Задачи с необычными сюжетами

Государственное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №1137

Тема исследовательской  работы  по  математике

ЗАДАЧИ С НЕОБЫЧНЫМИ СЮЖЕТАМИ

Автор работы: Смирнова Ирина Сергеевна, класс 5 «В»

Научный руководитель: Лебедева Елена Константиновна, учитель математики

Дата выполнения проекта: 30.03.2014

ВВЕДЕНИЕ

Цель  работы:  Изучить и систематизировать задачи с необычными сюжетами в соответствии с возрастными особенностями пятиклассников.

Задачи:

1. Подбор  дополнительных  задач   по математике для  учащихся  5-х  классов  для  развития  логики  и  расширения  кругозора.
2. Использование данного материала во внеурочной деятельности по математике, на классных часах.

Результаты

При постоянной тренировке у школьников накапливается опыт решения задач с необычными сюжетами, умение выделять существенное в задачах, формируется математическое мышление, развивается  геометрическое воображение и наблюдательность.

Выводы

Решение задач с необычными сюжетами способствует развитию интереса учащихся к математике, повышению их активности на уроке, предотвращает психическую усталость однообразной деятельностью. Необходимо уйти от решения типовых задач и начать решение задач увлекательных, тренирующих мышление. Ежедневная умственная гимнастика школьникам необходима.

                                               СОДЕРЖАНИЕ

Раздел 1

Головоломные размещения и занимательные перестановки                  4-5

Раздел 2

Лёгкие задачи                                                                                               6

Раздел 3

Задачи потруднее                                                                                          7-8

Раздел 4

Задачи со спичками                                                                                      9

Раздел 5

Вес и взвешивание                                                                                         10

Решения  и ответы                                                                                         11-15

Информационные  источники

1.Книга  Перельман, Яков Исидорович

Весёлые задачи / Я.И.Перельман. - Москва: АСТ,2014.-287,[1]с.: ил. – (Занимательная наука).

2.Ссылка   http://www.kazedu.kz/referat/105419

РАЗДЕЛ  1

Головоломные  размещения  и  занимательные  перестановки

1.Чайный  сервиз

Стол  разграфлен  на  6  квадратов,  в  каждом  из  которых,  кроме  одного, помещается  какой-нибудь  предмет.

Суть  задачи  в  том, чтобы  поменять  местами  чайник  и  молочник,  передвигая  предметы   из  одного  квадрата  в  другой  по  определённым  правилам,  а  именно:

1. предмет   перемещать  только  в   тот  квадрат, который  окажется  свободным;
2. нельзя  передвигать  предметы  по  диагонали  квадрата;
3. нельзя  переносить  один  предмет  поверх  другого;
4. нельзя  также  помещать  в  квадрат  более  одного  предмета,  даже  временно.

Найти  кратчайшее  решение. Число  ходов  больше  дюжины  и  меньше  полутора  дюжин

2. Три  дороги

Каждый  устроил  на  своём  участке  огород. Земельные  участки  расположены  не  совсем  удобно. Братья  решили  отыскать  такие  пути  к  своим  участкам,  чтобы  не  пересекать  друг  другу  дороги. После  долгих  поисков  они  нашли  такие  три  пути   и  теперь  ежедневно  ходят  на  свои  огороды, не  встречаясь  друг  с  другом.                                                                                                              

Можете  ли  вы  указать  эти  пути?      

3. Муха  на  занавеске

На  оконной  занавеске  с  рисунком  в  клетку  уселись  9  мух. Случайно  они   расположились  так,  что  никакие  две  мухи  не  оказались  в  одном  и  том  же  ряду – ни  прямом,  ни  косом.  Спустя  несколько  минут  3  мухи  сменили  места  и  переползли  в  соседние,  незанятые  клетки;  остальные  6  не  двигались. Снова  9  мух  оказались  размещёнными  так, что  никакая  пара  не  находилась  в  одном  прямом  или  косом  ряду. Можете  ли  вы  сказать,  какие  три  мухи  и  куда  пересели

4. Дачники  и  коровы

Вокруг  озера  расположены  четыре  дачи, а  почти  прямо  на  берегу - четыре  коровника.  Владельцы дач  хотят  соорудить  сплошной  забор  так, чтобы  озеро  было  закрыто  от  коров, но  в  то же  время  доступно  для  дачников,  любящих  купаться. Как  нужно  построить  забор,  чтобы  он  имел  наименьшую  длину  и,  следовательно,  обошелся, возможно,  дешевле?

5. Пруд

Имеется  пруд  в  форме  квадрата. По  углам  его,  у  самой  воды,  растут  4   дуба. Пруд  понадобилось  расширить:  сделать  вдвое  больше  по  площади, сохранив  квадратную  форму. Вековые  дубы  трогать  не  хотят.

Можно  ли  расширить  пруд  до  требуемых  размеров  так,  чтобы  все  4  дуба,  оставаясь  на  своих  местах,  оказались  на  берегах  нового  пруда?

РАЗДЕЛ  2

Лёгкие  задачи

1. Бочки

В  магазин  доставили  6  бочек  керосина. На  рисунке  обозначено,  сколько  ведёр  было  в  каждой  бочке.  В  первый  же  день  нашлось  два  покупателя;  один  купил  целиком  две  бочки,  другой - три,  причем  первый  купил  вдвое  меньше  керосина,  чем  второй. Так  что  не  пришлось  даже  раскупоривать  бочек.

Из  6  бочек  на  складе  осталась  всего  одна.

Которая?

2. Цена  переплёта

Книга  в  переплёте  стоит  2 рубля  50коп. Книга  на  2 рубля   дороже  переплёта.

Сколько  стоит  переплёт?

3. Головы  и  ноги

На  лугу  паслись  лошади  под  присмотром  пастухов. Если  бы вы  пожелали  узнать,  сколько  всех  ног  на  лугу,  то  насчитали  бы  82  ноги. А  если  бы  пересчитали  головы,  то  оказалось  бы,  что  всех  голов – лошадиных  и  человеческих -26.

Сколько  на  лугу  лошадей  и  сколько  пастухов?  Надо  заметить,  что  ни  безногих  лошадей,  ни  калек-пастухов  на  лугу  не было.

4. Цена  книги

Иванов  приобретает  все  нужные  ему  книги  у  знакомого  ему  книготорговца  со  скидкой 20%.С  1  января  цены  на  книги  повышены  на  20%.  Иванов  решил,  что  он  будет  теперь  платить  за  книги  столько,  сколько  остальные  покупатели  платили  до  1 января. Прав  ли  он?

5. Редкая  монета

Собирателю  редкостей  сообщили,  что  в  Риме  при  раскопках  найдена  монета   с  надписью по-латыни:  

                              53 год  до  Р.Х.

- Монета,  конечно,  поддельная, - ответил  собиратель.

Как  он  узнал  это,   не  видя  ни  самой  монеты,  ни  даже  её  изображения?      

РАЗДЕЛ  3

Задачи  потруднее

1. Девять  цифр

Напишите  по  порядку  девять  цифр:

1. 2  3  4  5  6  7  8    9.     Попробуйте, не  меняя  расположение  цифр, вставить  между  ними  знаки  + и  - пользуясь  ими   только   три  раза,  чтобы   получилось  100.

2. На  болоте

Отряд  французских  солдат  во  время  похода  в  Алжире  очутился  однажды  в  местности,  совершенно  лишенной  растительности  и  притом  с  почвой  настолько  болотистой, что,  хотя  по  ней  и  можно  было  ступать,  сесть  на  неё  было  совершенно  невозможно. Усталый  отряд  продвигался  вперёд  в  поисках  подходящего  места  для  привала,  но  на  десятки  верст  простиралась  всё  та,  же  болотистая  почва.  Как  отдохнуть,  если  нет  кругом  ни  единого  сухого  местечка  и  ничего  такого, на   что  можно  было  бы  сесть?

И   всё-таки  одному  солдату  пришла  в  голову  счастливая  мысль,  которая  помогла  отряду  выйти  из  затруднительного  положения.  Солдаты  уселись  и  отдохнули.

Как?  Отгадайте!

3. Три  разведчика

В  не  менее  затруднительном  положении  оказались  однажды  трое  пеших  разведчиков,  которым  необходимо  было  перебраться  на  противоположный   берег  реки  при  отсутствии  моста. Правда,  на  реке катались в  челноке  два  мальчика,  готовые  помочь  солдатам. Но  челнок  был  так  мал,  что  мог  выдержать  вес  только  одного  солдата. Даже  солдат  и  один  мальчик  не  могли  одновременно  сесть  в  лодку  без  риска  её  потопить.  Плавать  же  солдаты  совсем  не  умели.

Казалось бы,  при  таких  условиях  мог  переправиться  через  реку  только  один  солдат. Между  тем  все  три  разведчика  вскоре  благополучно  очутились  на  противоположном  берегу  и  возвратили  лодку  мальчикам.

Как  они  это  сделали?

4. Составить  квадрат

Можете  ли  вы  составить  квадрат  из  пяти  кусков  бумаги,  показанных  на  рисунке?

5. Всюду   ЮГ!

Существует  шуточный  рассказ  Козьмы  Пруткова   об  одном  турке, который  будто  бы  попал  однажды  в  «самую  восточную  страну».  Турок  так  описывает  эту  сказочную  страну:

« И  впереди  восток,  и  с  боков  восток.  А  запад?  И  сзади  восток!  Короче -  везде и  всюду  нескончаемый  восток!»

Такой  страны,  которая  со  всех  сторон  окружена  востоком,  конечно,  быть  не  может.  Но  зато  существует  такое  место  на  земном  шаре,  которое  отовсюду  окружено  югом:  во  все  стороны  от  этого  места   простирается  «один  нескончаемый  юг».

В  этом  удивительном  месте  развевается  английский  флаг,  и  я  уверена,  что  вы  даже  знаете  имя  человека,   который  водрузил  его.

Где  же  находится  это  место?  Чтобы  помочь  вам  догадаться,  я  прибавлю,  что  там  не  жарко,  даже  не  тепло,  хотя  во  все  стороны  от  него  простирается  юг.

РАЗДЕЛ  4

Задачи  со  спичками

1. Из  шести  три  

Перед  вами  фигура,  составленная  из  18  спичек.  Вы  видите  в  ней  6  одинаковых  квадратов.  Задача  состоит  в  следующем:  нужно,   убрать  5  спичек,  не  перекладывая  остальных,  так,  чтобы  осталось  всего  3  квадрата.

2. Оставить  пять  квадратов

В  решетке  из  спичек,  нужно  убрать  4 спички,  не  трогая  остальных,  чтобы  осталось  5  квадратов.

3. Оставить  четыре  квадрата

Извлеките  8  спичек,  не  трогая  других,  чтобы  оставшиеся  спички   составили  4  одинаковых  квадрата.

4. Оставить  три  квадрата

Уберите  6  спичек,  не  перекладывая  остальных,  чтобы  осталось  всего  3  квадрата.

5. Оставить  два  квадрата

Уберите  8  спичек,  не  трогая  остальных,  чтобы  осталось  всего  лишь 2  квадрата.

РАЗДЕЛ 5

Вес  и  взвешивание

1. Вес  бутылки

Бутылка,  наполненная  керосином,  весит  1000г.  Та  же  бутылка,  наполненная  кислотой,  весит  1600г.  Кислота  вдвое  тяжелее  керосина.

Сколько  весит  бутылка?

2. Брусок  мыла

На  одну  чашку  весов  положен  брусок  мыла,  на  другую -3/4  такого  же  бруска  и  гиря  в  ¾  килограмма.  Весы  в  равновесии.

Сколько  весит  целый  брусок  мыла?

3. Кошки  и  котята

Четыре  кошки  и  3  котёнка  весят  15кг,  а  3  кошки  и  4  котёнка  весят  13кг.

Сколько  весит  каждая  кошка  и  каждый  котёнок  в  отдельности?

4. Вес  фруктов

Груша  и  3  яблочка  весят  столько  же,  сколько  10  персиков,  а  6  персиков  и  1  яблочко -  столько  же,  сколько  1  груша.

Сколько  персиков  надо  взять,  чтобы  уравновесить  одну  грушу?

5. Гиря  и  молоток

Надо  развесить  2кг  сахарного  песку  на  200- граммовые  пакеты.  Имеется  только  одна  500- граммовая  гиря,  да  ещё  молоток,  весящий  900г.

Как  получить  все  10  пакетов,  пользуясь  этой  гирей  и  молотком?

Решения  задач

Раздел  1

1. Для  удобства  заменим  чайную  посуду  цифрами. Тогда  задача  представится  в  таком  виде:  надо  поменять  местами  предметы  2  и  5.  Вот  порядок,  в  каком  их  следует  передвигать  на  свободный  квадрат:

2, 5, 4, 2, 1, 3, 2, 4, 5, 1, 4, 2, 3, 4, 1, 5, 2.

2. Три  непересекающихся  пути  показаны  на  рисунке.

И   Петру  и  Павлу  приходится  идти  довольно  извилистой  дорогой – но  зато  братья  избегают  нежелательных  встреч.

3. Стрелки  на  рисунке  показывают, какие  мухи  переменили  место и  с  каких  клеток  они  пересели.

4. Забор  можно  поставить  двумя  способами.  Забор,  построенный  по  второму  плану,  короче и, следовательно,  дешевле.

5. Расширить  площадь  пруда  вдвое,  сохранив  его  квадратную  форму  и  не  тронув  дубов,  вполне  возможно.  Надо  копать  так,  чтобы  дубы  оказались  против  середины  сторон  нового  квадрата.  Легко  убедиться,  что  по  площади  новый  пруд  вдвое  больше  имевшегося:  достаточно  провести  диагонали в  прежнем  пруде и  вычислить  площадь  образующихся  при  этом  треугольников.

Раздел 2

1. Первый покупатель купил 15-ведёрную и 18-ведёрную бочки. Второй – 16-ведёрную, 19-ведёрную и 31-ведёрную. Всамом деле 15+18=33

16+19+31=66, т. е. второй покупатель приобрёл вдвое больше  керосина, чем первый.

Осталась непроданной 20-ведёрная бочка.

2. Обычно, не подумав,отвечают:

-Переплет стоит 50 коп.

Но ведь тогда книга стоила бы 2 руб. , т.е. была всего на 1руб. 50 коп.  дороже переплёта!

Верный ответ такой:

Переплет - 25коп. ,

Книга -2руб. 25 коп.

3. Если бы все 26 голов на лугу были человеческие, мы насчитали бы не 82 ноги, а 52 , т.е. на 30  ног меньше. От замены одного человека лошадью число всех ног увеличилось бы на 2. Значит, чтобы насчитать 82 ноги, надо  произвести подобную замену 15 раз, тогда  15 раз, тогда  15 раз, тогда  15 раз, тогда и найдутся недостающеи 30 ног. Итак , из 26 голов 15-лошадиных, а остальные 11-человеческие.

4. Иванов будет платить меньше, чем остальные покупатели платили до 1 Января.

Он имеет 20%-ю скидку с цены увеличенной на 20% ; другими словами, скидку 20% от 120%  , т. е. платить он будет за книгу не 100%, а 96% её прежней цены.

Трёхрублёвую книгу приобретёт не за 3 руб. , а за 2руб. 88коп.

5. Разве римляне , чеканя монету до Р. Х. ,могли знать, что через 53 года родится Христос?

Раздел 3

1. Других решений задача не имеет :

123- 45-67+89=100

2. Солдаты сели друг другу на колени. Каждый опирается на колени своего соседа и кольцо сидящих замыкается.
3. Сделать 6 переправ:

1-я переправа . Оба  мальчика подъезжают к противоположному берегу,и 1 из них привозит лодку к разведчикам(другой  остаётся на том берегу).

 2-я переправа . Мальчик, привёзший лодку,остаётся на этом берегу,а в челнок садится 1солдат,который и переправляется  на другой берег.Челнок возвращается с другим мальчиком.

3-я переправа. Оба мальчика переправляются через реку, 1из них  возвращается с челноком .

4-я переправа.  2 Солдат переправляется на противополжный берег. Челнок возвращается с мальчиком.

5-я переправа- повторение 3-й.

6-я переправа. 3 солдат переправляется на противополжный берег. Челнок возвращается с мальчиком ,и дети продолжают прерванное катание по реке.

Теперь все 3 солдата находятся на другом берегу.

4.

5. Место на Земле , откуда во все стороны горизонта простирается юг – это… Северный полюс! И действительно: ведь Северный полюс  есть самая северная точка Земли, и,следовательно, все точки в его окрестности лежат южнее. Когда отважный полярный путешественник Пири в 1912г. водружал в этом пункте английский флаг, его со всех сторон окружал юг: «везде и всюду нескончаемый юг»

Раздел 4

Задача №1

Задача №2

Задача №3

Задача №4

Задача №5

Раздел 5

1. Из условия задачи мы знаем, что вес  бутылки + вес керосина = 1000г.

А так как кислота вдвое тяжелее керосина, то

Вес бутылки    + двойной вес керосина = 1600г.

Отсюда ясно, что разница в весе: 1600-1000, т.е. 600г, есть вес керосина налитого в бутылку. Но бутылка вместе с керосином  весит 1000г; значит, бутылка весит 1000-600=400г. Действительно, вес кислоты (1600-400=1200г.) оказывается вдвое больше веса керосина.

2. Три четверти бруска мыла плюс гиря  в  ¾ килограммов весят столько же, сколько целый брусок. Но целый брусок- это ¾ бруска плюс ¼ бруска. Значит, ¼ бруска весит ¾  кг. И, следовательно, целый брусок весит в четыре раза больше, чем ¾ кг, т.е. 3 кг.

3. Сравнивая оба взвешивания, легко увидеть, что от замены одной кошки одним котёнком вес груза уменьшился на 15-13, т.е. на 2 кг. Отсюда следует, что кошка тяжелее котёнка на 2 кг. Зная это, заменим при первом взвешивании всех четырёх кошек котятами: у нас будет тогда 4+3= 7, а стрелка весов, вместо 15 кг, покажет на 2*4, т.е. на 8 кг меньше. Значит, 7 котят весят 15-8=7 кг. Отсюда ясно, что котёнок весит 1 кг, взрослая же кошка 1+2=3 кг.

4. Заменим при  первом взвешивании 1 грушу на 6 персиков и 1 яблочко: мы вправе это сделать, так как груша весит столько же, сколько 6 персиков и яблочко.  У нас окажется на левой чашке 4яблочка и 6 персиков, на правой -10 персиков. Сняв с обеих чашек по 6 персиков, узнаем, что 4 яблочка весят столько, сколько весят 4 персика. Другими словами, один персик весит столько же, сколько одно яблочко. Теперь уже легко сообразить, что вес груши равен весу 7 персиков.

5. Порядок таков. На одну чашку кладут молоток, на другую – гирю и столько же сахарного песка, чтобы чашки уравновесились; ясно, что насыпанный на вторую чашку песок весит 900 – 500 = 400 г. Эту операцию выполняют ещё три раза; остаток песка весит 2000 – (4 * 400) = 400г. Теперь нужно содержимое каждого из пяти полученных 400- граммовых пакетов разделить пополам, на два равных по весу пакета. Делается это без гирь, очень просто: содержимое 400- граммового пакета рассыпают в два блюдца, поставленные на  разные чашки, до тех пор, пока весы не уравновесятся.