Решение квадратного уравнения, содержащего модуль, несколькими способами
Семенова Анна представила проект работы над темой, текстовую разработку и призентацию.Ученица выступила на уроке по данной теме в 9 классе. Работа полезна как учителю, так и учащимся.Все мы знаем . что лучше решить одну задачу тремя способами, чем три разных задачи.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 proekt_ani.docx | 26.66 КБ |
 reshenie_kvadratnogo_uravneniya.ppt | 544.5 КБ |
| urok_reshenie_kvadratnogo_uravneniya_soderzhashchego_modul_neskolkimi_sposobami.doc | 370.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №16 г.Бирюсинска
Проект
Решение квадратного уравнения, содержащего модуль, несколькими способами.
Разработчик проекта: Семенова Анна Александровна
ученица 11 класса МКОУ СОШ №16 г. Бирюсинска
Тайшетского района Иркутской области
Проект участия в конкурсе .
Тема: Решение квадратного уравнения, содержащего модуль, несколькими способами.
Цель : Изучить два способа: аналитический и графический, решение квадратного уравнения, содержащего модуль, несколькими способами.
Задачи:
- Изучить литературу по указанной теме.
- Подобрать различные задания по решению квадратного уравнения, содержащего модуль.
- Решение подобранных заданий.
- Консультация учителя математики.
- Внедрение в практику: проведение консультации в 11 классе при подготовке к ЕГЭ.
- Выступление на школьной научно-практической конференции «В мир поиска, в мир творчества, в мир науки»
Этап 2. Планирование конкретных действий и определение промежуточных контрольных показателей.
- Задача 1.Провести опрос учащихся класса о необходимости изучения данного вопроса.
- Изучить литературу по указанной теме.
Цели : согласованные, реалистичные, конкретные
1н | 2н | 3н | 4н | |
Сентябрь | Тест – опрос учащихся 11 класса «Решение квадратного уравнения, содержащего модуль, несколькими способами» и его обработка | Беседа с ребятами класса о необходимости изучения данного вопроса | Определение системы работы и проведения консультаций по данной теме в ходе подготовки к ЕГЭ | |
октябрь | Моя теоретическая подготовка к изучению данной темы |
Задача 2. Подобрать различные задания по решению квадратного уравнения, содержащего модуль.
Цели:, реалистичные, конкретные , измеримые
1неделя | 2 неделя | 3 неделя | 4 неделя | |
ноябрь | Подбор уравнений вида f(|x|) = g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции. | Подбор уравнений вида |f(x)| = g(x) | Подбор уравнений вида f(x) = |g(x)| | Подбор более сложных уравнений |
- Задача 3. Решение подобранных заданий.
Цели : согласованные, реалистичные, конкретные , измеримые
1неделя | 2 неделя | 3 неделя | 4 неделя | |
декабрь | Решение уравнений вида f(|x|) = g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции. | Решение уравнений вида |f(x)| = g(x) | Решение уравнений вида f(x) = |g(x)| | Решение более сложных уравнений |
- Задача 4. Консультация учителя математики.
- Цели : согласованные, реалистичные, конкретные , измеримые
1неделя | 2 неделя | 3 неделя | 4 неделя | |
январь | Сдача работы на рецензирование учителю математики |
- Задача 5. Внедрение в практику: проведение консультации в 11 классе при подготовке к ЕГЭ.
Цели : согласованные, реалистичные, конкретные , измеримые
1неделя | 2 неделя | 3 неделя | 4 неделя | |
февраль | Проведение консультаций по решению уравнений вида f(|x|) = g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции. | Проведение консультаций по решению уравнений вида |f(x)| = g(x) | Проведение консультаций по решению уравнений вида f(x) = |g(x)| | Проведение консультаций по решению более сложных уравнений |
- Задача 6 . Выступление на школьной научно-практической конференции «В мир поиска, в мир творчества, в мир науки»
Цели : согласованные, реалистичные, конкретные , измеримые
Задача 7 . Направление на районную научно-практическую конференцию «В мир поиска, в мир творчества, в мир науки»
Цели : согласованные, реалистичные, конкретные , измеримые
3.Диаграммы Гантта (1и2)
1.
Задачи | Провести опрос учащихся класса о необходимости изучения данного вопроса. Изучить литературу по указанной теме. | Моя теоретическая подготовка к изучению данной темы | Подобрать различные задания по решению квадратного уравнения, содержащего модуль. | Решение подобранных заданий. | Консультация учителя математики. | |||||||||||||||||||
Недели | 1н | 2н | 3н | 4н | 1н | 2н | 3н | 4н | 1н | 2н | 3н | 4н | 1н | 2н | 3н | 4н | 1н | 2н | 3н | 4н | 1н | 2н | 3н | 4н |
сентябрь | ||||||||||||||||||||||||
Октябрь | ||||||||||||||||||||||||
Ноябрь | ||||||||||||||||||||||||
Декабрь | ||||||||||||||||||||||||
январь | ||||||||||||||||||||||||
февраль |
1неделя | 2неделя | 3неделя | 4неделя | ||||
сентябрь | Тест – опрос учащихся 11 класса «Решение квадратного уравнения, содержащего модуль | Беседа с ребятами класса о необходимости изучения данного вопроса | Определение системы работы и проведения консультаций по данной теме в ходе подготовки к ЕГЭ | ||||
октябрь | Моя теоретическая подготовка к изучению данной темы | ||||||
ноябрь | Подбор уравнений вида f(|x|) = g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции. | Подбор уравнений вида |f(x)| = g(x) | Подбор уравнений вида f(x) = |g(x)| | Подбор более сложных уравнений | |||
декабрь | Решение уравнений вида f(|x|) = g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции. | Решение уравнений вида |f(x)| = g(x) | Решение уравнений вида f(x) = |g(x)| | Решение более сложных уравнений | |||
Январь | Консультация учителя математики. | ||||||
Февраль | Проведение консультаций по решению уравнений вида f(|x|) = g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции. | Проведение консультаций по решению уравнений вида |f(x)| = g(x) | Проведение консультаций по решению уравнений вида f(x) = |g(x)| | Проведение консультаций по решению более сложных уравнений | |||
март | Выступление на школьной научно-практической конференции «В мир поиска, в мир творчества, в мир науки» |
4. Список ключевых событий.
Дата | Ключевое событие |
Сентябрь | Подбор заданий опросника. |
Октябрь | Подбор литературы по данному вопросу. |
Ноябрь | Поиск различных уравнений по теме, в том числе, используя интернет ресурсы. |
Декабрь | Самостоятельное решение заданий. |
Январь | Консультация учителя. Одобрение. |
Февраль | Участие в подготовке своего 11 класса к ЕГЭ. |
Март | «Ура! Победа на школьной научно-практической конференции». |
5. Список потенциальных проблем:
Проблема | Превентивные действия |
1. Недостаточно литературы. |
|
2.«Слабый» класс по математике. | 2.Деление учащихся на три группы. |
3.Выступление на школьной конференции. Как уложиться за 10 минут?! | 3. Выбрала все способы, на примерах только четырех видов уравнений. |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Какое из уравнений (1-6) можно решить тремя методами (графическим, методом разложения на множители, методом введения новых переменных) ? Что объединяет остальные уравнения ? Ответ : уравнение (4) ; уравнение (1) – биквадратное, (2) – квадратное относительно модуля, (3) – квадратное относительно квадратного трехчлена, (5-6) – рациональные уравнения. Эти уравнения (1,2,3,5,6) решаются методом замены переменной. Покажу на примере одного уравнения y=x ² -2 │ x │ несколько способов его решения.
Решаем уравнение Метод разложения на множители. Решение 1. 1) Если x ≥ 0 , то │ x │ = x , и уравнение принимает вид x ² - 2x=0 , откуда получаем x=0 или x= 2 ; оба значения удовлетворяют условию x ≥ 0 . 2) Если x< 0, то │ x │ = -x , и уравнение принимает вид x ² +2 x=0 , откуда получаем x=0 или x= -2 ; Второе из найденных значений удовлетворяет условию x<0 . Ответ : 0 ; 2; -2 . x ² - 2│ x │=0
Решение 2. x ² - 2 │ x │ =0 x ≥ 0 x ≥ 0 x = 0 x ² - 2x=0 x(x - 2)=0 x = 2 x ≤ 0 x ≤ 0 x =-2 x ² + 2x=0 x(x+2)=0 Ответ : 0 ; 2; -2 .
Графический метод Решение 1 . y y x x 8 0 8 . . . -2 2 -1 y = x² - 2│x│ 2 -1 y = x² - 2x 0
Решение 2. 4 . . . 0 2 y x y = x² y=2│x│ Ответ : 0; 2; -2 .
Метод введения новых переменных. Решение. Пусть │ x │= t ≥ 0 , тогда уравнение примет вид t ² -2t=0 , откуда получаем t=0 или t =2. Возвращаясь к исходной переменной, получаем t(t-2)=0 , t=0 или t=2. │ x │ =0 , │ x │ = 2 x = 0 , x = ± 2 Ответ : 0 ; 2; -2 .
Предварительный просмотр:
Решение квадратного уравнения, содержащего модуль, несколькими способами.
Определение. |a|= a, если a ≥ 0,
-a, если a < 0.
1. Простейшими уравнениями с модулем являются уравнения вида f(|x|) = g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции.
Для того чтобы решить данное уравнение, нужно найти сначала все решения уравнения f(x) = g(x), принадлежащие множеству x ≥ 0, затем решить уравнение f(x) = g(x) на множестве x < 0; объединение множеств найденных решений составляет множество всех решений уравнения f(|x|) = g(x). Другими словами, уравнение f(|x|) = g(x) равносильно совокупности систем
f(x) = g(x), f(-x) = g(x)
x ≥ 0 или x < 0.
Пример 1. Решить уравнение x² - 2|x|= 0
Решение 1.
Аналитический метод:
Исходное уравнение равносильно совокупности систем:
x² - 2x = 0, x² + 2x = 0,
x ≥ 0 или x < 0;
x = 0 x = 0
x = 2, или x = -2,
x ≥ 0 x < 0.
Ответ: -2, 0, 2.
Графический метод:
Для построения графика функции y = f(|x|) на основании модуля имеем:
f(x), если x ≥ 0,
y = f(|x|) = f(-x), если x < 0.
Следовательно, график функции y = f(|x|) состоит из двух графиков: y = f(x) – в правой полуплоскости, y = f(-x) – в левой полуплоскости.
Функция y = f(|x|) – четная, поэтому для построения ее графика достаточно построить график функции y = f(x) для всех x ≥ 0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.
Пример 2. Решить уравнение x² - 3|x| + 2 = 0
Решение
Аналитический метод:
Исходное уравнение равносильно совокупности систем:
x² - 3x + 2 = 0, x² + 3x + 2 = 0,
x ≥ 0 или x < 0;
x = 1 x = -1
x = 2, или x = -2,
x ≥ 0 x < 0.
Ответ: -1, -2, 1, 2.
Графический метод:
Функция y = f(|x|) – четная, поэтому для построения ее графика достаточно построить график функции y = f(x) для всех x ≥ 0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.
2. Уравнение вида |f(x)| = g(x) равносильно совокупности систем (можно решить двумя способами)
f(x) = g(x), f(x) = g(x),
f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0
или
-f(x) = g(x) -f(x) = g(x)
f(x) < 0 g(x) ≥ 0.
Пример 3.
№1 Аналитический метод:
Решить уравнение
y = |x² - 2x - 3|
Решение.
x² - 2x – 3 = 0 x² - 2x -3 = 0 x = 3
-(x² - 2x – 3) = 0 -x² + 2x + 3 = 0 x = -1
Ответ: -1, 3.
Графический метод:
Ответ: -1, 3.
№2 Аналитический метод:
Решить уравнение
2|x² + 2x - 5| = x – 1.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности систем:
1)
2(x² + 2x – 5) = x – 1, 2x² + 3x – 9 = 0, x = 3/2
x -1 ≥ 0, x ≥ 1. x = -3,
x ≥ 1.
-3 не удовлетворяет условию x ≥ 1, следовательно, система имеет решение x = 1,5.
2)
-2(x² + 2x – 5) = x – 1, 2x² + 5x – 11 = 0, x = -5 + √113
x – 1 ≥ 0, x ≥ 1. 4
x = -5 - √113
4
x ≥ 1.
-5 - √113
4 не удовлетворяет условию x ≥ 1, следовательно, вторая система имеет решение x = -5 + √113
4 .
Ответ: 1,5, -5 + √113
4 .
№3
А) Аналитический метод:
Решить уравнение
y = |x² - 4|
Решение.
x² - 4 = 0 x = 2
x² + 4 = 0 x = -2
Ответ: -2, 2.
Графический метод:
y = |f(x)| = f(x), если f(x) ≥ 0,
-f(x), если f(x) < 0.
Для построения графика функции y = |f(x)| для всех x из области определения, надо ту часть графика функции y = f(x), которая располагается ниже оси абсцисс (f(x) < 0), отразить симметрично этой оси.
y = |x² - 4|. Строим график функции y = x² - 4.
Ответ: -2, 2.
Б) Аналитический метод:
Решить уравнение
y = x² + 2|x| - 3
Решение.
x² + 2x -3 = 0 x² - 2x – 3 = 0
x ≥ 0 или x < 0
x = 1 x = -1
x = - 3 - не подходит x = 3 не подходит
x ≥ 0 x < 0.
Ответ: -1, 1.
Графический метод:
Строим график функции y = x² + 2|x| - 3
Таким образом, график функции y = |f(x)| расположен только в верхней полуплоскости.
Учитывая, что в формуле |y| = f(x), f(x) ≥ 0 и на основании определения модуля перепишем формулу |y| = f(x) в виде y = ± f(x), где f(x) ≥ 0.
|y| = y, если y ≥ 0,
-y, если y < 0
Для построения графиков зависимости достаточно построить график функции y = f(x) для тех x из области определения, при которых f(x) ≥ 0, и отразить полученную часть графика симметрично оси абсцисс.
Таким образом, график зависимости |y| = f(x) состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.
В соответствии с этим можно построить графики:
|y| = x²
x = 0
Ответ: 0.
Построить график
|y| = x² - 5x + 6
x = 2
x = 3
Ответ: 2, 3.
Построить график
|y| = x² + 2x - 3
x = -3
x = 1
Ответ: -3, 1.
Пример 4.
Аналитический метод :
Решить уравнение
y = x² - 2|x| - 3
Решение.
x² -2x – 3 = 0 x = -3
x² + 2x – 3 = 0 x = 3
Ответ: -3, 3.
Графический метод:
Ответ: -3, 3.
Пример 5.
Аналитический метод:
Решить уравнение:
y = |x² - 2|x| - 3|
f(x) = 0 или g(x) = 0
3 = 0
Решение. Метод разложения на множители
x = 0 x = 0
|x² - 2| = 0 x = ±√2
Ответ: -√2, 0, √2.
Графический метод:
Ответ: -√2, 0, √2.
Пример 6.
Аналитический метод:
Решить уравнение
|y| = x² - 2x – 3
x² - 2x – 3 = 0
x = -1
x = 3
Ответ: -1, 3.
Графический метод:
|y| = f(x)
Это соответствие не является функцией, так как каждому значению x из области определения может соответствовать более одного значения y. Построим график функции
y = f(x) во всей области определения, отбрасываем ту часть графика, которая расположена ниже оси Ox, и остальную часть достраиваем, отобразив оставшуюся часть симметрично оси Ox.
Ответ: -1, 3.
Пример 7.
Аналитический метод:
Решить уравнение
|2x² - x - 1| = 2x² + x + 1
Решение.
2x² - x – 1 = 2x² + x + 1 -2x – 2 = 0 x = -1
2x² + x + 1 ≥ 0 2x² + x + 1 ≥ 0 x = 0
Ответ: -1, 0.
Графический метод:
нет
Ответ: -1, 0.
Попробуем на вкус солёность моря?
Сторож
Ласточка
Два плуга
Рисуем акварелью: "Романтика старого окна"