Исследовательская работа по математике "Проблема Гольдбаха"

ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА

Исследовательская работа

по математике

Автор: Ромаданова Елизавета,

ученица 5 класса школы № 3,

 г. Жигулевска

Руководитель: Царькова Д.А.,

учитель математики школы № 3,

г. Жигулевска

г. Тольятти, 2013.

ВВЕДЕНИЕ

Основная цель работы: исследование проблемы Гольдбаха.

Данная тема представляет  определенный интерес, так как её истоки относятся к древности, так называемой  догадке Гольдбаха.

Основные задачи исследования:

1) познакомиться с понятием простых чисел;

2) составить таблицу простых чисел первой сотни;

3) выяснить, как связаны простые числа с четными и нечетными числами;

4) выяснить,  в чем проблема Гольдбаха.

Основные методы решения поставленных задач: метод наблюдения за числами; метод подбора и проб; чтение дополнительной литературы; составление  таблиц  и сравнение  результатов; метод обобщения.

Часть 1. Основные понятия, используемые в работе

1.1. Понятие простых и составных чисел

Определение 1.

Простое число -  это натуральное число , которое имеет только  два делителя ( единицу и само это число).

Определение 2.

Составное число - это натуральное число , которое имеет более двух делителей. 

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным , ни к простым числам.

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Например: .

1.2. Решето Эратосфена

Решето́ Эратосфе́на — алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа n, который приписывают древнегреческому математику Эратосфену Киренскому.

Следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:

1. Выписать подряд все натуральные числа от 2 до N (число 2 в списке простое)

2. Пройдем по ряду чисел, вычеркивая все числа кратные 2 (каждое второе)

3. Следующее не вычеркнутое число 3 – простое. Пройдем по ряду чисел, вычеркивая все числа, кратные 3 (каждое третье)

4. Следующее не вычеркнутое число 5 – простое. Пройдем по ряду чисел, вычеркивая все числа, кратные 5 (каждое пятое) и т.д.

В результате все составные числа будут просеяны, а не вычеркнутыми останутся простые числа.

Составим  и запишем таблицу простых чисел  до 100.

Простые числа: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.

Часть 2. Постановка и решение задач

исследования

2.1. Постановка первой задачи

Из простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. Например, 2⋅3=6; 3⋅5=15; 3⋅7=21 и т.д.

Живший в России в XVIII веке  немецкий математик Христиан Гольдбах (1690-1764)  решил складывать  простые числа попарно. Он обнаружил удивительную закономерность, наблюдая за числами:

6= 3+3;  8=3+5;  10= 3+7=5+5;  12=5+7 и т.д.      (1)

        Пользуясь данной закономерностью, продолжим запись для чисел первой сотни:

6 = 3+3;

8=3+5;

10 = 5+5= 3+7;

12=5+7;

14=7+7=11+3;

16=11+5;

18 = 11+7;

20 = 17+3= 13+7;

22 = 19+3= 17+5;

24 = 17+7;

26 = 23+3;

28 = 23+5;

30= 23+7;

32= 29+3;

34=31+3=29+5;

36 = 31+5=29+7;

38 = 31+7; 40=37+3=33+7;

42=37+5;

44 = 41+3=37+7;

46=41+5;

48 =41+7=43+5;

50=47+3;

52=29+23;

54=43+11;

56=49+7;

58 =53+5;

60=53+7;

62=59+3;

64= 61+3;

66= 61+5=59+7;

68=61+7;

70=67+3;

72=67+5;

74=67+7;

76=71+5;

78=71+7;

80=73+7;

82=41+41;

84 =79+5;

86=83+3;

88=83+5;

90=83+7;

92=89+3;

94=89+5;

96=89+7;

98=79+19;

100=97+3.

        Вывод. Любое чётное число первой сотни больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

2.2. Постановка второй задачи

        Проверим каждое ли нечетное число первой сотни можно представить в виде суммы трех простых чисел.

7=2+2+3;

9=3+3+3;

11=3+3+5,

13= 3+3+7,

15=5+5+5,

17+5+5+7,

19=7+7+5;

21=7+7+7;

23=11+7+5;

25=11+7+7;

27=13+7+7;

29=19+5+5;

31=19+7+5;

33=7+7+19;

35=17+13+5; 37=17+13+7; 39=17+17+5;  41=47+17+7;                                      

43=17+19+7; 45=19+19+7;

47=23+7+17;

49=23+7+19; 51=23+23+5;

53= 23+23+7; 55=29+13+13; 57=31+13+13; 59=29+13+17; 61=29+13+19; 63=29+17+17; 65=29+17+19; 67=29+19+19; 69=31+19+19; 71=29+29+13; 73=31+29+13; 75=31+31+13; 77=31+29+17; 79=31+31+17; 81=31+31+19; 83=41+41+2; 85=41+41+3;

87=41+41+5;

89=41+41+7;

91=43+41+7; 93=43+43+7;

95= 47+43+5; 97=47+43+7; 99=47+47+5.

        Проделанная мною работа, позволяет сделать следующий вывод: произвольное нечетное число первой сотни (не менее семи) можно записать в виде суммы трех простых чисел.

2.2. Проблема Гольдбаха

        Живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел (как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом).

        О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику XVIII века Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской Академии наук. Проверив еще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двух простых чисел. Но четных чисел бесконечно много. Поэтому вычисления  Эйлера давали лишь надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что  это всегда будет так, ни к чему не привели.

С тех пор как Гольдбах выдвинул эту гипотезу, математики не сомневались, что она верна. Тем не менее, никто никогда не претендовал на то, что сумел ее доказать. К решению этой проблемы существует подход «в лоб» — надолго запустить компьютерную программу, которая бы последовательно проверяла это утверждение на всё больших и больших числах. Таким способом можно было бы опровергнуть теорему, будь она неверна. Но так нельзя доказать теорему — по той простой причине, что никогда нельзя гарантировать, что число, которое программа могла бы проверить за следующий свой шаг, не окажется первым исключением из правила. В действительности мы знаем, что проблема Гольдбаха верна, по крайней мере, для всех четных чисел, не превышающих 100 000. В 30-е годы XX века группа русских математиков установила, что Гольдбаха верна для большого класса четных чисел. Однако доказательство теоремы до сих пор не найдено.

Заключение

        Двести лет размышляли математики над проблемой Гольдбаха. Но пока что, к сожалению, нет надежды, даже с помощью самых лучших ЭВМ, проверить, верно ли это утверждение для всех чисел.

Проведенная выше работа позволила мне сделать следующие выводы:

1. Любое чётное число первой сотни больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.

2. Произвольное нечетное число первой сотни (не менее семи) можно записать в виде суммы трех простых чисел.

В действительности мы знаем, что проблема Гольдбаха верна, по крайней мере, для всех четных чисел, не превышающих 100 000. В 30-е годы XX века группа русских математиков установила, что Гольдбаха верна для большого класса четных чисел. Однако доказательство теоремы до сих пор не найдено.

Литература:

1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я.  За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. –М.: Просвещение, 1989. С.92-93.

2. Тихомиров В.М., Успенский В.А.  Лев Генрихович Шнирельман /Рассказы о математике и математиках. Сост. С.М. Львовский. – М.: МЦНМО, 2000 . С.114.