РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ

Решение систем линейных уравнений с тремя неизвестными

1) по методу Крамера.

Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными:

(2.3)

Теорема 2. Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами: (2.4) где x1, x2, x3 - корни системы уравнений, - главный определитель системы, x1, x2, x3 - вспомогательные определители.

Главный определитель системы определяется:

Вспомогательные определители:

Пример 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера.

Решение.

Ответ: x=1, y=2, z=3.

2) МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С помощью теории матриц любую систему линейных алгебраических уравнений можно представить и решить в простой и наглядной форме.
Пусть задана система уравнений общего вида. Неизвестные и свободные члены представим как векторы - столбцы
.
Коэффициенты при неизвестных запишем в виде матрицы порядка m×n
.
Тогда система может быть записана в виде одного матричного уравнения
AX = B (1)
относительно неизвестной матрицы - столбца X.
Под решением матричного уравнения (1) понимают такую матрицу - столбец X, которая обращает данное уравнение в верное равенство. Это возможно не для всякой матрицы A, а только для квадратной и невырожденной.
Итак, пусть A - матрица коэффициентов системы квадратная (m = n) и невырожденная. В таком случае существует обратная матрица . Очевидно, что согласована с матрицами AX и B.
Умножив обе части матричного уравнения (1) слева на матрицу , получим .
Отсюда с учетом свойств умножения матриц, следует
.
Так как , а EX = X, то
. (2)
Вектор - столбец неизвестных X определяется однозначно. Убедимся, что этот вектор удовлетворяет уравнению (1). Подставив соотношение (2) в уравнение (1), получим , откуда B=B.
Итак, матрица - столбец (2) удовлетворяет уравнению (1), следовательно, является его единственным решением.
ПРИМЕР. Решить матричным методом систему линейных уравнений
.
Решение. Запишем систему в виде матричного уравнения .
Найдем обратную матрицу .
По формуле (2) находим решение системы
.
Таким образом, .

3) Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса.

Наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности

Система уравнений:

22x2+4x3 – x4=12

– x1+x2 – 2x3 – x 4= – 15

4x1 – 8x3 – x4=12

2x1 – x2 – 4x3 – 2x4= – 3

Приведем данные уравнения к виду расширенной матрицы 5х4 этой системы

Произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
 
а) Перемножая все элементы первой строки на 4 и 2
и прибавляя соответственно к 3 и 4 строкам, получаем требуемые нули в первом столбце матрицы

+

+

б) в полученной матрице все элементы второй строки умножаем на (-2)  и прибавляем к третьей строке, затем делим все элементы второй строки на (-2) и прибавляем к четвертой, для получения необходимых нулей во втором столбце.

    +

     +

в) В полученной матрице все элементы четвертой строки делим на (-10)
и перемножаем на 24

   г) для получения необходимого нуля в третьем столбце в полученной матрице ко всем элементам четвертой строки прибавляем соответствующие элементы третей строки

В полученной матрице для упрощения разделим третью строку на (-3),
а четвертую умножим на 5
и разделим на (-27)

В результате всех этих преобразований данная матрица приводится к треугольному виду:

Подставляя элементы преобразованной диагональной матрицы, получаем систему уравнений следующего вида:

-x1+x2–2x3–x4 = -15

2x2 + 4x3 – x4 =12

8x3+x4=24

x4=4

Из последнего уравнения x4 = 4. Подставляя это значение в третье уравнение, получаем x3 = 2,5. Далее из второго уравнения получим x2 = 3. Подставляя в первое уравнение найденные х2,х3,х4: получаем х1= 9