Экстремальные задачи планиметрии

Слайд 1

Слайд 2

« В мире не происходит ничего, в чем бы не был виден смысл какого-нибудь максимума и минимума » (Леонард Эйлер) Ц е л и р а б о т ы : ● Проследить исторический путь развития экстремальных геометрических задач; ● Проанализировать некоторые подходы, методы решения геометрических задач на максимум и минимум на плоскости; ● Обозначить некоторые направления дальнейшего изучения теории экстремальных задач

Слайд 3

С о д е р ж а н и е : □ История возникновения и развития экстремальных задач. Первые экстремальные задачи планиметрии. Задача финикийской царевны Дидоны. □ Геометрические задачи на максимум и минимум в трудах знаменитых ученых прошлого (Платона, Евклида, Герона, Шварца, Фейера и др.) □ Максимумы и минимумы в алгебре. Геометрические задачи на экстремум и «точные неравенства» □ Экстремальные задачи в стереометрии □ Из истории дальнейшего развития теории экстремальных задач

Слайд 4

А 0 С 0 В 0 В А С А С В В 1 В 2 Геометрические задачи на максимум и минимум в трудах знаменитых ученых прошлого Задача Платона Среди всех вписанных в данный круг треугольников найти треугольник наибольшей площади (равносторонний треугольник)

Слайд 5

А В В 1 В 2 С D Е F Обобщение задачи Платона Из всех n – угольников, вписанных в один и тот же круг, правильный имеет наибольшую площадь

Слайд 6

В А С D D 1 G 1 E H H 1 F E 1 F 1 G A C B D E D 1 E 1 F Задача Евклида ( IV век до н.э.) В треугольник АВС вписать параллелограмм ADEF наибольшей площади D, E, F – середины сторон АВС F 1

Слайд 7

А В m m A B D D 1 B 1 Задача Герона ( I век до н.э., «О зеркалах») Даны две точки А и В по одну сторону от прямой m . Требуется найти на прямой m такую точку D , чтобы сумма расстояний от точки А до точки D и от точки В до точки D была наименьшей.

Слайд 8

Одно минимальное свойство треугольника, образованного основаниями высот по Г.А.Шварцу В данный остроугольный треугольник АВС вписать треугольник наименьшего периметра А В С А В С W U V G F E

Слайд 9

Минимальное свойство треугольника по Л. Фейеру А В С U V M W N U” U’ B A C E F G E” E’

Слайд 10

С А В О D a b a + b 2 √ ab A B G F E C D Неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим двух чисел √ ab ≤ ½ (a + b) Максимумы и минимумы в алгебре. Геометрические задачи на экстремум и "точные неравенства"

Слайд 11

Неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим нескольких чисел n √x 1 x 2 ...x n ≤ 1 / n ( x 1 + x 2 + ...+ x n ) 1. Произведение n положительных чисел, сумма которых постоянна, достигает наибольшего значения, когда все эти числа равны. 2. Сумма n положительных чисел, произведение которых постоянно, достигает наименьшего значения, когда все эти числа равны. Неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим n √x 1 x 2 ...x n ≤ ( 1 / n ( x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2 ) ) 1/2

Слайд 12

Экстремальные задачи в стереометрии Архимед (287-212 гг. до н.э.) «О шаре»: Из всех сферических сегментов, ограниченных равными поверхностями, наибольшим является полушарие Аполлоний ( III – II века до н.э.), «Конические сечения» К коническому сечению из одной точки провести самый длинный и самый короткий прямолинейные отрезки Кеплер, «Стереометрия винных бочек» Вписать в заданный шар цилиндр наибольшего объема. Из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратными основаниями, вписанных в шар, куб имеет наибольший объем.

Слайд 13

Из истории дальнейшего развития теории экстремальных задач Декарт Ферма Ньютон Лейбниц Эйлер Лагранж Вейерштрасс Вольтерра Фреше Адамар

Слайд 14

«По Лейбницу наш мир является наилучшим из всех возможных миров, и потому его законы можно описать экстремальными принципами» (К.Зигель) «Большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин … и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного» (П.Л.Чебышев)