порожденного ряда. проверена на конкретных примерах. Введено понятие самопорожденного числа. Изучен алгоритм самопорождаемости. Рассмотрено появление постоянной Капрекара для многозначных чисел.

Литература

1. Акимов О.Е. Конструктивная математика. Режим доступа.

      http://sceptic-ratio.narod.ru/ma/km15.htm 

2. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1992. – 240 с.
3. Василенко С.Л. Гармония самогенерирующихся чисел. Режимдоступа:http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/1754-vs.pdf
4. Мартин Гарднер: Самопорожденные числа http://golovolomka.hobby.ru/books/gardner/content.shtml
5. Числонавтика. Режим доступа :http://www.numbernautics.ru
6. Постоянная Капрекара – число 145. – 2007. – http://number.blog.ru/2131169. html.
7. Василенко С.Л. «Инверсно-числовые аттракторы». Режим доступа:

 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001c/00161686.htm

    8.Корнеев А.А.        Связи        чисел        Капрекара        и        Фибоначчи.        –

http://www.numbernautics.ru/content/view/547/30/.

   9.Корнеев А.А. Игры с числом Капрекара.           http://www.numbernautics.ru/content/view/514/40.

   10.Корнеев А.А.        Д.Р. Капрекар        –        Патриарх        числонавтики.        –

http://www.numbernautics.ru/content/view/458/27.

11Числа-самородки // Детская энциклопедия. — М.: Просвещение, 1964. — Т. 2 «Мир небесных чисел. Числа и фигуры». — С. 290.

 12.Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/ Глав. Ред. М.Д.Аксенова. –    М.: Аванта +, 2000. – 688 с.: ил.