Творческие рботы учащихся
.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Чему я научилась за 6 класс Коновалова Юлия | 2.59 МБ |
| Что я узнал в 6 классе Веденеев Даниил | 365.87 КБ |
| Чему я научился в 7 классе Благодарова Валерия | 109.13 КБ |
| Чему я научился в 7 классе Дмитриева Мария | 431.15 КБ |
| Пирамида Быкова Ксения, Попова Анастасия | 1.76 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
§1.Делимость чисел 1.Делители и кратные Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 12 имеет шесть делителей:1,2,3,4,6 и 12. Число 1 является делителем любого натурального числа. Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а. Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Например, первые пять чисел, кратных 8,такие:8,16,24,32,40. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.
2.Признаки делимости на 10,на 5 и на 2 Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0,то это число делится без остатка на 10.Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5,то это число делится без остатка на 5.Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится. Например, числа 870 и 875 делятся без остатка на 5,а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся. Числа делящиеся без остатка на 2,называют чётными , а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1,называют нечётными . Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётное (делится без остатка на 2),а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно. Например, числа 2,60,84,96,308 чётные, а числа 3,51,85,97,509 нечётные.
3.Признаки делимости на 9 и на 3 Если сумма цифр числа делится на 9,то и число делится на 9;если сумма цифр числа не делится на 9,то и число не делится на 9. Пример 1. Число 76455 делится на 9,так как сумма его цифр: 7+6+4+5+5=27-делится на 9. Пример 2. Число 51634 не делится на 9,так как сумма его цифр:5+1+6+3+4=19-не делится на 9. Если сумма делится на 3,то и число делится на 3;если сумма цифр числа не делится на 3,то и число не делится на 3.
4.Простые и составные числа Число 7 делится только на 1 и само на себя. Другими словами, число 7 имеет только два делителя:1 и 7.У числа 9 три делителя:1,3 и 9.Число 18 имеет шесть делителей:1,2,3,6,9,18. Такие числа как 9 и 18 называют составными числами, а такие, как 7,- простыми числами. Число 78 составное, потому что кроме 1 и 78 оно делится, например, ещё на 2.Так как 78:2=39,то 78=2 39.Говорят,что число 78 разложено на множители 2 и 39.Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1.Простое число так разложить на множители нельзя.
5.Разложение на простые множители Число 210 является произведением чисел 21 и 10. Значит, 210 = 21 * 10. Числа 21 и 10 составные. Их тоже можно представить в виде произведений: 21 = 3 * 7, 10 = 2 * 5. Получаем: 210 = 3 * 7 * 2 * 5. Теперь в произведении 3 * 7 * 2 * 5 все множители — простые числа. Таким образом, число 210 разложено на простые множители. 210 21 10 3 7 2 5
6.Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b , называют наибольшим общим делителем этих чисел. Найдем наибольший общий делитель чисел 24 и 35. Делителями 24 будут 1,2,3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут 1, 5, 7, 35. Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1 . Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел; 3) найти произведение оставшихся множителей . Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел. Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.
7.Наименьшее общее кратное Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b . Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей. Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел. Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.
§2.Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 8.Основное свойство дроби Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Это свойство называют основным свойством дроби . Например, Две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.
9.Сокращение дробей Если числитель и знаменатель дроби разделить на 5, то получится равная ей дробь ,т.е. . Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби. Дробь сократить нельзя, так как числа 3 и 4 - взаимно простые числа. Такую дробь называют несократимой . Наибольшее число, на которое можно сократить дробь, — это наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Например, наибольшим общим делителем чисел 150 и 225 является 75. Значит, дробь можно сократить на 75, получим = .
10.Приведение дробей к общему знаменателю Умножим числитель и знаменатель дроби на одно и то же число 2. Получим равную ей дробь , т. е. = . Говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю 8 . Дробь можно привести к любому знаменателю, кратному знаменателю данной дроби. Число , на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным множителем . При приведении дроби к новому знаменателю ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель . Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или, иначе, к общему знаменателю . Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
11.Сравнение,сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1 ) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2 ) сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби. Пример 1. Сравним дроби и . Решение. Приведем дроби к общему знаменателю 15. Получим = = = = . Так как ,то
12.Сложение и вычитание смешанных чисел Чтобы сложить смешанные числа, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно — дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части . При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы . Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.
§3.Умножение и деление обыкновенных дробей 13.Умножение дробей Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Пример 1. = =3 Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем . Пример 2. = = = =1 Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей . Умножение дробей обладает переместительным и сочетательным свойствами . а ; а
14.Нахождение дроби от числа Задача 1. Путешественник прошел за два дня 20 км. В первый день он прошел этого расстояния. Сколько километров прошел путешественник в первый день ? Решение. Длина пути равна 20 : 4 = 5, т.е. 5 км, а длина пути равна 5 • 3 = 15, т.е. 15 км. Тот же ответ получится, если 20 умножить на , т.e 20 Ответ: 15 км. Такую задачу называют задачей на нахождение дроби от числа и решают её с помощью умножения . Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
15.Применение распределительного свойства умножения Распределительное свойство умножения относительно сложения и относительно вычитания позволяет упрощать вычисления. Пример 1. Найдем значение выражения ( ) . Решение . ( − )∙ 15= . Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно: 1) умножить целую часть на натуральное число; 2) умножить дробную часть на это натуральное число; 3) сложить полученные результаты . Пример 2. Найдем значение выражения 5 Решение. 5
16.Взаимно обратные числа Если умножить на ,то получится 1. Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными . Пример 1. Найдем число, обратное числу 3 . Решение. Запишем число 3 в виде неправильной дроби: 3 = Значит , обратным 3 будет число . Если число х сначала умножить на некоторое число a, а потом умножить на число, обратное a, то получим опять х.
17.Деление Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю. Пример 1. Разделим 2 на 1 . Решение. Представим сначала числа 2 и в виде неправильных дробей:2 = ;1 = . Поэтому 2 = = = =2 .
18.Нахождение числа по его дроби Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь . Задача 1. Пшеницей засеяно 2400 га, что составляет 0,8 всего поля! Найдите площадь всего поля. Решение. Так как 2400 : 0,8 = 24 ООО : 8 = 3000, то площадь всего поля равна 3000 га . Задача 2. Увеличив производительность труда на 7%, рабочий сделал за этот же срок на 98 деталей больше, чем намечалось по плану. Сколько деталей рабочий должен был сделать по плану? Решение. Так как 7% = 0,07, а 98 : 0,07 = 1400, то рабочий по плану должен был сделать 1400 деталей.
19.Дробные выражения Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением. Например, − дробные выражения . Выражение, стоящее над чертой, называют числителем , а выражение, стоящее под чертой, — знаменателем дробного выражения . Числителем и знаменателем дробного выражения могут быть любые числа, а также числовые или буквенные выражения. С дробными выражениями можно выполнять действия по тем же правилам, что и с обыкновенными дробями . Пример 1. Найдём значение выражения Решение. Умножив числитель и знаменатель этого дробного выражения на 6,получим: =
§4.Отношения и пропорции 20.Отношения Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго. Если значения двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин (отношением длин, отношением масс, отношением площадей и т. д .). Числа и взаимно обратны, поэтому и отношения 2 к 3 и 3 к 2 также называют взаимно обратными . Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения.
21.Пропорции Равенство двух отношений называют пропорцией. В пропорции = ,или a : b = с : d, числа a и d называют крайними членами , а числа b и c — средними членами пропорции. B верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних . если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.
22.Прямая и обратная пропорциональные зависимости Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны . Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз . Задача 1. За 3,2 кг товара заплатили 115,2 р. Сколько следует заплатит за 1,5 кг этого товара? Решение. Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив буквой х стоимость (в рублях) 1,5 кг этого товара. Запись будет иметь следующий вид : Количество товара Стоимость товара I покупка ↓ 3,2 кг 115,2р. ↓ II покупка ↓ 1,5 кг x р. ↓ Зависимость между количеством товара и стоимостью покупки прямо пропорциональна, так как если купить товара в несколько раз больше, то и стоимость покупки увеличится во столько же раз. Условно обозначим такую зависимость одинаково направленными стрелками . Запишем пропорцию: = Теперь найдем неизвестный член пропорции : х= =54. Ответ:54 р.
23.Масштаб Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты. В рассмотренном нами примере масштаб карты равен 1:100 000 = Говорят, что карта сделана в масштабе одна стотысячная.
24.Длина окружности и площадь круга Длина окружности прямо пропорциональна длине ее диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой ( читается «пи»). Если обозначить длину окружности буквой С, а длину диаметра буквой d то C : d = . Поэтому . Так как диаметр окружности вдвое больше ее радиуса, то длина окружности с радиусом r равна 2 r . Получили другую формулу длины окружности: C=2 r .
25.Шар Футбольный мяч, глобус, арбуз дают нам представление о шаре . Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с центром, называют радиусом шара . Отрезок, соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара . Диаметр шара равен двум радиусам. Поверхность шара называют сферой .
§5.Положительные и отрицательные числа 26.Координаты на прямой Точка O на прямой АВ разбивает эту прямую на два дополнительных луча — OA и OB. Выберем единичный отрезок и примем точку O за начало отсчета. Тогда положение точки на каждом из лучей задается ее координатой. Чтобы отличить друг от друга координаты на этих лучах, условились ставит перед координатами на одном луче знак +, а перед координатами на другом луче знак − . Числа со знаком + называют положительными . Числа со знаком − называют отрицательными . Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой . Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.
27.Противоположные числа Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами . Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами.
28.Модуль числа Расстояние до точки М (-6) от начала отсчета O равно 6 единичным отрезкам Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |-6| = 6 . Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а).
29.Сравнение чисел Вчера в комнате термометр показывал 18 °С, а сегодня показывает 21 °С. Вчера в комнате было холоднее, чем сегодня. Число 18 меньше числа 21. Можно записать: 18 < 21. Вчера на улице термометр показывал -15 °С, а сегодня он показывает -9°С. Вчера было холоднее, чем сегодня. Поэтому считают, что -15 меньше -9. Пишут:-15 < -9. Вчера на улице термометр показывал -10 °С, а сегодня он показывает 5 °С. Вчера было холоднее, чем сегодня. Число -10 меньше числа 5. Пишут: -10 < 5. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа. Например, -7,5 < 3, так как число -7,5 отрицательное, а число 3 положительное; -15 | - 9 |. На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. На рисунке 65 видим, что точка B (6) лежит правее точки A (-10), а точка A (-10) лежит правее точки C (-15).
30.Изменение величин Температура может как повышаться, так и понижаться. Пусть, например, утром температура воздуха была 3 °С, в середине дня — 9 °С, а вечером — 7 °С. За первую половину дня температура повысилась на 6 °С, а за вторую половину дня понизилась на 2 °С. Повышение температуры выражают положительными числами, а понижение — отрицательными. Так, если температура повысилась на 6 °С, то говорят, что ее изменение равно 6 °С или +6 °С, если понизилась на 2 °С, то говорят, что ее изменение равно -2 °С. Длина пружины может как увеличиваться, так и уменьшаться. Увеличение длины пружины будем выражать положительными числами, а уменьшение — отрицательными. Точка на координатной прямой может перемещаться влево или вправо по этой прямой. Перемещение точки вправо обозначают положительными числами, а перемещение влево — отрицательными. Таким образом, увеличение любой величины можно выразить положительными числами, а уменьшение — отрицательными.
§6.Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел 31.Сложение чисел с помощью координатной прямой Пусть температура воздуха равна 8 °С. Если она изменится на 3 °С (т.е. повысится на 3 °С), то она станет равной 11 °С : 8 + 3 = 11. Таким образом, температура стала равной сумме первоначального значения и изменения. Пусть температура воздуха равна 8 °С. Если она изменится на -3 °С (т е. понизится на 3 °С), то она станет равной 5 °С Будем и в этом случае записывать результат в виде суммы первоначального значения и изменения: 8 + (-3) = 5. На рисунке 74 показано сложение числа 8 с числами 3 и -3 на координатной прямой. Прибавить к числу a число Ь — значит изменить число a на Ь единиц. Любое число от прибавления положительного числа увеличивается, а от прибавления отрицательного числа уменьшается . Сумма двух противоположных чисел равна нулю: a + (-a) = 0 . От прибавления нуля число не изменяется: a + 0 = а.
32.Сложение отрицательных чисел Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1 ) сложить их модули; 2 ) поставить перед полученным числом знак − . Например, -8,7 + (-3,5)=-(8,7 + 3,5) = -12,2;
33.Сложение чисел с разными знаками Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше . Обычно сначала определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей. Например : 6,1 + (-4,2) = +( 6,1 - 4,2) = 1,9, или, короче, 6,1 + (-4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9.
34.Вычитание Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a - b = a + (-Ь ). Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.
§7.Умножение и деление положительных и отрицательных чисел 35.Умножение Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак -. Например,(-1,2) 0,3 =-(1,2 ∙0,3)=-0,36 1,2 ∙(-0,3)=-( 1,2∙0,3)=- 0,36 Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули. Например,(- 3,2 )∙(-9)=(- 3,2) ∙(-9)=3,2 ∙9=28,8.
36.Деление Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя . Например, -4,5 : (-1,5)=4,5 : 1,5 = 3. При делении чисел с разными знаками, надо: 1) разделить модуль делимого на модуль делителя; 2) поставить перед полученным числом знак − . Обычно вначале определяют и записывают знак частного, а потом уж находят модуль частного. Например, 3,6 : (-3) = -(3,6 : 3) = - 1,2.
37.Рациональные числа Число, которое можно записать в виде отношения , где a — целое число, n — натуральное число, называют рациональным числом . В записях 0,333..., 0,4545... и 0,0666... одна или несколько цифр начинают повторяться бесконечно много раз. Такие записи называют периодическими дробями .
3 8 . Свойства действий с рациональными числами Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если a, b и c — любые рациональные числа , то a + b = b + a,a + (b + c) = (a + b) + c . Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами . Другими словами, если a, b и c — любые рациональные числа, то ab = ba,a ( bc ) = ( ab )c . Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения . Другими словами, для любых рациональных чисел a, b и c имеем: (a + b) c= ac + bc .
§8.Решение уравнений 39.Раскрытие скобок Если перед скобками стоит знак +, то можно опустить скобки и этот знак +, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком +. Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых . Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак −, надо заменить этот знак на +, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки.
40.Коэффицент Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом ). Коэффициент обычно пишут перед буквенными множителями. Коэффициентом такого выражения, как a или ab , считают 1, так как a = 1 a; ab = 1 ab . При умножении -1 на любое число a получается число -a : - 1 a = -a . Поэтому числовым коэффициентом выражения -a считают число -1.
41.Подобные слагаемые Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми . Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
42.Решение уравнений Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю . Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак . Уравнение, которое можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным.
§9.Координаты на плоскости 43.Перпендикулярные прямые Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными . Пишут: AB⊥MN. Эту запись читают: «Прямая AB перпендикулярна прямой MN ». Для построения перпендикулярных прямых используют чертежный треугольник или транспортир. Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками (или лучами ).
44.Параллельные прямые Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными . Пишут: AB MN . Эту запись читают: «Прямая АВ параллельна прямой MN». Если AB MN , то MN AB . Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками ( лучами). Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей прямой, они параллельны. Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
45.Координатная плоскость Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым — номер кресла в этом ряду. При этом места (3; 8) и (8; 3) различны: первое является креслом №8 в третьем ряду, а второе — креслом №3 в восьмом ряду. Подобным образом можно обозначить и положение точки на плоскости. Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые — x и y, которые пересекаются в начале отсчета — точке O (рис. 113). Эти прямые называют системой координат на плоскости , а точку O — началом координат . Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью. Пусть M — некоторая точка координатной плоскости (рис. 113). Проведем через нее прямую MA, перпендикулярную координатной прямой x, и прямую MB, перпендикулярную координатной прямой y. Так как точка A имеет координату 6, а точка B — координату -5, то положение точки M определяется парой чисел (6; -5 ). Эту пару чисел называют координатами точки M. Число 6 называют абсциссой точки M, а число -5 называют ординатой точки M. Координатную прямую x называют осью абсцисс, а координатную прямую y — осью ординат. Точку М с абсциссой 6 и ординатой -5 обозначают так: М(6;-5). При этом всегда на первом месте пишут абсциссу точки, а на втором — ее ординату. Если переставить координаты местами, то получится другая точка — N (-5;6), которая показана на рисунке 113. Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел: ее абсцисса и ордината. Наоборот; каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами. На рисунке 114 показано, как попасть в точку C с координатами (-4;-3): сначала надо пройти по оси x от начала отсчета влево на 4 единицы, а потом — на 3 единицы вниз .
46.Столбчатые диаграммы В селе 90 домов. Из них 15 — под железной крышей, 45 — под черепичной и 30 — под шиферной. Число домов каждого вида изображено на круговой диаграмме. По-другому эти числа можно изобразить с помощью столбчатой диаграммы . Для этого надо нарисовать три столбика, высота которых соответствует количеству домов каждого вида. Пусть высота первого столбика 15 мм, второго 45 мм, третьего 30 мм. Если бы каждый дом изображался столбиком в 2 мм, то высоты всех трех столбиков на рисунке увеличились бы в 2 раза.
47.Графики Когда Маше был год, ее рост составлял 70 см, когда ей было 3 года — 100 см, 5 лет — 120 см и 7 лет — 130 см. По этим данным можно построить диаграмму .На этой диаграмме не полностью видно, как менялся рост Маши: она росла все время, а на диаграмме виден ее рост, только когда ей был 1 год, 3 года, 5 лет и 7 лет. Соединим верхние концы столбиков отрезками. Получится ломаная линия, которая нагляднее показывает, как изменялся рост Маши. Мы видим, что в 4 года ее рост примерно равнялся 110 см, а в 6 лет — 125 см . Если бы рост Маши измерялся все время, то получилась бы не ломаная, а гладкая линия, такая же, как на рисунке 125. По этой линии можно узнать рост Маши в любом возрасте от 1 года до 7 лет. Так, например, в 2 года ее рост был 90 см. Эту линию называют графиком роста Маши. Для большей точности построения графиков их чертят на миллиметровой бумаге. Например, график роста Маши на миллиметровой бумаге показан на рисунке 126. Графики чертят и с помощью компьютеров, которые обеспечивают еще большую точность.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Раздел математики – ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ. 1. Делимость чисел 2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 3. Умножение и деление обыкновенных дробей 4. Отношения и пропорции
Делимость чисел Делители и кратные. Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. Например , число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а . (Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных, но наименьшим является само это число). Например , первые пять чисел, кратных 8, такие: 8, 16, 24, 32, 40.
Делимость чисел Простые и составные числа. Простые числа – это натуральные числа, которые имеют только два делителя: 1 и само это число. Например , число 7 делится только на 1 и 7. Составные числа – это натуральные числа, которые имеют более двух делителей. Например , число 9 делится на 1, 3, 9. Каждое составное число можно разложить на простые множители Например , 756=2*2*3*3*3*7
Делимость чисел Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Признак делимости на 2 Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной. Например , 12, 14, 10020, 900092 делятся на два. Признак делимости на 3 Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (так как все числа вида 10n при делении на 3 дают в остатке единицу). Например , 12, 123, 1992 – делятся на 3, так как сумма цифр в каждом числе делится на 3. Признак делимости на 5 Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5). Например , 15, 100, 1005 – делятся на 5. Признак делимости на 9 Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например , 81, 441, 12321 делятся на 9. Признак делимости на 10 Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль. Например , 20 делится на 10.
Делимость чисел Наибольший общий делитель. Взаимно обратные числа. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b , называют наибольшим общим делителем этих чисел (НОД). Натуральные числа называют взаимно простыми, если их НОД равен 1. Нахождение наибольшего общего делителя 1. Разложить числа на простые множители; 2. Выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3. Вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел; 4. Найти произведение оставшихся множителей. Например , числа 48 и 36 разложим на множители, получим: 48=2*2* 2 * 2 * 3 , 36= 2 * 2 * 3 *3, найдем произведение 2 * 2 * 3 =12, значит НОД = 12
Делимость чисел Наименьшее общее кратное. Наименьшем общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и b . Нахождение наименьшего общего кратного 1. Разложить числа на простые множители; 2. Выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4. Найти произведение получившихся множителей. Например , числа 75 и 60 разложим на множители, получим: 75= 3 * 5 * 5 , 60= 2 * 2 *3*5, найдем произведение 2 * 2 * 3 * 5 * 5 =300, значит НОК = 300
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Например , Сокращение дробей. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби. Например , если числитель и знаменатель дроби разделить на 5, то получится равная ей дробь , т.е. . Дробь несократимая.
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Приведение дробей к общему знаменателю . Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1.Найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2. Разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель Например, приведем дроби и к наименьшему общему знаменателю. Решение. Разложим знаменатели данных дробей на простые множители: 60 = 2 • 2 • 3 • 5; 168 = 2 • 2 • 2 • 3 • 7. Найдем наименьший общий знаменатель: 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7 = 840. Дополнительным множителем для дроби является произведение 2 • 7, т. е. тех множителей, которые надо добавить к разложению числа 60, чтобы получить разложение общего знаменателя 840. Поэтому . Для дроби таким же способом находим дополнительный множитель 5. Значит, . Итак, , .
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2. Сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби. Пример 1 . Сравним дроби и . Решение. Приведем дроби к общему знаменателю 15. Получим . Так как , то . Пример 2 . Найдем значение суммы . Решение. . Пример 3 . Найдем значение разности Решение. . .
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Сложение и вычитание смешанных чисел Чтобы сложить смешанные числа, надо: 1.Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2. Отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно — дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части. Например , Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1.Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2. Отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей . Например ,
Умножение и деление обыкновенных дробей Умножение дробей. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Например, Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1. Найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2. Первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем. Например, Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей. Например,
Умножение и деление обыкновенных дробей Нахождение дроби от числа. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь. Важно понимать: под нахождением дроби от числа подразумевается нахождение части, которая выражена дробью, от целого, которое выражено числом. Например, В часе 60 минут. Мы хотим найти, сколько минут в одной четвертой часа. Число 60 (целое) умножаем на 1/4 (дробь, выражающая часть целого). Получаем, 60/4 = 15. Четверть часа равна 15 минут.
Умножение и деление обыкновенных дробей Распределительное свойство умножения. Напомним. Распределительное свойство умножения — ( a + b ) • c = a • c + b • c = ac + bc ; ( a - b ) • c = a • c - b • c = ac - bc ; Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно: 1. Смешанное число представить в виде суммы целого числа и дробной части; 2. Умножить натуральное число на целую часть и на дробную, полученные произведения сложить Например,
Умножение и деление обыкновенных дробей Взаимно обратные числа . Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными. Например, Чтобы выяснить, являются ли два числа взаимно обратными, их надо перемножить. Если ответ равен единице, числа — взаимно обратные.
Умножение и деление обыкновенных дробей Деление. Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй. Пример, Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель. Нахождение числа по его дроби. Чтобы найти число по данному значению дроби, надо его значение разделить на дробь. Пример, Задача. Пшеницей засеяно 2400 га, что составляет 0,8 всего поля! Найдите площадь всего поля. Решение. Так как 2400 : 0,8 = 24 ООО : 8 = 3000, то площадь всего поля равна 3000 га. Дробные выражения. Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.
Отношения и пропорции Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз
Отношения и пропорции Отношения. Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго Отношение можно записать как арифметическое действие деление, а можно как обыкновенную дробь. Например, отношения с одинаковым частным: 3:9 и . При вычислении отношения частное может быть: 1) больше 1 — значит, отношение характеризует, во сколько раз делимое больше делителя (например, 18:2=9, т.е. делимое больше делителя в 9 раз); 2) равно 1 — значит, делимое и делитель — равные величины (например, 5 : 5 = 1, т. е. 5 = 5); 3) меньше 1 — значит, частное показывает, какую часть составляет делимое от делителя (например, 3 : 4 = = 0,75, т.е. делимое составляет от делителя).
Отношения и пропорции Пропорция. Равенство двух отношений называют пропорцией. a : Ь = с : d или . Эти записи читают так: «Отношение a к b равно отношению c к d » или « a так относится к b , как c относится к d ». В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны. Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если все остальные члены известны .
Отношения и пропорции Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Схематически прямую пропорциональность можно записать так: «больше — больше» или «меньше — меньше ». Примерами прямой пропорциональности служит зависимость скорости от пройденного пути, стоимости от веса товара. Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Схематически обратную пропорциональность можно записать так: «больше —меньше» или «меньше — больше». Пример обратной пропорциональности: грузоподъемность одной машины и количество машин при перевозке одинакового объема груза.
Отношения и пропорции Масштаб. Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты. Масштаб 1: 100 000 значит, что в 1см карты умещается 100 000 см местности, или в одном сантиметре карты 1км местности
Отношения и пропорции Длина окружности и площадь круга. Установлено, что какой бы ни была окружность, отношение ее длины к диаметру является постоянным числом. Это число принято обозначать буквой π ( читается - "пи" ) . Обозначим длину окружности буквой , а ее диаметр буквой d и запишем формулу Число π приблизительно равно 3.14 Более точное его значение π = 3,1415926535897932 Исходя из формулы выше, выведем, чему равна окружность, если известен диаметр ( d ) Если известен радиус ( r ) , то формула длины окружности будет выглядеть так: Площадь круга вычисляется по формуле где: S — площадь круга, r — радиус
Отношения и пропорции Шар. Футбольный мяч, глобус, арбуз дают нам представление о шаре . Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с центром, называют радиусом шара . Отрезок, соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара . Диаметр шара равен двум радиусам. Поверхность шара называют сферой.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Числовые и Алгебраические выражения Числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий. Например: 28,74-3,5+3,26 Алгебраическим выражением называют запись, в которой вместо конкретных чисел употребляются буквы. Например: a+b =c
Дано числовое выражение: -12,3:6=-2,05 Число -2.05,называют значением числового выражения. Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выражения, можно придавать различные числовые значения, эти буквы называют переменными.
Что такое математический язык В математическом языке используют разные числа, буквы, знаки арифметических действий, иные символы. Например, на обычном языке говорят: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Как это записывается на математическом языке: a+b = b+a
Что такое математическая модель Математическая модель- это модель, данной реальной ситуации. Например: № Реальная ситуация Математическая модель 1 В классе девочек и мальчиков поровну. a=b 2 Девочек на 3 больше, чем мальчиков a=b+2 Или a-2=b 3 Если из класса уйдут четыре девочки, то мальчиков станет в 3 раза больше. b=3(a-4)
В процессе решения задач были четко выведены три этапа: 1)Составление математической модели. 2)Работа с математической моделью. 3)Ответ на вопрос задачи. Итак, мы научились составлять математические модели .
Линейное уравнение с одной переменной Линейным уравнением с одной переменной x называют уравнение вида ax+b = 0, где a и b - любые числа. Алгоритм решения линейного уравнения ax + b= 0 в случае, когда a не ровняется 0: 1)Преобразовать уравнение к виду ax=-b . 2) Записать корень уравнения в виде x=(-b) : a .
Координатная плоскость Проведём две взаимно перпендикулярные координатные прямые и будем считать началом отсчета на обеих прямых точку их пересечения- точку О. Тем самым на плоскости задана прямоугольная система координат. Алгоритм построения точки M( a;b ) в прямоугольной системе координат xOy 1)Построить прямую x=a . 2)Построить прямую y=b . 3)Найти точку пересечения построенных прямых –это и будет точка M( a;b ) .
Линейная функция и её график y= kx+m - Линейная функция. Графиком линейной функции y= kx + m является прямая. Если k< 0, то линейная функция убывает. X- независимая переменная(или аргумент), y- зависимая переменная.
Линейная функция y= kx Графиком линейной функции y= kx является прямая, проходящая через начало координат. Прямая служащая графиком линейной функции y= kx+m , параллельна прямой, служащей графиком линейной функции y= kx .
Взаимное расположение графиков линейных функций Пусть даны две линейные функции y= kx +m (1) и y= kx +m( 2 ) .Прямые(графики): 1)Параллельны, если k(1)=k(2) , m(1) не ровняется m(2); 2) Совпадают, если k(1)=k(2 ), m(1)=m(2); 3)Пересекаются, если k(1) не ровняется k(2) .
Метод подстановки 1)Выражаем одну из переменных через другую в одном из уравнений системы: Например, у через х во втором уравнении у=3х+9 2) Подставим выражение 3х+9 вместо у в первое уравнение 2х+3(3х+9)=5 1) Далее, решая полученное уравнение, находим х. 2х+9х+27=5 11х=-22 Х=-2; 4) Зная х , находим у=3·(-2)+9; у=3.
Метод алгебраического сложения
Что такое степень с натуральным показателем Выражение a(n) называют степенью, число a- основанием степени, число n -показателем степени. Степенью числа a с показателем 1 называют само это число.
Понятие одночлена Одночлен- алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, возведённых в степень с натуральными показателями. Примеры: 2 ab , 45 ay , xy , x , a . Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
Сложение и вычитание одночленов Подобные одночлены- два одночлена, у которых одинаковая буквенная часть. 2a и 9a; x и 56x . Алгоритм сложения одночленов: 1.Привести все одночлены к стандартному виду. 2.Убедиться,что все одночлены подобны. (если нет, тогда алгоритм не применяется) 3.Найти сумму коэффициентов подобных одночленов. 4.Записать ответ.
Многочлены Многочленом называют сумму одночленов. 1.Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.Например: 5a – 7a + 4a = 2a . ( Если перед скобками стоит знак +,то при раскрытии скобок надо знаки, стоящие в скобках, оставить без изменения. Например: 3x + (2a – y) = 3x + 2a – y. Если знак -, то знаки меняем на противоположные) Например: 3x - (2a – y) = 3x - 2a + y.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Числовые и алгебраические выражения Числовым выражением называют всякую запись, из чисел, знаков арифметических действий и скобок составленную со смыслом. Значение числового выражения – число , полученное в результате упрощения числового выражения: 4 + (6 – 3) : 2 — числовое выражение . Алгебраическим выражением (буквенным выражением) называется, запись, составленная из букв и знаков арифметических действий, также в нее могут входить числа и скобки. Как и числовое выражение алгебраическое должно быть составлено со смыслом. Значение алгебраического выражения – число, полученное в результате вычислений после замены в этом выражении букв числами: 2 ( m + n ) ; 3 a + 2 ab – 1 - a лгебраическое выражение. Найти значение выражения : 3a + 2ab -1 при а=2, b=3 ; а=-1, b=5 , Если a=2 , b= 3, тогда 3 · 2 + 2 · 2 · 3 – 1 =17 ; Если a =-1 , b = 5, тогда 3 ·(-1) + 2· (-1)· 5 – 1 = -14. Переменная — это буква, входящая в алгебраическое выражение, которая может принимать различные значения. В буквенном выражении (520 – x : 5) , буква x , вместо которой можно подставить различные числа, называется переменной. Если при конкретных значениях букв алгебраическое выражение имеет числовое значение,то указанные значения переменных называют допустимыми. Если при конкретных значениях букв алгебраическое выражение не имеет смысла ,то указанные значения переменных называют недопустимыми.
Математический язык . Математическая модель мат. яз. рус. яз. 2( a + b ) — удвоенная сумма двух чисел, a и b . мат.яз русс.яз a+b = b+a -От перемены мест слагаемых сумма не меняется. Мат.яз русс.яз а( b=c)= ab+ac - чтобы умножить число a на сумму чисел b и c ,надо число а умножить поочередно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Используя математический язык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся a девочек и b мальчиков, значит, всего учеников a + b . Эту запись a + b называют математической моделью данной реальной ситуации. Пример 1. У Миши x марок, а у Андрея в полтора раз больше. Если Миша отдаст Андрею 8 марок, то у Андрея станет марок вдвое больше, чем останется у Миши. Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: было у Миши х марок; у Андрея 1,5х . Стало у Миши х-8 , у Андрея 1,5х+8 . По условию задачи 1,5х+8=2(х-8). Пример 2. Во втором цехе работают x человек, в первом - в 4 раза больше, чем во втором, а в третьем - на 50 человек больше, чем во втором. Всего в трех цехах завода работают 470 человек. Математической моделью решения этой задачи являются следующие зависимости между исходными данными и результатом: во втором цехе работают x человек, в первом - 4х , а в третьем - х+50 . По условию х+4х+х+50=470. Виды математических моделей: Словесная ; алгебраическая ; графическая.
Линейное уравнение с одной переменной Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную ax+b =0 ,где a и b- любые числа(коэффициенты). Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Найти все корни уравнения или доказать, что их нет – это значит решить уравнение. Алгоритм решения уравнения ax+b =0 в случае , когда a ≠ 0 : Преобразовать уравнение к виду ax= -b. Записать корень уравнения в виде x=(-b) : a . Уравнение вида ax = b , называется линейным. Например: 3x = 9 ( ax = b ) 3x - 3 = 9 3x = 9 + 3 3x = 12 ( ax = b ) Свойство 1. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, получается уравнение с теми же корнями. x - 3 = 6 x = 6 + 3 x = 9 Свойство 2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получим уравнение с теми же корнями (решениями). 3x = 6 3x : 3 = 6 : 3 x = 2 Алгоритм решения уравнения ax+b = cx+d (a ≠ c) : Перенести все члены уравнения из правой части в левую с противоположными знаками. Привести в левой части подобные слагаемые,в результате чего получится уравнение вида Kx+m =0 ,где k ≠ 0 . Преобразовать уравнение к виду kx = -m b и записать его корень. a ≠ 0 b - любое значение ax = b имеет один корень x = b : a . a = 0 b ≠ 0 ax = b не имеет корней . a = 0 b = 0 ax = b имеет бесконечно много корней .
Координатная прямая Прямую l , на которой выбрана начальная точка O (начало отсчета), масштаб (единичный отрезок, т. е. отрезок, длина которого считается равной 1) и положительное направление, называют координатной прямой или координатной осью . Указанные числа называют координатами соответствующих точек. Открытый луч -множество точек(чисел) , обозначают ( a ;+ ∞ ),где знак + ∞ читают так: «плюс бесконечность»;оно характеризуется неравенством x > a( под x понимают любую точку луча). Луч -(«без прилагательного «открытый»),обозначают [ a ;+ ∞ ) . Множество точек (чисел) называют интервалом и обозначают (a ; b );оно характеризуется строгим двойным неравенством a < x < b. Если к интервалу ( a ; b) добавить его концы , т.е. точки a и b ,то получится отрезок [ a ; b ],который характеризуется нестрогим двойным неравенством a < = x < = b. Полуинтервал характеризуется с помощью двойных неравенств: a < = x < b- в первом, a < x < = b- во втором случаях. Сама координатная прямая также считается числовым промежутком; для нее используют обозначение (- ∞ ;+ ∞ ).
Координатная плоскость Координатная плоскость состоит из двух перпендикулярных прямых Xи Y, которые пересекаются в начале отсчета — точке О и на них обозначен единичный отрезок (смотрите рисунок). Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О — началом координат. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью. Пусть A — некоторая точка плоскости. Проведем через нее прямую МА, перпендикулярную координатной прямой X, и прямую LA, перпендикулярную координатной прямой Y. Так как точка M имеет координату 5, а точка L координату 4, то положение точки A определяется парой чисел (5, 4). Эту пару чисел называют координатами точки A. Число 5 называют абсциссой точки A, а число 4 называют ординатой точки A. Координатную прямую X называют осью абсцисс, а координатную прямую Y — осью ординат. Точку Aс абсциссой 5 и ординатой 4 обозначают так: A (5, 4). При этом всегда на первом месте пишут абсциссу точки, а на втором ее ординату. Если переставить координаты местами, то получится другая точка N (4; 5), которая показана на рисунке. Координатные углы-прямые углы ,образованные осями координат. Алгоритм построения точки М( a ; b) в прямоугольной системе координат xOy : Построить прямую x=a. Построить прямую y=b . Найти точку пересечения построенных прямых- это и будет точка М( a ; b). Алгоритм отыскивания координат точки М,заданной В системе координат xOy : Провести через точку М прямую , параллельную оси у, и найти координату точки пересечения этой прямой с осью x -это будет абсцисса точки М. 2.Провести через точку М прямую , параллельную оси x ,и найти координату точки пересечения этой прямой с осью y- это Будет ордината точки М.
Линейное уравнение с двумя переменными и его график линейное уравнение с двумя переменными x и y (или с двумя неизвестными x и y ) - где a , b , c — числа, причем a ≠ 0, b ≠ 0: ax+by+c =0. решением уравнения ax + by + c = 0 называют всякую пару чисел ( x ; y ), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ax + by + c = 0 в верное числовое равенство. Таких решений бесконечно много. Если хотя бы один из коэффициентов a , b линейного уравнения ax+by+c =0 отличен от нуля,то графиком уравнения является прямая линия. . Алгоритм построения графика уравнения ax + by + c = 0,где a ≠ 0 , b ≠ 0 : Придать переменной x конкретное значение х = x 1 ; найти из уравнения ax 1 + by + c = 0 соответствующее значение y: y = y 1 . Придать переменной x другое значение x = x 2 найти из уравнения ax 2 + by + c = 0 соответствующее значение y: y = y 2 . Построить на координатной плоскости xOy две точки (x 1 ; y 1 ) и (x 2 ; y 2 ). Провести через эти две точки прямую — она и будет графиком уравнения ax + by + c = 0. Система уравнений . Пример: Этапы: Первый . Составление математической модели. Второй . Работа с составленной моделью. Третий . Ответ на вопрос задачи.
Линейная функция и е график Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , где k и b — заданные числа. Например, у = 2х – 3, а=2, b=-3. Независимая переменная(или аргумент)- x ,зависимая переменная- y. График линейной функции – всегда прямая линия. Или наоборот: любая прямая координатной плоскости, за исключением вертикальных прямых, может быть графиком линейной функции. Чтобы построить график функции y=1 / 3x+2 , удобно взять x=0 и x=3 , тогда ординаты этих точек будут равны y=2 и y=3 .Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y=1 / 3x+2 . Если k > 0, то линейная функция y = kx + m возрастает . Если k < 0, то линейная функция y = kx + m убывает.
Линейная функция y = kx Графиком линейной функции y= kx является прямая , проходящая через начало координат. Угловой коэффициент-коэффициент k в записи y= kx . График линейной функции является прямой. Его можно построить несколькими способами: По двум точкам . Выберем произвольные (удобные для построения) значения абсцисс x 1 и x 2 , найдем соответствующие им ординаты y 1 = kx 1 + b , y 2 = kx 2 + b . Построим на координатной плоскости точки (x 1 ; y 1 ) , (x 2 ; y 2 ) и проведем через них прямую. Это и будет искомый график. По пересечениям с осями . Решим уравнение y = kx + b , подставив в него сначала x 1 = 0 , а затем y 2 = 0 . Получим две точки (0; y 1 ), (x 2 ; 0) . Построим их на координатной плоскости и проведем через них прямую. По угловому коэффициенту . Построим на координатной плоскости произвольную точку прямой. Проведем через эту точку прямую, образующую с осью OX угол, тангенс которого равен k .
Взаимное расположение графиков линейных функций Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух (или более) линейных функций различны, а коэффициенты b одинаковы, то прямые пересекаются в одной точке с координатой (0; b ). Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций равны, то прямые ПАРАЛЛЕЛЬНЫ . Если к > 0, то угол наклона прямой у = кх+ b к оси ОХ – острый. Если к < 0, то угол наклона прямой у = кх + b к оси ОХ – тупой. Пусть даны две линейные функции y=K1x+m1 и y=K2x+m2. Прямые , служащие графиками заданных линейных функций: Параллельны , если K1=K2 , m1 ≠ m2 ; Совпадают , если K1=K2 , m1=m2 ; Пересекаются , если K1 ≠ K2. х 0 у 0 у у у 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 у 0 у у у Если k<0 Если k>0
Основные понятия . Метод подстановки Система уравнений - заданные уравнения , одновременно удовлетворяющие и тому,и другому уравнению. Пару значений( x ; y) .которая одновременно является решением и первого,и второго уравнений системы, называют решением системы. Решить систему-это значит найти все её решения или установить , что их нет. Решить графически систему уравнений : Первое линейное уравнение представим в виде функции y=x-3,5 . Функция линейная, поэтому для построения графика, а графиком является прямая, необходимы координаты двух точек :(4;0,5) , (1,5;-2). Второе уравнение: графиком функции y= 1,5-1,5х является прямая, проходящая через точки (1;0) , (-1;3). Построим графики двух функции на одной координатной плоскости: Точка пересечения данных график – это решение системы уравнений . Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными Методом подстановки: Выразить y через x из первого уравнения системы. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо y во второе уравнение системы. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно x . Подставить найденное на третьем шаге значение x в выражение y через x ,полученное на первом шаге. Записать ответ в виде пары значений ( x ; y ).которые были найдены Соответственно на третьем и четвертом шагах.
Метод алгебраического сложения Ввести решение систем методом алгебраического решения с помощью решения системы уравнения: Данную систему уравнений можно решить таким способом: Сначала избавиться от переменной y , для этого надо сложить два уравнения системы . 2х+4х- y+y =5+25; 6х=30; Х=5. Затем из любого уравнения надо выразить другую переменную y : y=25-4x=25-4*5=25-20=5. Ответ: (5; 5). Алгоритм решения системы уравнений методом алгебраического решения: Привести два уравнения системы к одинаковым по модулю коэффициентам при переменной x или при переменной y . Если коэффициенты одинаковые, то из одного уравнения вычесть другое. Если же коэффициенты противоположные по значению, то уравнения системы складываются. Решить полученное уравнение относительно одной переменной и найти значение одной из переменных системы. Выразить из одного из уравнений системы неизвестную переменную. Подставить известное значение и найти значение второй переменной. Записать ответ.
Системы двух линейных уравнений с двумя переменными как математические модели реальных ситуаций Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными способом подстановки, нужно: из одного уравнения системы ( всё равно из какой) выразить одно неизвестное через другое, например у через х . полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным х . решить это уравнение, найти значение х . подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у . Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными способом алгебраического сложения, нужно: уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных. Складывая и вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное. Подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное. Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными графическим способом, нужно: Построить графики каждого из уравнений системы. Найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются)
Степень с натуральным показателем Определением обычно называют предложение , разъясняющее суть нового термина , нового слова , нового обозначения. Степенью числа m с натуральным показателем n , большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен m : В выражении m n : число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени . число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени . Например: 2 5 = 2·2·2·2·2 = 32, здесь: 2 – основание степени, 5 – показатель степени, 32 – значение степени . Операцию отыскивания степени m n называют возведением в степень .
Таблица основных степеней 2 1 = 2 3 1 = 3 5 1 = 5 7 1 = 7 2 2 = 4 3 2 = 9 5 2 = 25 7 2 = 49 2 3 = 8 3 3 = 27 5 3 = 125 7 3 = 343 2 4 = 16 3 4 = 81 5 4 = 625 2 5 = 32 3 5 = 243 2 6 = 64 3 6 = 729 2 7 = 128 2 8 = 256 2 9 = 512 2 1 0 = 1024 1 n = 1 для любого n ; 0 n = 0 для любого n ; если n -четное число ( n =2,4,6,8,…),то (-1) n = 1; если n -нечетное число ( n =1,3,5,7,…),то (-1) n = -1. (-1) 2 K = 1 ; (-1) 2 K -1 = - 1 .
Свойства степени с натуральным , нулевым показателями . Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются: a m · a n = a m + n Пример: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7+( - 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются: a m / a n = a m — n , где, m > n , a ≠ 0 Пример: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6 3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются: (a m ) n = a m · n Пример: (2 3 ) 2 = 2 3·2 = 2 6 4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель: (a · b) n =a n · b m Пример: (2·3) 3 = 2 n · 3 m 5.При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель: (a / b) n = a n / b n , b ≠ 0 Пример: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3 Если a ≠ 0 ,то a=1 ;0 n = 0.
Понятие одночлена . стандартный вид одночлена Одночленом называют алгебраическое выражение , которое представляет собой произведение чисел и переменных , возведенных в степень с натуральным показателями. Примеры одночленов: abc , (-4) a 3 ab , 2,5 x у Одночлены, которые содержат только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с различными буквенными основаниями, называют одночленами стандартного вида . Примеры: 3,5 abc , -5ху 3 Чтобы привести одночлен к стандартному виду , нужно: Перемножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место; Перемножить все имеющиеся степени с одним буквенным основанием; Перемножить все имеющиеся степени с другим буквенным основанием и т.д. Числовой множитель одночлена , записанного в стандартном виде , называют коэффициентом одночлена.
Сложение и вычитание одночленов Два одночлена , состоящие из одних и тех же переменных , каждая из которых входит в оба одночлена в одинаковых степенях , называют подобными одночленами. Пример: 2а и 5а Алгоритм сложения одночленов: Привести все одночлены к стандартному виду. Убедиться , что все одночлены подобны ; если же они не подобны , то алгоритм далее не применяется. Найти сумму коэффициентов подобных одночленов. Записать ответ : одночлен , подобный данным , с коэффициентом , полученным на третьем шаге.
Умножение одночленов . возведение одночлена в натуральную степень Примеры: 7х 2 * 5x 2 * 6x 3 =210x 7 71х 2 y 3 z 8 * 2xyz = 142x 2 y 4 z 9 -b 3 * 0.5b 2 = - 0.5b 2 -13m 2 n 2 p 3 * (-2mn 2 p) = 26m 3 n 4 p 4 (-0.2c 3 d) 4 = -0.2 4 (c 3 ) 4 d 4 = 0.0016c 12 d 4 (-10x 2 y 4 ) = -10 5 (x 2 ) 5 (y 4 ) 5 = -100000x 10 y 20 -(-2ax 3 y 2 ) 4 = -2 4 a 4 (x 3 ) 4 (y 2 ) 4 = -16a 4 x 12 y 8
Деление одночлена на одночлен Первое наблюдение . В делителе не должно быть переменных, которых нет в делимом. Второе наблюдение . Если в делимом и делителе есть одна и та же переменная , причём в делимом она возводится в степень n ,а в делителе – в степень k ,то число k не должно быть больше числа n. Третье наблюдение. Коэффициенты делимого и делителя могут быть любыми. Примеры: 64х 5 y 6 z 3 : 4 x 3 y 2 z = (64 :4) * ( x 5 : x 3 ) * (y 6 : y 2 ) (z 3 : z )=16 x 2 y 4 z 2 -15z 8 : z 8 = -15 -100 cd : (20 cd ) = -5 -42cdm : (12c)= -3.5 dm
Основные понятия Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Пример многочленов:0.3 p 3 + 13p-1 Слагаемые , из которых состоит многочлен , называют членами многочлена : если их два , то говорят , что дан двучлен(2 b + a ),если их три , то говорят , что дан трёхчлен(5 a 2 - 2cd 2 +7c ). Приведение подобных членов - подобные одночлены в многочлены не переводятся , их одинаково подчеркивают , а потом складывают. Если в многочлене все члены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то говорят , что многочлен приведен к стандартному виду. Пример: 1.2c 5 +2.8c 5 -4c 5 =0
Сложение и вычитание многочленов Примеры: p(a ; b)=p1( ab )+p2(a ; b) p1(a ; b)=a+3b ; p2(a ; b)=3a-3b . p(a ; b)=a+3b+3a-3b=4a . p(y)=p1(y)-p2(y) p1(y)=2y 3 +8y-11 ; p2(y)=3y 3 -6y+3 . p(y)=(2y 3 -8y-11)-(3y 3 -6y+3)=2y 3 +8y-11-3y 3 +6y-3= -y 3 +14y-14. Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочленов в виде многочлена стандартного вида , нужно раскрыть скобки и привести подобные члены . При этом если перед скобкой стоит знак «+»,то при раскрытии скобок надо знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , оставить без изменения . Если же перед скобкой стоит знак «-»,то при раскрытии скобок нужно знаки , стоящие перед слагаемыми в скобках , заменить на противоположные («+» на «-», «-» на «+» ).
Умножение многочлена на одночлен Чтобы умножить многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить. Примеры: 5x(2x-3)-2.5x(4x-2) при x= -0.01. 5x(2x-30-2.5x(4x-2)=10x 2 -15 x-10x 2 +5x= -10x , Если х = -0.01,то -10 *(-0.01)=0.1. 3( x-1)-2(3-7x)=2(x-1) ; 3x-3-6+14x=2x-4 ; 17x-9=2x-4 ; 17x-2x= -4+9 ; 15x=5 ; x=1/3.
Умножение многочлена на многочлен Чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Примеры: ( x+1)(x+2)=x 2 +2x+x+2=x 2 +3x+2 ; (3a+5)(3a-6)+30=9a 2 -18a+15a-30+30=9a 2 - 3a ; X(x-3)+(x+1)(x+4)=x 2 -3x+x 2 +4x+x+4=2x+2x 2 +4 ; (2a+3b)(4a 2 -6ab+9b 2 )=8a 3 -12a 2 b+18ab 2 +12a 2 b-18ab+27b 3 ; (a-1)(a-2)-(a-5)(a+3) при a= -8 , ( a 2 -2a-a+3)-(a 2 +3a-5a-15)=a 2 -2a-a+3-a 2 -3a+5a+15= - a+17. Если a = -8,то – (-8)=17=25.
Формулы сокращённого умножения 1.Квадрат суммы: (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение. Пример: (3 a+4) 2 = (3a+4)(3a+4)=9a 2 +12a+12a+16=9a 2 +24a+16. 2. Квадрат разности: (a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 квадрат разности двух выражений равен сумме их квадратов минс их удвоенное произведение. Пример: (6 x-3) 2 =(6x-7)(6x-7)=36x 2 -18x-18x+9=36x 2 -36x+9 . 3. Разность квадратов: ( a – b )(a + b ) = a 2 – b 2 разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность.
Формулы сокращённого умножения 4.Разность кубов: a 3 - b 3 = ( a - b )(a 2 + ab + b 2 ) . разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы. Пример: (2a-3x)(4a 2 +6ax+9x 2 )=8a 3 -27x 3 . 5. Сумма кубов: a 3 + b 3 = ( a + b )(a 2 – ab + b 2 ) . сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Пример: (5 m+3n)(25m 2 -15mn+9n 2 )=125m 3 +27n 3 . 6.Кубов сумма : ( a+b ) 3 =( a+b )( a+b )( a+b )=( a+b ) 2 ( a+b )=(a 2 +2ab+b 2 ) *( a+b )= a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 . 7. Кубов разность : ( a-b) 3 =(a-b)(a-b)(a-b)=(a-b) 2 (a-b)=(a 2 -2ab+b 2 ) * (a-b)= a 3 -2a 2 b+ab 2 -a 2 b+2ab 2 -b 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 .
Деление многочлена на одночлен Чтобы разделить многочлен на одночлен , нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить. Примеры: (12 a+8) : 4=(12a : 4)+(8 : 4)=3a+2 ; (44y+22) : 11=(44y : 11)+(22 : 11)=4y+2 ; (3x 2 y-4xy 2 ) : (5xy)=(3x 2 y : 5xy)+(-4xy 2 5xy)=3/5x-4/5y=0.6x-0 . 8y ; (-m- mn ) : m=(-m) : m))+(- mn ) : m))= -1-n ; (54d+36) : (-18)=(54d : (-18)+(36 : (-18)= -3d-2 ; (c 2 -2cd) : c=(c 2 : c)+(-2cd) : c))=c -2d . ( a 2 +3ab) : a=(a 2 : a)+(3ab : a)=a+3b.
Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно Разложение многочлена на множители - представление в виде произведения более простых многочленов. Примеры: 80=10*2*4; a 4 b 2 c 3 =a * a * a * a * b * b * c * c * c ; 12 a b=6a*2b ; a b-a b=(a-b)*b ; 6x-12xy=6x(1-2y) ; a 2 - b 2 =(a-b)( a+b ) ; 25x 3 -9y 2 (5x-3y)(5x+3y) ; a 2 +2ab+b 2 =( a+b ) 2 ; 64x 2 +112xa+49a 2 =(8x+7a) 2 . x (x+2)=0 ; x =0 или ( x +2) =0 ; x =0, x= -2. Ответ:0,-2.
Вынесение общего множителя за скобки Если произведение удалось составить , то говорят , что многочлен разложен на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки. Примеры: 3 x( a+b )+y( a+b )=( a+b )(3x+y) ; 15 x 3 y 2 +10 x 2 y -20 x 2 y 3 =5 x 2 y ( 3xy+2-4y 2 ) ; 15с( a+b )+8( b+a )=( a+b )(15c+8) ; 4( p-q)-a(q-p)=4(p-q)+a(p-q)=(p-q)(4+a) ; (x-y) 2 -a(x-y)=(x-y)(x-y-a) ; a (b-c)+ 3(c-b)=a*b-c)-3(b-c)=(b-c)(a-3) ; 195c 6 p 5 -91c 5 p 6 +221c 3 p 10 =13c 3 p 5 (15c 3 -7c 2 p+17p 5 ). x 2 -3x=0 ; x ( x -3)=0; x =0 или x -3=0; x =0 , x =3. Ответ:0;3.
Вынесение общего множителя за скобки Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов: Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов , входящих в многочлен,-он и будет общим числовым множителем(разумеется , это относится только к случаю целочисленных коэффициентов). Найти переменные , которые входят в каждый член многочлена , и выбрать для каждой из них наименьший(из имеющихся)показатель степени. Произведение коэффициента , найденного на первом шаге , и степеней , найденных на втором шаге , является общим множителем , который целесообразно вынести за скобки.
Способ группировки Примеры: 3a+3+na+n=(3a+3)+( na+n )=3(a+1)+n(a+1)=(a+1)(3+n) ; 7km-6k-14n+12=(-6k+12)(-14n+7km)= -6(k-2)-7n(2-k)= -6(k-2)+7n(k-2)=(k-2)(7n-6) ; a x+3x+4a+12=(ax+3[)+(4a+12)=x(a+3)+4(a+3)=(a+3)(x+4) ; 9m 2 -9mn-5m+5n=(9m 2 -9mn)+(-5m+5n)=9m(m-n)-5(m-n)=(m-n)(9m-5) . X+2x 2 +3x+6=0 ; (x+2x 2 )+(3x+6)=0 ; x 2 (x+2)+3(x+2)=0 ; (x+2)(x 2 +3)=0 ; x +2=0 или x 2 +3=0; x = -2 или x 2 = -3. Ответ:-2.
Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения ( a – b )(a + b ) = a 2 – b 2 a 3 - b 3 = ( a - b )(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = ( a + b )(a 2 – ab + b 2 ) (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Примеры: X 2 -196=(x-14)(x+14) ; 64a 3 +1=(4a) 3 +1=(4a+1)(16a 2 -4a-1) ; a 3 b 3 -1=(ab-1)(a 2 b 2 +ab+1) ; 8+c 3 d 3 =(2+cd0(4-2cd+d 2 ) ; 144a 4 -625c 2 =(12a 2 -25c) 2 (12a 2 +25c ) .
Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приёмов Примеры: x 3 -81x=x(x 2 -81)=x(x-9)(x+9) ; 5a 2 +10ab+5b 2 =5(a 2 +2ab+b 2 )=5( a+b ) 2 ; 2x 2 +4x+2=2(x 2 +2x+1)=2(x+1) 2 ; c 3 -0.25с=с(с 2 -0.25) =с (с-0.5)(с+0.5); -3x 2 +12x-12= -3(x 2 -4x+4)= -3(x-2) 2 ; 3y 3 -300y=3y(y 2 -100)=y(y-10)(y+10) ; 0.04 s - sa 2 = s ( 0.04 - a 2 )= s (0 . 2- a )(0 . 2+ a ) .
Сокращение алгебраических дробей Алгебраической дробью называют отношение двух многочленов P и Q. При этом используют запись P/Q ,где P- числитель, Q -знаменатель алгебраической дроби. Примеры: -3 a 2 b/-9a 3 =b/3a ; 2a( x+y )/8a( x+y )(x-y)=1/4(x-y) ; ma+a /-mc-c=a(m+1)/-c(m+1)= -a/b ; 30p 2 q 3 /48p 3 q 3 =30/48p=10/16p=5/8p ; 13 x 3 y 4 z 5 (c-d)/26xy 5 z 7 (d-c)=13x 3 y 4 z 5 (c-d)/-26xy 5 z 7 (c-d)= -x 2 /2yz 2 ; ( y-8) 10 /(y-8) 8 =(y-8) 2 ; pq 4 -cq 4 / cq 3 - pq 3 =q 4 (p-c)/q 3 (c-p)= -q 4 (p-c)/q 3 (p-c)= -q ; a 3 -8/ a 2 +2 a +4 = ( a -2)( a 2 +2 a +4)/ a 2 +2 a +4= a -2.
тождества Тождество -это равенство , верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных. Левую и правую части тождества называют выражениями , тождественно равными друг другу. Всякую замену одного выражения другим , тождественно равным ему , называют тождественным преобразованием выражения. Примеры: 12 y-(25-(6y-11))=18(y-2) ; 12y-(25-6y+11)=18y-36 ; 12y-25+6y-11=18y-36 ; 18y-36=18y-36. Тождество верно. x 2 -9x+20=(x-4)(x-5) ; x 2 -4x-5x+20=(x-4)(x-5) ; x (x-4)-5(x-4)=(x-4)(x-5) ; (x-4)(x-5). Тождество верно.
Функция y=x 2 и её график Ось y является остью симметрии параболы y=x 2 . Ось симметрии как бы разрезает параболу на две части , которые обычно называют ветвями параболы. У параболы есть особая точка, в которой смыкаются обе ветви и которая лежит на оси симметрии параболы- точка(0;0)-называется вершина параболы. y =0 ,при x =0 y > 0 ,при x > 0 , x < 0 Y наим =0 Y наиб = 0 Возрастает на луче [0;+ ∞ ] Убывает [- ∞ ;0]
Графическое решение уравнений x 2 =2x ; y=x 2 – парабола(ветви вверх) y=2x- прямая x=0 , y=0 ; x=1 , y=2. Ответ:(0;0) , (2;4).
Запись y=f(x) y =f(x) , где f(x)= -x 2 . F(-10)= -100 -f(10)-1=100-1=99 F(8)+1= -63 F(6)+f(8)= -36+(-64)= -100 ; F(-a)= -a 2 -f(a)=a 2 f(5a)= -25a 2 -5f(a)=5a 2 ; F(-x 3 )= -x 6 f(2x 2 )= -4x 6 f(2x 3 )= -64x 6 -2f(x 3 )=2x 6 .
Конец
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Сладость для сердца
Хитрость Дидоны
Сторож
Огонь фламенко
Никто меня не любит