Особенности решений уравнений в целых числах

Конференция исследовательских работ учащихся

учреждений  общего и профессионального образования.

Управление общего и профессионального образования

г. Чайковского с прилегающей территорией

Секция: математика

Особенности решений уравнений в целых числах.

МОУ СОШ № 11

Селькова Мария ученица 10А класса.

Руководитель

Беркутова Татьяна Владимировна,

учитель математики.

г. Чайковский,

2011 год

Содержание:

1. Введение……………………………………………………….. стр.2
2. Особенности  решения  уравнений в целых числах ……….... стр.5

1. Уравнения с одним неизвестным …………………….... стр.5
2. Нахождение целых корней  уравнения с целыми коэффициентами………………………………………..  стр. 8
3. Решение уравнений в целых числах с двумя и более неизвестными…………………………………………… стр.11

3. Заключение……………………………………………………. стр. 15
4. Список литературы……………………………………………стр.16
5. Приложение.

1.Введение.

Решение  алгебраических уравнений в целых числах с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач.  Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VIвек до н.э.), александрийский математик  Диофант  (III век н.э.), П. Ферма  (XVII в.), Л.Эйлер(XVIII век),  Ж.Л.Лагранж(XVIII век),  П.Дирихле (XIX век), К.Гаусс(XIX век), П.Чебышев(XIX в.) и  многие другие.

        Решение уравнений в целых  числах является важной задачей и для современной математики.   Теоретический  интерес  уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

       Ещё  в начальной школе на уроках математики перед нами часто ставили задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрели как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. В восьмом классе мы познакомились с решением  квадратных уравнений с одной переменной. Но, готовясь к олимпиадам, рассматривая  материалы Единого государственного экзамена,   мы встречаемся  с заданиями, в которых предлагаются уравнения  с двумя переменными.

Поэтому я считаю, что моя тема актуальна для старшеклассников, сдающих экзамен по математике.

Так же эта тема актуальна для поступающих в ВУЗы физико-математической направленности,  для тех, кто увлекается математикой и для тех, кто готовиться участвовать в олимпиадах.

Появилось желание  узнать решаемы ли такие уравнения,  и какие способы используются  для  их  решения, все ли они имеют алгоритм решения и где применяются. 

Рассматривая различные источники,  мы  отмечаем, что проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными достаточно трудной является даже задача существования целочисленных решений.

                Проблема ещё  в том, что не каждый знает особенности решений некоторых уравнений.

Так же есть много  подходов к  решению уравнений в целых числах, но не каждый может  или понимает как ими пользоваться. Решение уравнений более чем с одним неизвестным наиболее сложная проблема.

Решение уравнений в целых числах в литературе рассматривается только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для решения уравнений выше второй степени с двумя и более неизвестными трудными  являются  задачи нахождения всех решений в целых числах и  установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.

Часто встречаются задания, где надо решить задачи или в целых числах, или только в натуральных.

 В  своей работе я  рассмотрела   задания из материалов  олимпиад и заданий С6 из ЕГЭ.

Цель работы

Рассмотреть особенности решения уравнений в целых  числах.

Задачи

1. Научиться решать уравнения в целых числах разными способами.
2. Применять разные  способы  решения уравнений в целых числах на практике.
3. Ознакомить одноклассников, как решаются такие уравнения.

Область исследования :

Уравнения в целых числах

 Предмет исследования:

Способы решения  уравнений в целых числах.

Гипотеза.

Рассмотрение достаточно большого числа уравнений в целых числах позволит сделать вывод о наличии  некоторого алгоритма решения  данных уравнений или отсутствии такового.

2.Особенности  решения  уравнений в целых числах

Решением уравнения с одним неизвестным называется значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Соответственно решением уравнения с несколькими неизвестными называется набор значений неизвестных, при подстановке которых в уравнение оно превращается в верное числовое равенство. Часто решения уравнения с одним неизвестным называют корнями уравнения.

1)Уравнения  с одним неизвестным.

Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным

Пусть коэффициенты уравнения  и  - целые числа. Ясно, что решение этого уравнения

будет целым числом только в том случае, когда  нацело делится на . Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений  и  первое имеет целое решение , а второе в целых числах неразрешимо.

Уравнения второй степени с одним неизвестным.

С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение  имеет целые решения , ; уравнение   в целых числах неразрешимо, так как его корни , иррациональны.

Рассмотрим задачи, где задаётся  конкретное  условие о целых значениях корней.

Задача 1. Квадратный трехчлен  имеет целые корни, по модулю большие 2. Доказать что число  - составное.

Решение:

 в

По теореме Виета:

  - составное.

Задача 2. Найти  все такие целые a и b, что корни уравнения x2+(2a+9)x+3b+5=0 являются различными целыми числами, а коэффициенты 2a+9 и 3b+5 - простыми числами.

Решение.

Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения: x1x2=3b+5. По условию 3b+5 - простое число, а x1 и x2  - целые. Из свойств простых чисел получаем, что есть лишь 2 случая: x1=1, x2=3b+5 иx1=-1 и x2=-(3b+5). Значения x1 и x2  можно поменять местами, т.к. порядок в данном случае не имеет значения. Снова воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения: x1+x2=2a+9. Но так как среди корней один по модулю равен 1 (1 или -1), а второй по модулю равен 3b+5, то получаем, что 2a+9 отличается от 3b+5 на 1. Следовательно, одно из этих четное, а второе - нечетное. По условию же они оба являются простыми. Известно лишь одно четное простое число - 2. Второе отличается от него на 1, т.е. равно 3 (1 не является простым числом). Получаем, что коэффициенты уравнения равны 2 и 3. Получаем 2 уравнения:

1) x2+2x+3=0

2) x2+3x+2=0

Первое не имеет решение. А корни второго: -1 и -2. Оба являются целыми числами. Значит уравнение имеет вид x2+3x+2=0

2a+9=3;      a=-3 

3b+5=2;      b=-1

Ответ: a=-3, b=-1

ТАКИМ ОБРАЗОМ:

Зная один корень многочлена, можно разложить его на множители, т.е. если  - корень многочлена  , то

 .

 На конкретном примере рассмотрим другой подход к разложению многочлена на множители при решении  уравнений в целых числах

Решение: поскольку старший коэффициент равен 1, q=1. Свободный член имеет делители 1, 2, 4, 8, 16. Таким образом, если это уравнение имеет целый корень, то этот корень будет  среди чисел    Подставляя их в левую часть, найдем Следовательно, левая часть разлагается на множители, один из которых (y - 2).

Произвести это  разложение можно с помощью метода, который назовем методом группировки. Суть его в том, чтобы представить многочлен в виде суммы пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить множитель  (y - 2). Поскольку первый член равен , то в качестве второго слагаемого следует взять , в результате чего образуется пара , в которой можно вынести множитель y – 2. Таким образом, от второй члена мы «заняли» , остается . Прибавляем 6y, получим пару  + 6y = -3y(y - 2) и т.д. В результате будем иметь:

() + ( + 6y) + (-8y+16) = (y – 2)(- 3y –8).

Таким образом, для нахождения остальных корней надо решить уравнение  - 3y – 8=0. Его корни:  , , но и  не целые числа, поэтому корнем уравнения будет 2.

Ответ: y = 2

Задача2 . Найти  целые корни уравнения

Решение. Свободный член уравнения имеет следующие делители

±1,   ±3,   ±7,   ±21.

Выпишем также положительные делители старшего коэффициента: 1, 2. Следовательно, для рационального корня уравнения  получаем следующие возможные значения:

Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что из этого множества только числа -3  является его  решением ( целым  числом).

Задача 3. Решить в целых числах уравнение

Решение. Делители свободного члена уравнения: ±1. Положительные делители старшего коэффициента: 1. Следовательно, все целые корни уравнения находятся среди чисел {-1,1}. Подставляя  x = ±1  заключаем, что только x = -1 является корнем этого уравнения.

4. Решение уравнений в целых числах

с двумя и более неизвестными.

Так как проблема решения уравнений с двумя и более неизвестными и степенью выше двойки решена не до конца я приведу только несколько примеров решения таких уравнений.

Задача 1. Решить в натуральных числах уравнение

, m

Решение:

При n=25 данное уравнение  
,  примет вид  что невозможно.

из уравнения (1) выразим m

Из чего видно, что m является натуральным числом при n >25 и при , где   – целое число.

625 делится на степени 5.

Рассмотрим, при каких значениях n, m примет целые значения.

1. при

2. при

3. при  

,            следовательно, чем больше значение выражения  , тем больше n и тем меньше m. Поэтому дальше рассматривать уравнения нет смысла, т.к. условие выполняется только в первых двух случаях.

,  и .

Задача 2. Решить в целых числах уравнение

Решение:

Пусть , тогда

Пусть , тогда

 ,  попарно взаимно просты, а их произведение равно полному квадрату, следовательно, , иначе  не будет квадратом!

z=0, n=0, m=

Ответ: n=0, m=

Задача 3. Решить в целых числах уравнение

4x - 6y + 11z = 7.

Решение. Разделив с остатком -6 на 4, получим -6 = 4(-2) + 2. Представим исходное уравнение в виде

4(x - 2y) + 2y + 11z = 7.

После замены x = x - 2y это уравнение запишется следующим образом

4x + 2y + 11z = 7.

Учитывая, что 11 = 2·5 + 1, преобразуем последнее уравнение:

4x + 2(y + 5z) + z = 7.

Положив y = y + 5z, получим

4x + 2y + z = 7.

Это уравнение имеет следующее решение: x, y - произвольные целые числа, z = 7 - 4x - 2y. Следовательно y = y - 5z = 20x + 11y - 35, x= x + 2y = 41x + 22y - 70.

Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид

где x,   y - произвольные целые числа.

Задача 4. Решить в целых числах уравнение

x + y = xy.

Решение. Запишем уравнение в виде

(x - 1)(y - 1) = 1.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба они равны 1. Т. е. исходное уравнение равносильно совокупности

с решениями (0,0) и (2,2).

Задача 5. Решить в целых числах уравнение

y3 - x3 = 91.

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде

(y - x)(y2 + xy + x2) = 91.

Делителями числа 91 являются ±1, ±91. Так как y2 + yx + x2 ≥ y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ≥ 0, то исходное уравнение равносильно совокупности

Таким образом, целочисленными решениями исходного уравнения являются пары (-6,-5) и (5,6).

Задача 5. Решить в натуральных числах уравнение

y2 - x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1.

Решение. Заметим, что

Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению

y2 = (x2 + 3x + 1)2

или

y = x2 + 3x + 1.

Таким образом, множество всех решений имеет вид

{(x , x2 + 3x + 1)  |  x  N}.

Задача  6. Решите в целых числах уравнение

Решение:

Если , то , получаем ,

Если , то так как , то 2 остаток при делении  на 3 следовательно правая часть не может равняться квадрату целого числа, поэтому при  - решений нет.

При ,  не имеет решений, так как  – целое число, а  – дробное.

Ответ:

Вывод.

В работе рассмотрены  различные подходы к решению уравнений в целых числах:

• разложение на множители  способом деления многочлена на двучлен и способом группировки,
• оценка  и сравнение правой и левой частей  равенства между собой или с другим выражением,
• введение новой переменной,
• преобразование, в результате которого  появляется    полный  квадрат и др.

Любые достижения при решении  уравнений степени выше первой с тремя и более неизвестными обычно получаются с большим трудом. Это не случайно. Нет общего метода - алгоритма, который бы позволил распознавать, разрешимо или нет в целых числах каждое из таких уравнений.

Таким образом, каждое уравнение имеющие степень два и выше с двумя и более переменными не имеют определенного порядка решения и способа решения таких уравнений.

Список литературы:

1. И.Ф. Шарыгин «Факультативный курс по математике»;
2. М.И. Башмаков «Уравнения и неравенства»;
3. А.В. Шевкин, Ю.О. Пукас «ЕГЭ задания С6»
4. http://www.referat.ru/referats/view/11635
5. http://www.svyato.net/matematika/pr_uravneniy/26-celye-resheniya-neopredelennyx-uravnenij-stepeni-vyshe-pervoj.html