Проект "Софизмы вокруг нас"

Муниципальное общеобразовательное учреждение - муниципальная общеобразовательная школа №3 г.Красный Кут Саратовской области.

Проект на тему

«Софизм вокруг нас»

Выполнили: ученицы 7 «А» класса

Закора В, Мясникова В.

Руководитель: учитель математики

 1 категории  Родыгина Л.Н.

2014г.

Цель: Анализ понятия софизма, установление связи между софистикой и математикой, влияние софизмов на развитие логики.

Задачи: 1. Исследовать понятие софизма и историю его возникновения.

2. Рассмотреть виды софизмов и дать классификацию их ошибок.

3. Составить сборник задач на софизмы по различным разделам математики для 6-11 классов.

Актуальность:  Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Содержание:

                            Стр.

1. Ведение.                                                             4
2. Основная часть.                                                 5-12        

1.  История софизма.
2.  Виды софизмов.
3.  Классификация ошибок.

3. Заключение.                                                      13
4. Литература.                                                       14
5. Приложение.                                                     15-40

1. Введение.

                                                                                          «Правильно понятая ошибка
                                                                                 – это путь к открытию».
                                                                                                            И. П. Павлов.

У ученых есть такое свойство: поставят в тупик все человечество, а потом целое поколение или даже несколько поколений с трудом из него выбираются, проявляя чудеса изобретательности и изворотливости.  И одним из средств не только учёных, но и любознательных остроумных людей, любящих ставить окружающих в тупик, является «софизм». Мы считаем эту тему чрезвычайно интересной и актуальной, так как софизмы развивают мышление и логику. Также нас заинтересовал факт глубокой древности зарождения софизмов и популярности их у ученых.  Софизмы имеют прямое отношение к математике, с помощью которых можно опровергнуть практически все теоремы и понятные любому, не требующие объяснения, гипотезы, доказав обратное.

Целью нашего проекта является  доказательство, что софизмы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли.

2. Основная часть.

1. История софизма.

Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Если софизмы — всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним непонятны.

Во второй половине 5 века до н.э. в Греции появились софисты. Они появи¬лись во время становления демократии в Афинах и на подвластных Афинам территориях. Софисты - это мудрецы, но мудрецы особого рода. Этих муд¬рецов истина не интересовала. Они были, как правило, платными “учите¬лями мудрости”. Их нанимали политики для того, чтобы организовать свою предвыборную компанию, в частности, переспорить оппонентов на собра¬нии, а также для того, чтобы выиграть судебное дело. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах.

Термин “софизм” впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии. Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой, с использованием, например, «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий.

Современный софизм, основной задачей которого является манипуляция общественным сознанием, существует в многочисленных формах. Современные софисты, прежде всего, - специалисты по пиару. Работа, которых заключается в навязывании обществу тех или иных политических деятелей. Во время предвыборных компаний никто не борется за истину, борются за голоса избирателей; борьба идет межу софистами, упражняющимися в красноречии. Побеждает тот, кому удается обмануть избирателей. Все это делается изощренно, с учетом современных достижений софистов в области психологии и манипуляции общественным сознанием. Суды, где вопрос виновности и не виновности подсудимых зависят от действий адвоката - софиста, умеющего манипулировать общественным сознанием, судьями и толкованием подчас спорных законов.

В обычном и распространенном понимании софизм -  это умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий и завуалированный, так, что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Цель софизма – выдать ложь за истину. Считается, что прибегать к софизму предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль, зная, в чем заключается истина.

2. Виды софизмов.

Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.  

Пример: « Дважды два - пять!»

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5.После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1) или(2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения 4(1:1)=5(1:1).  Устанавливаем: 2∙2=5. Где ошибка?

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или противоречивое утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Пример: «Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.»

Рассмотрим треугольник АВС.

Разделим стороны АВ и ВС пополам точками M и N. На этих сторонах, как на диаметрах, опишем окружности с центрами в точках M и N. Окружности пересекут сторону АС в точках D и E.

Углы AEB и BDC опираются на диаметры АВ и ВС соответственно, значит они прямые.

Следовательно, отрезки BD и BE, исходящие из точки В, будут перпендикулярны, стороне АС, следовательно, из точки В можно опустить два перпендикуляра на сторону АС.

Алгебраические софизмы. Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А., отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Пример:  «Любое отрицательное число больше положительного, имеющего то же абсолютное значение.»

Этот софизм основан на очевидной истине: «Если в равенстве числитель левой дроби больше знаменателя в n раз, то и в правой части равенства соотношение внутри дроби будет таким же».

Напишем следующие равенства:

  и  ; т.е.  .

Другими словами, если в левой части равенства +a > - a, то и в правой части равенства должно соблюдаться то же соотношение. Т.е. –a > +a.

Ну, и прочие софизмы.  Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Пример:  1) «Равен ли полный стакан пустому?»

Да. Проведем рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

2) «Лекарства»

Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.

3) «Самое быстрое не догонит самое медленное»  

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

4) «Софизм учебы»        

Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:

 The more you study, the more you know

The more you know, the more you forget

The more you forget, the less you know

The less you know, the less you forget

The less you forget, the more you know

So why study?

 Перевод

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев!

3. Классификация ошибок.

Логические.

Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:

1.        Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;

2.        Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;

3.        Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»;

4.        Особенно распространённая ошибка quaternio terminorum, то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые тела, бронза — металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

Терминологические

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются:

•        в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы. Наиболее характерные:

1.        Ошибка гомонимия (aequivocatio). например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.

2.        Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. Все углы треугольника >2 π в том смысле, что сумма <2 π.

3.        Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину даётся значение разделительного: "все углы треугольника = 2 π" в смысле "каждый угол = сумме 2 прямых углов".

4.        Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.

5.        Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (= (2*2)+5)) или 14 (= 2 * (2+5)).

•        Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Сюда относятся:

1.        Petitio principii: введение заключения, которое требуется доказать, в скрытом виде в доказательство в качестве одной из посылок. Если мы, например, желая доказать безнравственность материализма, будем красноречиво настаивать на его деморализующем влиянии, не заботясь дать отчёт, почему именно он — безнравственная теория, то наши рассуждения будут заключать в себе petitio principii.

2.        Ignoratio elenchi заключается в том, что мы, возражая на чье-нибудь мнение, направляем нашу критику не на те аргументы, которые ей подлежат, а на мнения, которые мы ошибочно приписываем нашим противникам.

3.        A dicto secundum ad dictum simpliciter представляет заключение от сказанного с оговоркой к утверждению, не сопровождаемому этой оговоркой.

4.        Non sequitur представляет отсутствие внутренней логической связи в ходе рассуждения: всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.

Психологические

Психологические причины софизма бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма поэтому предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

а) Интеллектуальные причины

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм. Обозначим первые (отрицательные) качества а, а вторые (положительные) – b.

б) Аффективные причины

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями, и т.. д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей. Обозначим аффективный элемент в душе искусного диалектика, который распоряжается им как актёр, чтобы тронуть противника, через с, а те страсти, которые пробуждаются в душе его жертвы и омрачают в ней ясность мышления через d. Argumentum ad hominem, вводящий в спор личные счёты, и argumentum ad populum, влияющий на аффекты толпы, представляют типичные софизмы с преобладанием аффективного элемента.

в) Волевые причины

При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть волевой элемент — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика(е)  и т. п. действуют неотразимым образом на лиц, легко поддающихся внушению, особенно на массы. С другой стороны, пассивность (f) слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника.

Таким образом, всякий софизм предполагает взаимоотношение между шестью психическими факторами: a + b + c + d + e + f. Успешность софизма определяется величиной этой суммы, в которой (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы. Прекрасный психологический анализ софистики даёт Шопенгауэр в своей "Эристике". Само собой разумеется, что логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой.

Основные  математические ошибки:

1.        деление на 0;

2.        неправильные выводы из равенства дробей;

3.        неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

4.        нарушения правил действия с именованными величинами;

5.        путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств;

6.        проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла;

7.        неравносильный переход от одного неравенства к другому;

8.        выводы и вычисления по неверно построенным чертежам;

9.        ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом.

Самыми популярными являются первые три. В результате мы отобрали и систематизировали задачи на софизмы по классам с 6 по 11.

3. Заключение.

Мы узнали, что софизм – это рассуждение, содержащее замаскированные ошибки. Умение маскировать и маскироваться является основным в таких сферах, как военное дело, защита информации и криптографии, банковское дело.

Математический софизм представляет собой, по существу, правдоподобное рассуждение, приводящее к неправдоподобному результату. Причем полученный результат может противоречить всем нашим представлениям, но найти ошибку в рассуждении зачастую не так-то просто. Она может быть и довольно тонкой и глубокой. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных” задач. Эффектная демонстрация “доказательства” явно неверного результата, в чем и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и “закрепить” то или иное математическое правило или утверждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению.

Рассмотрев софизмы, мы узнали многое из мира логики. Даже небольшое представление о софизмах значительно расширяет кругозор. Многие вещи, кажущиеся сначала необъяснимыми, выглядят совсем по-иному. Жаль, что в школьном  курсе математики не изучаются основы логики. Логическое мышление — ключ к пониманию происходящего, недостаток его сказывается во всем.

Проанализировав учебники математики, сборники олимпиадных задач и другую дополнительную литературу, мы пришли к выводу, что математические софизмы в зависимости от содержания и “прячущейся” в них ошибке можно применять с различными целями на уроках математики при изучении различных тем. Например:

1.        на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;

2.        в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках;

3.        при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;

4.        на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;

5.        при написании реферативных и исследовательских работ.

Как видно из решений задач на софизмы, многие «крайне неразрешимые парадоксы» имеют довольно-таки простое решение. Нужно только увидеть корень противоречия.

4. Список используемой литературы

1. Чернышев  Б.С. Софистика. — М.: 1951.
2. Шопенгауэр А. Эристика, или Искусство побеждать в спорах. - СПб.: 1900.
3. Брадис В. М., Минковский В. Л., Еленев Л. К., Ошибки в математических рассуждениях, 3 изд., М., 1967.
4. Евклид — «Псевдарий» — своеобразный каталог софизмов в геометрических доказательствах.
5. А.Г. Мадера и Д.А.Мадера, “Математические софизмы”, М., “Просвещение”, 2003г.
6. Обреимов В.И., , “Математические софизмы”,СПб,1989г.
7. Т.Н. Михеева. Софизмы.