Исследовательская работа по математике "Окружность и круг"

Окружность и круг

Исследовательская работа

по математике

Автор: Алексашина Юлия

ученица 5 класса

ГБОУ ООШ №3 г. Жигулевск

Руководители:  Царькова Д.А.

учитель математики

ГБОУООШ №3 г.о.Жигулевск

г. Тольятти,  2013

ВВЕДЕНИЕ

Основная цель работы: исследование окружности и круга.

Данная тема представляет  определенный интерес, так как её истоки относятся к древности.  Окружность - самая простая из кривых линий.  Это одна из древнейших геометрических фигур, которая всегда привлекала внимание художников, архитекторов. Философы древности придавали ей большое значение.

Основные задачи исследования:

1) познакомиться с понятиями: окружность, центр и радиус окружности, диаметр, хорда окружности.

2) выяснить, на какое наибольшее число частей можно разделить окружность тремя прямыми.

3) выяснить, существует ли круг, чтобы его площадь и длина окружности выражались одним и тем же числом.

4) рассмотреть взаимное расположение на плоскости прямой и окружности.

5) рассмотреть  взаимное расположение на плоскости двух окружностей.

Основные методы решения поставленных задач: метод наблюдения за числами; метод подбора и проб; чтение дополнительной литературы; составление  таблиц  и сравнение  результатов; метод обобщения.

Часть 1. Основные понятия, используемые в работе

1.1. Понятие Окружности

Определение 1.

Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
 

Данная точка (O) называется центром окружности.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.
         

1.2. Длина  окружности

Отношение  длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π ("пи"). 

Обозначим длину окружности буквой   l, а ее диаметр буквой d и запишем формулу 

Число   π   приблизительно равно   3.14   

Более точное его значение   π   =   3,1415926535897932. Исходя из формулы выше, выведем, чему равна окружность, если известен диаметр d.

. 

Если известен радиус r , то формула длины окружности будет выглядеть так:

.

                1.3. Радиус окружности

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
        Определить радиус окружности можно по формуле: 

1.4. Диаметр окружности

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Центр окружности является серединой любого диаметра. Определить диаметр окружности можно по формуле:  

где R - радиус,  D - диаметр, π - число π = 3,14......

Часть 2. Постановка и решение задач

исследования

2.1. Постановка первой задачи

Рассмотрим, на какое наибольшее число частей можно разделить окружность тремя прямыми.

Рассмотрев всевозможные варианты, можно сделать вывод о том, что наибольшее число  частей, на которое можно разделить окружность тремя прямыми равно 7.

Итак, сделаем первый вывод: наибольшее число  частей, на которое можно разделить окружность тремя прямыми равно 7.

2.2. Постановка второй задачи

Дан квадрат, периметр и площадь которого выражаются одним и тем же числом.

Пусть сторона квадрата равна Х, тогда Р=4Х , а S=X2.

отсюда 4х= х2

х=4

Таким образом,  можно сделать вывод, что при стороне квадрата     равной 4, периметр и площадь будут выражаться одним целым числом.

Предположим, что существует круг, площадь и длина окружности  которого  выражаются одним числом.

Длина окружности  вычисляется по формуле: L=2пR=пD  

Площадь:  S = πR2.   π=3,14

Составим таблицу 1.

Таблица 1

Из таблицы видно,  что  при радиусе равном 2  площадь и длина окружности,  которого  выражаются одним числом.

Итак, сделаем второй вывод: существует круг, площадь и длина окружности  которого  выражаются одним числом, радиус которого равен  2.

2.3. Постановка третей задачи

 сравним длины окружностей, заменяя  π числами и  

Найдем длину  окружности, если  радиус равен 497 см.

L=2 πR

1. ;  
2. ;
3. 

2.4. Постановка четвертой задачи

При вычислении длины окружности в Древнем Вавилоне за π часто принимали число, равное 3. Сравним их ответ от настоящего ответа при нахождении длины окружности. R= 40

Сравнив полученные данные, можно сделать вывод, что при вычислении длины окружности в Древнем Вавилоне ответ меньше  настоящего  на 11,2.

2.5. Постановка пятой задачи

Рассмотрим всевозможные случаи взаимного расположения на плоскости прямой и окружности.

• Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

• Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

• Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

2.6. Постановка шестой задачи

Рассмотрим всевозможные случаи взаимного расположения на плоскости двух окружностей.

Окружности не имеют общих точек, но у них общий центр

Окружности имеют одну общую точку

Окружности имеют две общие точки 

Окружности не имеют общих точек

2.7. Отличие окружности от круга

        Окружность представляет собой бесчисленное множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной единственной, называемой центром окружности. Соединенные между собой точки формируют кривую линию, которая и будет окружностью. Все точки, которые находятся на другом расстоянии от центра окружности, не будут находиться на этой линии, поэтому не будут входить в окружность. Соответственно, окружность – это геометрическая фигура, которая представляет собой определенную линию, а все, что находится внутри нее либо снаружи, к окружности не относится. По этой причине имеется четкое понятие, что окружность делит всю плоскость на две части – внутреннюю, ограниченную линией окружности, и внешнюю, безграничную, поскольку плоскость в общем понимании не имеет границ.

        Круг является геометрической фигурой, граница которой состоит из бесчисленного множества точек, равноудаленных от центра круга. Все внутреннее пространство, а также центр круга принадлежат ему, таким образом, можно говорить о том, что круг представляет собой некую площадь пространства, ограниченную множеством точек. А поскольку эти точки равноудалены от центра, то границей круга будет окружность. Все внешнее пространство кругу не принадлежит, зато он охватывает всю ту часть плоскости, которая очерчена при помощи окружности.

        Различия между кругом и окружностью не столь велики, поскольку эти фигуры представляют собой неисчисляемое количество точек плоскости, находящихся от одной центральной точки на одинаковом расстоянии. Но важным отличительным признаком является тот факт, что внутреннее пространство не принадлежит окружности, но обязательно является составной частью круга. Иными словами, круг представляет собой не только окружность, которая является его границей, но также и то бесконечное число точек, находящихся внутри этой окружности.

        Можно сделать следующий вывод. Разница между кругом и окружностью заключается в следующем:

        1. Окружность является лишь частью круга, его границей, в то время как круг является более обширной и полноценной фигурой;

        2. Окружность – это кривая линия, состоящая из бесчисленного множества точек, равноудаленных от центра, а круг представляет собой не только сумму этих точек окружности, но также и все те точки, которые расположены внутри этой самой окружности.

Заключение

Проведенная выше работа позволила мне сделать следующие выводы:

1. Наибольшее число  частей, на которое можно разделить окружность тремя прямыми равно 7.

2. При стороне квадрата     равной 4, периметр и площадь будут выражаться одним целым числом.

3. Существует круг, площадь и длина окружности  которого  выражаются одним числом, радиус которого равен  2.

4. Существует три случая взаимного расположения на плоскости прямой и окружности: прямая и окружность имеют две общие точки; прямая и окружность имеют только одну общую точку; прямая и окружность не имеют общих точек.

5. Существует четыре случая взаимного расположения на плоскости двух окружностей.

Так же выяснила, что разница между кругом и окружностью заключается в следующем:

        1. Окружность является лишь частью круга, его границей, в то время как круг является более обширной и полноценной фигурой;

        2. Окружность – это кривая линия, состоящая из бесчисленного множества точек, равноудаленных от центра, а круг представляет собой не только сумму этих точек окружности, но также и все те точки, которые расположены внутри этой самой окружности.

Литература:

1. Глейзер Г.И. История математики в  школе 7-8 кл.: Пособие для учителей. –М.: Просвещение, 1982. С. 32.

2. Гусев В.А.  Геометрия 5-6 классы: Учеб. пособие.- М.: ООО «Русское слово», 2002. С.118-142.

3. Шарыгин И.Ф.,  Ерганжиева Л.Н.  Наглядная геометрия: Учеб. пособие для  учащихся 5-6 классов. – М.: МИРОС, 1995. С. 72—83.