Исследовательская работа "Задачи на числа"

Содержание:

1) Аннотация……………………………………………………………………………………………3

2) План исследования……….…………………………………………………………………………4

3) Описание работы……………………………………………………………………………………6

§1.Делимость натуральных чисел……………………………………………………………..............6

§2.Признаки делимости………………………………………………………………………………..8

§3.Десятичная форма записи числа………………………………………………………………….12

§4.Деление натуральных чисел с остатком…………………………………………………………13

§ 5.Задачи с целочисленными неизвестными………………………………………………………15

4) Список литературы……………………………………………………………………………...…20

Тема «Задачи на числа».

Максакова Д. В., Забайкальский край, п. Карымское, МОУ «Средняя общеобразовательная школа-интернат №5 пос. Карымское», 9 класс.

Аннотация.

      Тема моей исследовательской работы «Задачи на числа». Конечным результатом моей работы является выявление новых приемов, методов в работе с числами.

      Установление связи между признаками делимости и записи числа в десятичной системе счисления, задачами на целочисленные неизвестные и системами линейных неравенств, а также анализ квадратичной функции при решении задач на нахождение наибольших и наименьших некоторых величин. Уточнение свойств делимости натуральных чисел и разработка системы задач для проверки знаний учащихся по теме, которую я исследовала.

     Для этого мне пришлось обобщить знания о натуральных числах: деление с остатком и без остатка, простые и составные числа, признаки и свойства делимости натуральных чисел, запись числа в десятичной системе счисления. Разобрать признаки делимости на 11 и 7, рассматривать доказательства этих признаков, изучить новые формулы разложения на множители, а так же неизученные свойства делимости натуральных чисел.

     При выполнении работы мне приходилось сравнивать различные методы решения задач на числа, переходить от общего метода решения к частному, и наоборот. Все выдвинутые гипотезы и утверждения были доказаны, аргументированы. Вся информация обобщена, собрана из различных источников. В связи с этим можно выделить следующие методы исследовательской деятельности: эмпирические, теоретическое и логическое исследование, репродуктивные и эвристические.

    В результате выполнения моего исследования я выяснила, что задачи на числа делятся на различные виды, каждый тип задач предполагает знание многих свойств, методов, определений некоторых математических понятий. Многие из них не изучаются в школьном курсе алгебры; среди задач на числа есть задачи высокого уровня сложности; некоторые задачи на числа решаются с помощью неравенств и построения графиков элементарных функций.  

Тема «Задачи на числа».

Максакова Д. В., Забайкальский край, п. Карымское, МОУ «Средняя общеобразовательная школа-интернат №5 пос. Карымское», 9 класс.

План исследования.

    Понятия, связанные с числами изучаются в школе, начиная с 5-6 класса, и в старших классах уже забываются. Кроме того, по данной теме встречаются остаточно сложные задачи, особенно связанные с делимостью натуральных чисел. Такие задачи, как правило, присутствуют в вариантах олимпиадных заданий. Основной причиной, по которой я выбрала эту тему, является то, что на уроках математики этому материалу уделяется мало времени. При исследовании я столкнулась с большим множеством задач по этой теме, изучила много дополнительного материала, это было основной проблемой при исследовании. Итак, объектная область, в которой я проводила исследования – это алгебра, а решение поставленных задач – объект моей исследовательской работы. Среди всех текстовых задач я выбрала задачи на числа – это и есть предмет моего исследования.

     Т.к. при решении задач на числа используется довольно обширный материал, связанный с натуральными числами, неравенствами, построением графиков элементарных функций и при условии, что на уроках математики этому уделяется мало времени, считаю тему актуальной для исследования.

      Свою работу я разбила  на пять параграфов, в каждом из них я рассмотрела разные методы и приемы решения.

      В первом параграфе я подробно обобщила изученные и изучила новые свойства делимости, для этого я использовала учебник А. Г. Мордковича (профильный курс) за 10 класс. Так же, решая задачи, выяснилось, что необходимо знать дополнительные формулы для разложения на множители, этот материал я взяла из учебника А. Г. Мордковича (профильный курс) за 11 класс. Задачи, на свойства делимости, были взяты из задачника того же автора, а так же из других источников. Признаки делимости, взаимно простые числа, НОК и НОД двух чисел, простые и составные числа, а так же основную теорему арифметики о том, что каждое натуральное число раскладывается в произведение степеней простых множителей n= и следствие из этой теоремы о том, что число делителей числа n, включая 1 и само число, равно произведению (k1+1)(k2+1) … (k3+1), я рассмотрела во втором параграфе. Задачи, связанные с этими понятиями, я брала из журналов «Математика», учебника А. Н. Рурукина «Интенсив», а также из вариантов районных олимпиадных заданий по математике.        Стоит заметить, что задачи на выяснение вопроса является ли данное число простым или составным, достаточно сложные, а понятие взаимно простых чисел позволяет более эффективно использовать признаки делимости. Третий параграф посвящен задачам, где предполагается  представление числа в десятичной системе счисления, при решении задач на числа эта форма записи используется очень часто, используя такую форму записи числа, легко доказывается, например, признаки делимости чисел, а также другие задачи, в том числе с использованием приема введения новой неизвестной. Задачи к этому параграфу были подобраны из различных источников, в том числе из «Факультативного курса по математике» И. Ф. Шарыгина. В четвертом параграфе я рассмотрела деление с остатком и свойства на деление с остатком. Запись деления числа с остатком позволяет эффективно решать задачи, связанные с делимостью чисел. Такие задачи очень часто используются на олимпиадах по математике.

     К задачам на числа относятся задачи с целочисленными неизвестными, этим задачам я посвятила пятый параграф моей работы. Стоит заметить, что при решении таких задач применяется графическая иллюстрация, решения систем линейных неравенств, целочисленность решения играет определенную роль при решении таких задач. Достаточно часто задачи на числа связаны с нахождением наибольших и наименьших значений некоторых величин, как правило, эти значения могут быть найдены при анализе квадратичной функции. Такие задачи я тоже рассматривала в этом параграфе.

     Изучив материал, я составила группу задач по разному уровню сложности, с помощью которых легко проверить знания учащихся по данной теме, эта группа задач находится в приложении к работе.

Тема «Задачи на числа».

Максакова Д. В., Забайкальский край, п. Карымское, МОУ «Средняя общеобразовательная школа-интернат №5 пос. Карымское», 9 класс.

Описание работы.

§1.Делимость натуральных чисел.

  Натуральные числа-числа, используемые для счета предметов, т.е. числа 1,2,3…

 Рассмотрим делимость натуральных чисел. Если для натуральных чисел а и b существует натуральное число d такое, что выполняется равенство а=b∙d, то говорят, что число а делится на число b.

        b-делитель а и а кратно b

        d-делитель а и а кратно d        

        а b «а делится на в»

Свойство 1: Если а с и с b, то а b.

                      48 6 и 6 3,то 48 3.

Свойство 2: Если а b и с b, то (а+с) b.

                       12 3 и 21 3,то(12+21) 3.

Свойство 3: Если а b и с не делится на b, то (а+с) не делится на b.

                      12 3 и 22 не делится на 3,то (12+22) не делится на 3.

Свойство 4: Если а b и (а+с)  b, то с b.

                       12 3 и (12+21)  3,то 21 3.

Свойство 5: Если а b1,и с b2,то а∙с  b1∙b2.

                      12 3 и 28 7,то (12∙28)  (3∙7).

Свойство 6: Если а b и с - натуральное число, то ас bс, если ас bс, то а b.

                      12 3,5-натуральное число, тогда (12∙5)  (3∙5).

Свойство 7: Если а b и с-натуральное число, то ас b

                       12 3 и 5-натуральное число, то (12∙5)  3

Свойство 8:Если а b и с b, то для натуральных чисел n и k справедливо (an+ck) b.

                        12 3 и 21 3,тогда(25∙12+271∙21) 3

Свойство 9:Среди n последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на n.

 При решении задач на доказательства делимости чисел часто приходится пользоваться приемами разложения на множители. Некоторые из них изучаются на базовом уровне школьного курса алгебры:

1. Вынесение общего множителя за скобку.
2. Способ группировки.
3. Использование формул сокращенного умножения.

Из курса 7 класса известны 5 формул:

1. (a-b)(a+b)=a²-b²
2. (a+b)²=a²+2ab+b²
3. (a-b)²=a²-2ab+b²
4. (a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
5. (a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³

 Рассмотрим еще несколько формул, которые могут нам понадобиться при решении задач:

xⁿ-yⁿ=(x-y)∙(xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²·y+xⁿ⁻³·y²+…+x²·yⁿ⁻³+x·yⁿ⁻²+yⁿ⁻¹), nΝ.

 Знакомые формулы 1), 4), 5) являются частными случаями этой формулы, рассмотрим еще несколько случаев:

x⁵−y⁵=(x- y) ∙(x⁴+x³·y+x²·y²+x·y³+y⁴)

x⁶−y⁶=(x-y) ∙(x⁵+x⁴·y+x³·y²+x²·y³+x·y⁴+y⁵)

и т.д.

x²ⁿ⁺¹+y²ⁿ⁺¹=(x+y) ∙ ( x²ⁿ-x²ⁿ⁻¹·y+ x²ⁿ⁻²·y²- x²ⁿ⁻³·y³+…x²·y²ⁿ⁻²−x·y²ⁿ⁻¹+y²ⁿ)

x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)

x⁵+y⁵=(x+y)(x⁴-x³·y+x²·y²-x·y³+y⁴)

и т.д.

(x₁+x₂+x₃+…xn-1+xn)2=x12+x22+x32+ …x2n-1+xn2+2(x1x2+x1x3+…x1xn+x2x3+…xn-1xn)

(x+y+z+h)2=x2+y2+z2+h2+2(xy+xz+xh+yz+yh+zh)

4. Квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители:

ax2+bx+c=a(x-x1) (x-x2), где x1, x2 – корни квадратного уравнения.

Пример1. Докажите, что для любого натурального числа n число n5-5n3+4n делится на 2,3,4,5,8.

Решение. n5-5n3+4n=n(n4-5n2+4)=n(n4-n2-4n2+4)=n(n2(n2-1)-4(n2-1)=n(n2-1)(n2-4)=n(n-

-1)(n+1)(n-2)(n+2).

 Рассмотрим полученное произведение:

 При n=1;2 оно обращается в 0,следовательно, делится на любое натуральное число, в том числе и на 2,3,4,5,8.Если n>2,то имеем произведение пяти последовательных натуральных чисел:

n-2 ;n-1;n; n+1; n+2,по свойству 9 одно из них делится на 5,хотя бы одно- на 4,и кроме того, есть еще хотя бы одно четное число. Тогда по свойствам 5 и 7,произведение этих пяти чисел делится на 2,3,4,5 и на произведение чисел 2 и 4,т.е.8(а также на 12,15,20,10,6).

Пример 2.Докажите, что 723+343 делится на 106.

Решение. Т.к. а3+b3=(а+b) (а2-аb+b2),то(72+34)(722-72·34+342)=106∙(722-72·34+342),т.е. наше число а представлено в виде а=b∙d,т.е. кратно b, следовательно, делится на 106.

Пример 3.Докажите, что(13+23+33+…+1813+1823)делится на 183.

Решение. Сгруппируем числа в пары:(13+1823)+(23+1813)+(33+1803)+…+(913+923),каждая пара разлаживается на множители, один из которых 183,т.е. в нашей сумме есть, по крайней мере, один известный множитель:183,т.е. наша сумма делится на 183 нацело.

Пример 4.Докажите, что при любом натуральном числе n выражение N=n3-n делится на 6.

Решение. Разложим на множители:n(n2-1)=n(n-1)(n+1).Расставим в порядке возрастания (n-1)n(n+1),множители представляют три последовательных натуральных числа, при n=1 произведение равно 0,т.е. делится на любое натуральное число, в том числе и 6; при n>2 имеем произведение трех последовательных натуральных чисел и по свойству 9 одно из них делится на 3, хотя бы одно на 2,а значит, по свойству 5 оно делится на 6.

Пример 5. Натуральные числа a,b,c таковы, что a2+b2+c2=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2. Докажите, что числа ab+bc+ac, ab, ac, bc– полные квадраты.

Решение. a2+b2+c2=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2; 2ab+2bc+2ac=a2+b2+c2;2ab+2bc+2ac=a2+b2+c2+2ab+2bc+ 2ac-2ab-2bc-2ac;4(ab+bc+ac)=(a+b+c)2; ab+bc+ac=((a+b+c)/2)2, т.е. ab+bc+ac - полный квадрат.

a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc=0.

c2+ (a-b)2-2c(a+b)=0.

c2-2(a+b)c+(a-b)2=0.

D=4(a+b) 2-4(a-b) 2=16ab=42ab.

c1, c2 – корни квадратного уравнения, но с – натуральное число, следовательно D – полный квадрат, т.е. ab – полный квадрат. Аналогично с bc и  ac.

§2.Признаки делимости.

1)Признак делимости на 2.Для того, чтобы натуральное число делилось на 2,необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2.

 Если число делится на 2, то его называют четным, если число не делится на 2, то его называют нечетным.

2)Признак делимости на 5.Для того, чтобы натуральное число делилось на 5,необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5(т.е. цифра единиц либо 0,либо 5).

3)Признак делимости на 10.Для того, чтобы натуральное число делилось на 10,необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0.

4)Признак делимости на 4.Для того, чтобы натуральное число р, содержащее не менее трех цифр, делилось на 4,необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами числа р.

5)Признак делимости на 25.Для того, чтобы натуральное число р, содержащее не менее трех цифр, делилось на 25,необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами числа р.

6)Признак делимости на 8.Для того, чтобы натуральное число р, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 8,необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами числа р.

7)Признак делимости на 125.Для того, чтобы натуральное число р, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 125,необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами числа р.

8)Признак делимости на 3.Для того, чтобы натуральное число р делилось на 3,необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

9)Признак делимости на 9.Для того, чтобы натуральное число р делилось на 9,необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

10)Признак делимости на 11.Для того, чтобы натуральное число р делилось на 11,необходимо и достаточно, чтобы  алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «плюс»,если цифры находятся на нечетных местах(начиная с цифры единиц),и взятых со знаком «минус»,если цифры находятся на четных местах, делилась на 11.

11)Признак делимости на 7(на 13).Для того, чтобы натуральное число р делилось на 7(на 13),необходимо и достаточно, чтобы  алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры в грани(начиная с цифры единиц),взятых со знаком «плюс» для нечетных граней, и со знаком «минус» для четных граней, делилась на 7(на 13).

        Если натуральное число имеет только два делителя - самого себя и 1,то его называют простым числом. Если оно имеет более двух делителей, то число называют составным.

        Если число составное, то его можно разложить на простые множители. Например, число 24 можно разложить на простые множители так:24=2·3·2·2,т.е. из разложения можно выписать все делители числа 24:1,2,3,4,6,8,12,24.Рассмотрим еще одно число 36 и выпишем все его делители:1,2,3,4,6,9,12,18,36.Среди делителей этих чисел есть общие:1,2,3,4,6,12.А наибольший общий делитель обозначают НОД(24;36)=12.Если НОД (а; b)=1,то числа а и b называют взаимно простыми.

Теорема 1.Каждое натуральное число раскладывается в произведение степеней простых множителей n=.

Следствие. Число делителей числа n,включая 1 и само это число, равно произведению (k1+1)(k2+1)…(k3+1).

24=23·3,т.е. у числа 24:(3+1)·(1+1)=8делителей, включая 1 и 24.

Рассмотрим два числа:12 и 18.Выпишем кратные 12:12,24,36,48,60,72,84,96,108,…,и кратные 18: 18,36,54,72,90,108,… .Среди выписанных чисел есть одинаковые:36,72,108. Это общие кратные, а 36-наименьшее общее кратное. Нок(12;18)=36.

Свойство 10:Если k-общее кратное а и b, то k НОК (а;b).

Теорема 2.НОК (а; b)·НОД (а; b)=аb.

Пример 1.Найти цифру x, при которой число  делится на 9.

Решение.Используя признак делимости на 9,найдем сумму цифр.А=3+1+x+5+3+x+x=12+3x=3(4+x).Чтобы А делилось на 9,необходимо, чтобы число (4+x) делилось на 3,кроме этого 0≤x≤9,т.к. это цифра числа.

4≤4+x≤13,среди чисел 4,5,6,7,8,…,13 делятся на три числа 6,9,12,тогда x=2,x=5,x=9.Искомые числа:3125322,3155355,3195399.

Пример2.Найдите все шестизначные числа вида:,которые делятся на 36.

Решение. Число 36 можно представить в виде произведения взаимно простых чисел 9 и 4. Поэтому данное число делится на 36,если оно делится на 9 и на 4.Используем признаки делимости на 4 и на 9,т.е. число  должно делиться на 4. При этом 0≤y≤9,т.к. это цифра числа. Следовательно, y может равняться 0,2,4,6,8.

 Если число делится на 9,то сумма А=4+5+x+y+y+4 должна делиться на 9.А=13+x+2y;т.к. x-цифра числа, то 0≤x≤9.

При y=0 A=13+x,т.е. x=5. Тогда искомое число 455004 .

При y=2 A=13+x+4=17+x,т.е. x=1.Тогда искомое число 451224.

При y=4 A=21+x,т.е. x=6.Тогда искомое число 456444.

При y=6 A=25+x,т.е. x=2.Тогда искомое число 452664.

При y=8 A=29+x,т.е. x=7.Тогда искомое число 457884.

Пример 3.Является ли число 3612+12115 простым?

Решение. Запишем число в виде (364)3+(1215)3,тогда (364+1215)·(368-364·1215+12110),т.е. его можно разложить на множители, следовательно, число является составным, т.к. оно делится хотя бы на (364+1215).

Пример 4.Является ли число 5353…53  (120 цифр) простым?

Решение.  Используя признаки  делимости на 2,4,5,8,10,видим, что ни на одно из них данное число не делится. Проверим признаки делимости на 3 и 9.Найдем сумму цифр числа (5+3)·60=480. Эта сумма делится на 3,поэтому приведенное число делится на 3, т.е. является составным.

Пример 5. Является ли число 2875+15633+3212009 простым?

Решение. Подход предыдущей задачи здесь неприменим, т.к. пришлось бы возвести числа в степени, что достаточно громоздко. Но очень просто выяснить, какой цифрой заканчивается это число, т.к.287 оканчивается на 7,а 75 оканчивается на 7,то и 2875 оканчивается на 7.Аналогично 15633 оканчивается 7 и число 3212009-цифрой 1.Поэтому последняя цифра нашей суммы будет 5 (7+7+1=15) Итак, наше число делится на 5,т.е. оно составное.

Пример 6.Сколько пар натуральных чисел (а; b), где а≤b, удовлетворяют равенству НОК (а; b)=НОД (а; b)+10?

Решение. НОД (а; b)=d, d-делитель и а, и b таким образом, d делитель любого кратного а и b, таким образом НОК (а; b)= d+10.Отсюда следует, что d-делитель 10,но у числа 10 ровно 4 делителя:1,2,5,и 10,следовательно, никаких других значений d принимать не может.              НОК (а; b)=. Если d=1,то аb=11,(1;11);если d=2,то аb=2(2+10)=24,еще 2 пары (4;6) и (2;12).Если d=5,то аb=5(5+10)=75,пара(5;15).

Если d=10,то аb=10(10+10)=200,пара(10;20).Таким образом, 5 пар.

Пример 7. Коля написал на доске несколько целых чисел. Оля подписала под каждым числом его квадрат, после чего Маша сложила все числа, записанные на доске, и получила 2009. Докажите, что кто-то из детей ошибся.

Решение. x1+x2+x3+xn+x12+x22+x32…+xn2=x1(1+x1)+x2(1+x2)+x3(1+x3)+…xn(1+xn). Каждое слагаемое четное (в любом случае в каждом произведении один из множителей четный, а значит и само произведение четное), при сложении четных чисел результат будет четным числом, следовательно, кто-то из детей ошибся, т.к. 2009 – нечетное число.

Пример 8. Числа p и q – простые, удовлетворяющие равенству p+q=(p-q)3. Найдите p и q.

Решение. Пусть p-q=n, тогда p+q=n3.

   p-q=n,

   p+q=n3.  

 -2q=n-n3

2q=n3-n

q=

q=

q= 

(n-1)n(n+1)  3, следовательно, q  3, т.е. q=3( q –простое).

p=n+q, p=5(p - простое).

§3.Десятичная форма записи числа.

 В привычной для нас системе записи чисел используют десять цифр, счет в ней идет десятками, сотнями (десять десятков), тысячами (десять сотен) и т.д., поэтому она называется десятичной.

8457=8·103+4·102+5·10+7

=a·104+b·103+c·102+d·10+e

 При решении некоторых задач эта форма записи числа используется очень часто. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.Если некоторое двузначное число умножить на сумму его цифр, то получится 405.Если число, написанное теми же цифрами, в обратном порядке умножить на сумму его цифр, то получится 486.Найдите это число.

Решение. Некоторое число =a ·10+b.Сумма его цифр (a+b).Число, написанное в обратном порядке = b·10a.Составим систему уравнений по условию задачи:

  (10а+b)(а+b)=405

  (10b+a)(а+b)=486

Разделим уравнения системы друг на друга, получим:

50b+5a=60a+6b

44b=55a

, подставим в первое уравнение

(10а+)·(a+)=405

11·2=405

=405

=1

а2=16,откуда а=4(а=-4 не подходит), тогда b==5.Искомое число 45.

Пример 2.Доказать, что разность между трехзначным числом и числом, записанным в обратном порядке, делится без остатка (нацело) на 9.

Решение.=100a+10b+c, =c·100+b·10+a, -=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)=9(11a-11c),т.е. нашу разность можно записать в виде произведения, один множитель которого 9,следовательно, число делится на 9(кратно 9),а также на 11 и на 99.

Пример 3.Шестизначное число начинается цифрой 2,если эту цифру перенести с первого места на последнее, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найдите первоначальное число.

Решение. A=2=2∙105+a∙104+ b∙103+ c∙102+d∙10+e, тогда новое число:

В=а∙105+b∙104+ c∙103+ d∙102+e∙10+2

Решить систему с пятью неизвестными сложно, обозначим число = a∙104+ b∙103+ c∙102+d∙10+e за x, тогда

A=2∙105+ x

В=10(a∙104+ b∙103+ c∙102+d∙10+e)+2=10x+2,т.к. В=3А, получим

10 x+2=3(2∙105+ x)-линейное уравнение

10 x-3 x=6∙105-2

7 x=599998

x=85714

A=200000+85714=285714, т.е. использованный прием введения более удобной неизвестной позволил из одного условия найти сразу пять цифр.

Пример 4.Найти пятизначное число, кратное 45,если известно, что каждая из трех его средних цифр на 1 больше предыдущей.

Решение.  Наше число - ;b=a+1;c=a+2; d=a+3.Если число кратно 45,значит, оно делится на 5 и на 9 (свойство 1),тогда е или 0 или 5.

Рассмотрим оба случая:

1)е=0,тогда сумма цифр а+а+1+а+2+а+3+0=4а+6.По условию число делится на 9,тогда 4а+6 должно делиться на 9,т.е.(4а+6) 9.Это возможно, если а=3,т.е. наше число 34560.

2)Если е=5, тогда сумма цифр искомого числа:а+а+1+а+2+а+3+5=4а+11.Эта сумма должна делиться на 9,т.е. а=4,тогда наше число 45675.

§4.Деление натуральных чисел с остатком.

Деление натурального числа n на натуральное число  p (n≥ p) с остатком состоит в нахождении такого натурального числа k и такого неотрицательного числа r(0≤r

n=pk+r, где p-делитель, k-частное, r-остаток.

=7(ост.6)

62=8·7+6

                                   делимое       делитель       частное       остаток

 Запись а≡b≡c…≡d(m) обозначает, что при делении на m число а дает тот же остаток, что и b; b-такой же остаток, что и с, и т.д., т.е. все числа а,b,c,…d дают одинаковые остатки при делении на m.

Свойство 1: Если, a≡b(m) и c≡d(m), то a+c≡b+d(m).

Свойство 2: Если, a≡b(m) и c≡d(m), то ac≡bd(m).

Следствие: Если, a≡b(m), то ak≡bk(m) при всех натуральных k.

Пример 1.Натуральное число n при делении на 5 дает остаток 3. Найдите остаток от деления на 5 квадрата числа n.

Решение. n=5k+ 3, N=n2=(5k+ 3)2=25k2+30k+9, 25k2 и 30k без остатка делятся на 5,а 9=5+4,тогда (5k+ 3)2=(25k2+30k+5)+4=5(5k2+6k+1)+4=5m+4,где m=5k2+6k+1 натуральное число, т.е. N=5m+4,т.е. в остатке от деления числа n2 на 5 получается 4.

Пример 2.Если двузначное число разделить на число, написанное такими же цифрами в обратном порядке, то в частном получится 4,а в остатке 15.Если же из данного числа вычесть 9,то получится сумма квадратов цифр этого числа. Найдите это число.

Решение. =10x+y; =10y+x.

1 условие: =4+15,преобразуем:

6x-39y=15

2x-13y=5

2 условие:10x+y-9=x2+y2

Итак, нам нужно решить систему уравнений

   2x-13y=5,

  10x+y-9=x2+y2.

 Решаем систему уравнений методом подстановки. Из первого уравнения имеем  x= и, подставив во второе уравнение, получим:

173y2-134y-39=0

y1=1; y2= (не удовлетворяют условию),

x=, т.е.наше число 91.

Пример 3.Сколько существует натуральных чисел n, что остаток от деления 2003 на n равен 23?

Решение.Т.к. остаток 23,то n>23,  2003=n∙k+23,2003-23=1980, 1980=22+32+5∙11,т.е. надо выбрать делители >23.

 Всего делителей из следствия теоремы арифметики §2:3·3·2·2=36.Легче подсчитать делители  <23:1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,15,18,20 и 22,т.е. 14.Тогда больших 23: 36-14=22

Пример 4.Доказать, что если натуральное число n при делении на 3 дает в остатке 2,то оно не может быть точным квадратом.

Решение. По условию n=3k+2.Пусть оно будет точным квадратом, т.е. существует такое натуральное число а, что n=а2,для самого а есть три возможности: а делится на 3,т.е.а=3 k; а при делении на 3 дает в остатке 1,т.е.а=3k+1; а при делении на 3 дает в остатке 2,т.е. а=3k+2.

Если а=3 k,то n=(3 k)2=9 k2 –это число делится на 3,что противоречит условию.

Если а=3 k+1,то n=9 k2+6 k+1=3(3 k2+2 k)+1,это число при делении на 3 дает в остатке 1,это тоже противоречит условию.

 И, наконец, а=3k+2,тогда n=9 k2+12k+4=3(3 k2+4 k+1)+1,это число при делении на 3 дает в остатке 1,это тоже противоречит условию. Таким образом, наше предположение приводит к противоречию, т.е. наше число не является полным квадратом.

Пример 5.Найдите остаток от деления на 17 числа 2011989.

Решение. 201≡-3(17),2012 ≡9(17),2013 ≡-3∙9≡7(17)

2014≡-3∙7≡-4(17),2018≡-3∙7≡-4(17),2018≡16≡-1(17)

Следовательно, при любом натуральном  k будет

20116k ≡1(17).Но 989=16∙124+5.Значит,2011989=20116·24·1015≡2015=2014·201≡12(17). Остаток равен 12.

§ 5.Задачи с целочисленными неизвестными.

К задачам на числа относятся и задачи с целочисленными неизвестными.

Пример 1.Купили несколько одинаковых книг и одинаковых альбомов. За книги заплатили 10 руб.56 коп., а за альбомы-56 коп. Книг купили на 6 штук больше, чем альбомов. Сколько купили книг, если цена одной книги больше чем на 1 руб. превосходит цену одного альбома?

Решение. Пусть купили x книг, (х-6)-альбомов, Тогда цена одной книги  (руб.), одного альбома (руб.). Т.к. цена одной книги больше чем на 1 руб. превосходит цену одного альбома, то - >1,т.к. х>0,х-6>0,решая неравенство, получим:

10,56(х-6)-0,56х>x(х-6) или х2-16х+63,36<0,это квадратное неравенство, которое решается графическим способом, решением является промежуток (7,2;8,8).

                 7,2                 8,8              x

Т.к. по условию задачи x -  натуральное число, то х=8.Итак, было куплено 8 книг.

Пример 2.В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших успеваемость, заключен в пределах от 2,9 до 3,1%.Найдите минимально возможное число учеников в классе.

Решение. Пусть в классе n учеников, из них m-повысили успеваемость, тогда процент учеников, повысивших успеваемость, будет ,и по условию задачи, 2,9< <3,1.Заметим, что m≠0,т.е. m≥1.

<3,1, n<.Т.к. m≥1,то ≥ , ≥.

Итак, наименьшее значение n, которое возможно, равно 33(с учетом целочисленности  n).Проверим пару m=1, n=33.  2,9<<3,1; 2,9<<3,1; 2,9<3,0303…<3,1. Минимальное число учащихся в классе 33.

Пример 3.На стоянке находятся машины марок «Москвич» и «Волга». Общее их число менее 30.Если увеличить вдвое число «Волг», а число «Москвичей» увеличить на 27,то «Волг» станет больше. Если увеличить вдвое число «Москвичей», не изменяя числа «Волг», то «Москвичей» станет больше. Сколько «Москвичей» и  «Волг» находится на стоянке?

Решение.Пусть x- «Москвичей», а y-“Волг».

                 Запишем условия задачи:

       x+y<30,      

      2y>x+27,

      2x>y.

Т.к. неравенства одного знака можно складывать, то 2y+2x> x+ y+27, x+y> 27,т.к. x и y-натуральные числа, то имеем два варианта, учитывая получившиеся условия:

      x+y<30,

      x+y>27.

      x+y=28 или x+y=29.Рассмотрим оба случая:

а)      x+y=28,то y=28-x

     2(28- x) > x+27,   <=>   -3x>-29,    <=>     x<,    

     2 x >28-x.                       3x>28.                 x>.                                              

 Т.е. решением системы является промежуток (;),но в этом промежутке нет натуральных чисел, поэтому решение этой системы нас не устраивает.

б) x+y=29,то y=29-x

      2(29- x) > x+27,   <=>     -3 x>-31,     <=>    x<,

      2 x >29- x.                       3x>29.                   x>.                                

Решением системы является промежуток (;), в котором находится единственное целое значение x=10,тогда y=29-10=19.Итак, на стоянке находилось 10 «Москвичей» и 19 «Волг».

Эту задачу удобно решать графически. Для этого запишем условие в следующем виде:

      y<30-x,

       y >0,5x+13, 5

      y<2 x.

Изобразим множество точек, удовлетворяющих этой системе. Прежде всего, построим прямые:

y=30-x                                y=0,5x +13, 5                                                     y=2x                                            

                               y                                 B

                         19                                                            y=0,5x+13,5

                                                      A                 C      

                                                                                 y=30-x

                                         y=2x

                                0                              10                                             x

 Решением системы неравенств является внутренняя область треугольника АВС. Внутри треугольника АВС есть только одна точка с целочисленными координатами (10;19),т.е. x=10,а y=19.

Пример 4.Докажите, что если n равно сумме квадратов двух неравных натуральных чисел, то число 2а также равно сумме квадратов двух  натуральных чисел.

Решение. Пусть а=m2+n2  (m>n),2а=2m2+2n2.Рассмотрим правую часть:  2 m2+2n2= =m2+2mn+ n2+ m2-2mn+ n2=(m+ n)2+(m-n)2. m+n и  m-n -натуральные числа, следовательно, число 2а можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Пример 5.Найти такое число x, чтобы сумма этого числа и его квадрата была наименьшей.

Решение. Рассмотрим число y= x2+x. Это квадратичная зависимость, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, наименьшего значения функция достигает в вершине параболы, первая координата которой x =, x = -0,5, ymin=(-0,5)2-0,5=0,25 - 0,5=-0,25, наше число x=-0,5.

                                                                                             y

                                                                          -0,5            0             x

                                                                                             -0,25

Пример 6.В четырехзначном числе сумма цифр тысяч, сотен и десятков равна 14,а сумма цифр единиц, десятков и сотен равна 15,причем цифра десятков на 4 больше цифры единиц. Из всех чисел, удовлетворяющих этим условиям, найти такое, у которого сумма квадратов цифр принимает наименьшее значение.

Решение. Пусть  наше число, условие задачи:

    x+y+z=14,  

    t+z+y=15,

    z=t+4.

Выразим  x,y,z через t:

t + t+4+y-15,       y=-2t+11;  

                             z=t+4;

x-2t+11+t+4=14,  x=t-1  

 Итак, выразим сумму квадратов наших цифр:

А= x2+y2+z2+ t2=(t-1)2+(-2 t+11)2+(t+4)2+ t2=7 t2-38 t+138

Полученный квадратный трехчлен должен принимать наименьшее значение, оно достигается в вершине параболы функции А(t)=7t2-38 t+138, t= ,  t==;t-цифра числа, она не может быть дробной. Рассмотрим схематичный график нашей функции.

                                                       A(t)

                                                       0         2       3              t    

Ближайшие натуральные числа, которые нас интересуют, это 2 и 3.Наименьшее значение функция принимает при t=3,тогда x=3-1=2; y=-2∙3+11=5; z=3+4=7.Наше число 2573.А=22+52+72+32=87.

Список литературы:

1. А. Г. Мордкович (профильный курс) 10 класс, учебник.
2. А. Г. Мордкович (профильный курс) 10 класс, задачник.
3. А. Г. Мордкович (профильный курс) 11 класс, учебник.
4. Приложение к журналу «Математика», 2004 г. №10, 2005 г. №17, 2005 г. №10, 2005 г. №19, 2005 г. №21, 2005 г. №23.
5. А. Н. Рурукин «Интенсив».
6. И. Ф. Шарыгин «Факультативный курс по математике. Решение задач».
7.  М. И. Сканави «Сборник задач по математике. Алгебра».