Удивительный мир комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации.

Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в Го и другие игры (см. приложение 2). Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же.   Одной из классических комбинаторных задач, фигурирующей еще в мифах Древнего Востока, является построение магического квадрата, т. е. расположение первых n2 натуральных чисел в квадрате nxn так, чтобы все суммы по строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу. Например: (см. приложение 3)

- магический квадрат при n=3. Определение числа магических квадратов порядка при n>4 представляет трудную еще нерешенную (1978) задачу. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т.д. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.

Комбинаторика становится наукой лишь в 18 веке – в период, когда возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям.

 В Западной Европе ряд глубоких открытий в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра (XII век) и Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век).

Несколько комбинаторных задач содержит «Книга абака» (Фибоначчи, XIII век). Например, он поставил задачу найти наименьшее число гирь, достаточное для взвешивания любого товара весом от 1 до 40 фунтов.

Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля» (см. приложение 5). Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики. Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». (см. приложение 4)