Решение систем линейных алгебраических уравнений. 10 класс.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №  81

Сормовского района г. Н. Новгорода

Научное   общество   учащихся

«Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Выполнил:  Тихонов Никита,

ученик 10 «а» класса

Научный руководитель:

Капочкина Антонина Николаевна,

учитель математики

Н.Новгород

2014 год

Содержание.

Введение.        

Цель работы:        

1.Системы линейных алгебраических  уравнений        

2. Решение систем линейных алгебраических  уравнений методом Крамера.        

2.1. Основные понятия.        

2.2 Определители второго порядка и их свойства.        

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.        

2.4. Решение СЛАУ методом Крамера.        

3. Матрицы и действия над ними.        

3.1Основные понятия.        

3.2. Действия над матрицами.        

3.3.Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.        

4. Решение систем линейных алгебраических  уравнений методом Гаусса.        

4.1. Совместность СЛАУ.        

4.2. Решение СЛАУ методом Гаусса.        

Заключение.        

Литература        

Введение.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и их систем. Овладевая способами их решения, учащиеся находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.).

Многие теоритические и практические  вопросы, приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема в школьном курсе математики, задания из данной темы были представлены на экзамене в 9 классе, а также входят в состав заданий для ЕГЭ.

С  решением  систем  линейных  уравнений  мы  познакомились  в  седьмом  классе.  Тогда  мы  решали системы  линейных  уравнений  двумя  способами:

1. метод  подстановки;
2. метод  сложения.

Нужно  заметить,  что  не  все  методы решения системы  линейных  алгебраических уравнений  рассматриваются в школьном курсе математики. Существуют  и  другие  методы,  например,  такие,  как:  метод  Крамера , Гаусса (исключение  неизвестных),  матричный  способ.

С  этими  способами  решения  систем  линейных  уравнений  мы  познакомимся  в  данной  исследовательской  работе.

В процессе работы приобретаются навыки, с помощью которых последующее решение систем линейных уравнений станет намного проще и быстрее.

Цель работы:

 Рассмотреть решение систем линейных алгебраических  уравнений методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом.

Задачи:

1. Познакомится с понятием определителя и методами его вычисления.
2.  Рассмотреть метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
3. Познакомиться с понятием матрицы, элементами матриц, и их элементарными преобразованиями.
4. Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
5. Рассмотреть решение систем линейных  алгебраических уравнений методом Гаусса.

1.Системы линейных алгебраических  уравнений

1.1 Основные понятия и определения

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

                   (1.1)

где aij, bi(i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

        В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

                                                            (1.2)

        Решением системы (1.1) называется такая совокупность n чисел (x1 = k1,  x2 = k2,…, xn = kn), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

        Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

        Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Например, система уравнений  – совместная и определенная, так как имеет единственное решение (10;0); система   – несовместная; а система уравнений  – совместная и неопределенная, так как имеет более одного, а точнее бесконечное множество решений (x1 = c, x2 = 20-c, где с – любое число).

        Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений получается система (1.1), равносильная данной.

2. Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Крамера.

2.1. Основные понятия.

Определителем n-го порядка называется число n, составленное по определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы

 (1)

Определитель вычисляется согласно указанному ниже правилу, по заданным числам (), которые называются элементами определителя (всего их n2). Индекс i указывает номер строки, j – номер столбца квадратной таблицы (1), на пересечении которых находится элемент . Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.

Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …,  определителя (1).

Побочной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …,  определителя (1).

Минором Mij элемента aij называется определитель (n–1)–го порядка n–1, полученный из определителя n–го порядка n вычеркиванием i-й строки и jстолбца.

Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определяется равенством

Aij = (–1)i+j  Mij (2)

Значение определителя n находится по следующему правилу.

Для n = 2

 (3)

Для n = 3 в определителе выбирается разрешающая строка или столбец, относительно которой или которого вычисляются определители 2-го порядка

 (4),

где

=  (5),

=  (6),

=  (7).

Здесь в качестве разрешающей была выбрана первая строка определителя (4), однако, без ограничения общности, в качестве разрешающей может быть выбрана любая другая строка либо столбец.

В дальнейшем в качестве разрешающей будем рассматривать первую строку определителя.

Величины A11, A12, A13 – алгебраические дополнения, а M11, M12, M13 – миноры, соответствующие элементам a11, a12, a13 определителя 3. Эти миноры являются определителями второго порядка, получаемыми из определителя 3 вычеркиванием первой строки и соответствующих столбцов. Например, чтобы найти минор M13, следует в определителе 3 вычеркнуть первую строку и третий столбец, а из оставшихся элементов составить определитель второго порядка.

Для произвольного n

(8),

где A1k = (–1)1+kM1k, а миноры M1k, являющиеся определителями (n–1)-го порядка, получаются из n вычеркиванием первой строки и k-го столбца.

2.2 Определители второго порядка и их свойства.

Определителем второго порядка называется число

∆==ab-ab.                                                    (1)

Приведем основные свойства определителей второго порядка.

1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами соответственными столбцами.
2. При перестановке двух строк (столбцов) абсолютная величина определителя сохранится, а знак изменится на противоположный.
3. Если определитель содержит две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то его величина равна нулю.
4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
5. Если все элементы какой – либо строки (столбца) определителя равны нулю, то величина определителя равна нулю.
6. Если к элементам какой – либо строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно то же число, то величина определителя не изменится.

Пример 1.  Вычислить определитель ∆=.

Решение. По формуле (1) находим

∆==0∙9-(-7)∙10=70.

Пример 2. Вычислить определитель ∆=.

Решение. Вынесем за знак определителя общие элементов 1-й и 2-й строк, т.е. числа 125 и 4:

∆=125∙4 .

Вынося за знак определителя общий множитель элементов 2-ого столбца, равный 4, получим

∆=125∙4∙4 =2000(2+1)=6000.

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.

Определителем третьего порядка называется число

∆==a - b + c.                                (1)

Свойства определителей третьего порядка аналогичны свойствам определителей второго порядка.

Пример 1. Вычислить определитель

∆=.

Решение. По формуле (1) находим

∆==-2-0∙+3=-2∙(3∙2-4∙1)-0+3∙(-2∙4-3∙3)=-4-

         -51=-55.

Пример 2. Вычислить определитель

∆=.

Решение. Вынося за знак определителя общие множители элементов 1, 2 и 3-й строк, получим

∆=3∙6∙2∙=36∙- 2+ 3=36(4(1-5)-2∙0+3(5-  

-1)) = -144.

Пример 3. Вычислить определитель

∆=.

Решение. Вынесем общий множитель элементов 2-й строки за знак определителя:

∆=7.

Вычтем из элементов 3-й строки соответственные элементы 1-й строки:

∆=7.

Так как определитель с двумя равными строками равен нулю, то ∆=7∙0=0.

Для вычисления определителя третьего порядка 3 часто пользуются привилом Сарруса (правило треугольников):

3 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – (a13a22a31 + a12a21a33 + a23a32a11)

Схематическая запись этого правила приведена ниже:

Пример 4. Вычислить определить 4-го порядка.

–74

2.4. Решение СЛАУ методом Крамера.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

Пусть определитель матрицы A коэффициентов {aij} системы отличен от нуля, т.е. det A  0. Тогда справедливы формулы Крамера для вычисления неизвестных :

где , а  являются определителями n-го порядка, которые получаются из  путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Пример 1. Решить систему уравнений с помощью формул Крамера:

Решение. Вычислим

 = 56 – 18 + 20 + 21 = 79.

Последовательно заменяя в 3 первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим

,         ,

,         ,

,         .                

Пример 2. Решить систему уравнений

Найдем определитель системы =5. Так как то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители  , , , полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

=20; =10; =5

Теперь по формулам Крамера (1.8)

x1=; x2=; x3=

т. е. решение системы (4; 2; 1).

Пример 3.  Решить систему уравнений

Вычислим определитель

Система уравнений имеет одно решение, так как определитель отличен от нуля.

Остальные определители получим путем замены соответствующего столбца исходного определителя на столбец свободных членов системы уравнений.

Решения находим по формулам:

3. Матрицы и действия над ними.

3.1Основные понятия.

Матрица размерами m × n – совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А)

                                        2    5    2

                                А=   3   10   7     - матрица.                (1)

                                        6   -3   -4

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. В общем виде матрицы:

                                         а11   a12   …  a1n 

                                         a21   a22   …  a2n       

                              M =    a31   a32   …  a3n                          (2)

                                         …………………

                                         am1  am2  …  amn         

они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер строки, а 2ой – номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число строк (или столбцов) – её порядком.

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = [aij] и В = [bij] одинакового типа называются равными, если aij = bij при всех i и j.

 Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы аij = 0, – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ, а элементы квадратной матрицы порядка n,сумма индексов каждого из которых равна n+1, – побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):

                                              1   0    …   0

                                     Е =    0   1   …   0                         (3)  

                                                        ………………

                                              0   0    …   1     

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной:

              a11  а12  …  а1n                                     b11   0     …   0  

    А =    0     а22 …  а2n    ;                        B =  b21   b22  …   0            (4)

              ………………                                        ………………

              0     0    …  ann                                     bn1   bn2   …   bnn

Диагональная матрица является частным случаем треугольной. Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Таким образом, если

                                        a11  a12  …   a1n 

                               A =   a21  a22  …   a2n    ;                  (5)

                                        …………………

                                        an1  an2  …   ann     

то

                                        a11  a21  …   an1   

                             AT =   a12  a22  …   an2    .                     (6)

                                        ………………

                                        a1n  a2n  …   ann   

Определитель n-го порядка матрицы

                                        а11  а12  …   а1n

                              А =    а21  а22  …   а2n

                                        …………….…

                                        аn1  а n2 …   аnn   

есть число

           а11  а12  …   а1n   

 ∆ =    а21  а22  …   а2n     = ∑                   (-1)I(k , k , …, k ) a1k a2k  … ank   (7)

           ………………       (k1, k2, …, kn)

           аn1  аn2  …   аnn   

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов аij, т.е. на всевозможные перестановки (k1, k2, …, kn). Числа аij называют элементами определителя.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной.

Определитель обладает некоторыми свойствами. Перечислим их:

1. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

2. Если все элементы некоторой строки определителя состоят из      

    нулей, определитель равен нулю.          

3.От перестановки двух строк определитель меняет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, те же, что и у данного определителя; i-я строка определителя состоит из первых слагаемых элементов i-й строки данного определителя, а i-я

    строка другого – из вторых слагаемых элементов i-й строки.

8. Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

3.2. Действия над матрицами.

Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число. Указанные операции являются основными операциями алгебры матриц – теории, играющей весьма важную роль в различных разделах математики и естествознания.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом, если

                а11   …  а1n                               b11  …  b1n

       А =   …………..   ;    (1)        В =    ……………   , то                    

                am1   …  аmn                              bm1  …  bmn   

                                       a11+ b11  …  a1n + b1n 

                       A + B =    ………………………                       (8)

                                       am1+ bm1 …  amn + bmn           

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковы размеров.

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

                                      a11 – b11  … a1n – b1n   

                       A – B =   ………………………                        (10)

                                      am1 – bm1 … amn – bmn            

Операция нахождения разности двух матриц называется вычитанием матриц. Проверкой можно убедиться, что операция сложения матриц удовлетворяет следующим свойствам:

1. А + В = В + А; (коммутативность)
2. А + (В + С) = (А + В) + С; (ассоциативность)
3. А + О = А.

Здесь А, В, С – произвольные матрицы одинаковых размеров; О – нулевая матрица того же размера.

Произведением матрицы А = [аij] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ. Произведение обозначим      

λА. Таким образом  от умножения матрицы (1) на число, получим:

            a11 … a1n                                     λa11  … λa1n 

   A =   …………    , то    λA =    ………………            (11)

            am1 … amn                        λam1 … λamn 

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число. Матрица –А = –1А называется противоположной матрице А. Проверкой можно убедиться, что операция умножения матрицы на число удовлетворяет следующим свойствам:

1. 1А = А;
2. (λ + μ)А = λА + μΑ;
3. λ(А + В) = λΑ+ λВ;

4) λ( μА) = (λμ)А;

5) А + (-А) = О.

Здесь А, В – произвольные матрицы; μ, λ - произвольные числа; О – нулевая матрица.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

              а11   …   а1n                                       b11   …   b 1n                                                        

     A =   ……………   ;                 B =   ………………

              am1  …   amn                              bm1   …   bmn                                           

 В этом случае произведением матрицы А на матрицу В, которые

заданы в определенном порядке (А – 1ая, В – 2ая), является матрица С, элемент которой сij определяется по следующему правилу:

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj = ∑ n α = 1 aiαbαj,                    (12)

где i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента сij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:

                   1   2   3                             7   8

           А =                 ;                В =   9  10   , то                                 (13)

                   4   5   6                            11 12                                        

                1 7 + 2 9 + 3 11   1 8 + 2 10 + 3 12          58    64  

    АВ =                                                               =                                (14)  

                4 7 + 5 9 + 6 11   4 8 + 5 10 + 6 12         139  154

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А, а число столбцов – числу столбцов матрицы В.

Операция нахождения произведения двух матриц называется умножением матриц. Умножение матриц некоммутативно, т.е.

АВ ≠ ВА. Убедимся в примере матриц (13). Перемножив их в обратном порядке, получим:

                                        39    54    69

                            ВА =    49    68    87                                                  (15)

                                        59    82   105

Сравнив правые части выражений (14) и (15), убедимся, что АВ ≠ ВА.

Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются перестановочными. Например:

                1    2                                   -3    2

        А =             ;                      В =                  перестановочны, т.к.

               -2   0                                   -2   -4  

                                      -7   -6

                  АВ = ВА=

                                  6     -4  

Проверкой можно показать, что умножение матриц удовлетворяет следующим свойствам:

1. А(ВС) = (АВ)С; (ассоциативность)
2. λ(АВ) = (λА)В = А(λВ);
3. А(В + С) = АВ + АС. (дистрибутивность)

Здесь А, В, С – матрицы соответствующих определению умножения матриц размеров; λ - произвольное число.

Операция умножения двух прямоугольных матриц распространяется на случай, когда число столбцов в 1ом множителе равно числу строк во 2ом, в остальных случаях произведение не определяется. А также, если матрицы А и В – квадратные одного и того же порядка, то умножение матриц всегда выполнимо при любом порядке следования сомножителей.

3.3.Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

Пусть дана квадратная матрица

                     a11   …   a1n

              A =   ……………      ,                                                     (16)               

                       am1  …   amn                                          

       A – её определитель.

Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е – единичная матрица, то матрица Х называется обратной по отношению к матрице А, а сама матрица А – обратимой. Обратная матрица для А обозначается А-1.

Теорема 1.1. Для каждой обратимой матрицы существует только одна обратная ей матрица.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для матрицы А  наряду с матрицей Х существует еще хотя бы одна отличная от Х обратная матрица, которую обозначим за Х1. Тогда должны выполняться следующие условия: ХА = Е, АХ1 = Е. Умножив второе равенство на матрицу Х, получим ХАХ1 = ХЕ =Х. Но, т.к. ХА = Е, то предыдущее равенство можно записать в виде ЕХ1 = Х или Х = Х1.

Т е о р е м а  д о к а з а н а.

Пример 1. Найти матрицу обратную матрице

                                      1    2    3

                        А =       –3  –1    1  .

                                      2    1  –1 

Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она невырожденной:

             1     2    3          1    2    5          

 ∆А =   –3   –1    1   =  –3  –1    0   = 5  –3    1   = 5 (–3 + 2) = –5 ≠ 0.

             2     1  –1          2    1    0            2    1    

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

А11 =  –1    1   = 0;    А12 = – –3    1   = –1;

                                                     1  –1                           2  –1

                          А13 =  –3  –1    = –1;   А21 = –  2    3  = 5;

                                      2    1                            1  –1

                           А22 =    1    3    = –7;   А23 =  –   1   2    = 3;

                                        2  –1                              2   1

                             А31 =    2    3    = 5;   А32 =  -    1    3    = –10;

                                       –1    1                           –3    1

А33 =   1    2    = 5.

  –3   –1

Составим присоединённую матрицу для матрицы А:

                                 0       5      5

                               –1     –7  –10

                                –1       3      5

Отсюда находим обратную матрицу:

                                             0     5     5

                             А-1 = –   –1   –7 –10   .  

                                           –1     3     5                

Пример 2. Найти неизвестную матрицу Х из уравнения АХ = В, если:

                        А =  2    3   ;             В =   3    4   .

                                1    2                        -1    1

Р е ш е н и е. Умножив обе части данного матричного уравнения слева на матрицу А-1, получим:

                                 А-1АХ = А-1В;   Х = А-1В.    

Найдем А-1: ∆А = 1, А11 = 2, А12 = -1, А21 = -3, А22 = 1, следовательно,

                                 А-1 =    2   -3   .

                                            -1    1        

Найдем матрицу Х:

       Х = А-1В =    2   -3     3    4   =   9    5   .

                            -1    1    -1    1       -4   -3                    

Пример1. Решите систему алгебраических линейных уравнений матричным методом.

              x + y +z = 1

              x – y + 2z= -5

             4x + y +4z=-2

Определим:

       1    1     1              х               1

А=  1   -1    4    ; Х=   у    ;  В=  -5

       4     1   -4              z              -2

 Найдём обратную матрицу А-1:

          1    1    1

∆  =    1   -1   4     = 4*(-1)*1 + 1*1*1 + 1*2*4 – 4*(-1)*1 – 1*1*4 – 1*

          4     1   -4       *2*1 = -4+1+8+4-4-2=9-6=3 =0

 Следовательно обратная матрица существует. Построим её:

Составим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

А11= (-1)2   -1  2   = -6   А12= (-1)3  1  2  =4    А13= (-1)4  1  -1  = 5

                    1   4                              4  4                            4   1

А21= (-1)3  1   1  = -3     А22= (-1)4  1   1 =0    А23= (-1)5  1   1 =3

                  1   4                                4   4                           4   1

А31= (-1)4  1   1 =3        А32= (-1)5   1   1 =-1  А33= (-1)6  1   1  =-2

                 -1   2                                1   2                           1  -1

Составим матрицу из алгебраических дополнений:

     -6      4      5

     -3       0      3

      3       -1    -2

Транспонируем полученную матрицу:

     -6      -3      3

      4       0      -1

      5       3      -2

Умножим полученную матрицу на число, обратное определителю матрицы А т.е на 1/3:

            -6/3    -3/3    3/3       -2      -1      1

А-1 =    4/3     0/3    -1/3  =   4/3    0     -1/3

            5/3     3/3     -2/3       5/3    1      4/3

Найдём Х=А-1*В

             2      -1      1           1              -2+5-2               1

    Х=  4/3    0     -1/3   *   -5      =     4/3+2/3       =     2

            5/3    1      4/3        -2             5/3-5+4/3          -2

Таким образом, х=1,у= 2, z= -2

Ответ: х=1,у= 2, z= -2

Пример2.

      Или                      где    

Найдем алгебраические дополнения

Отсюда получаем x = 2,     y = 3,     z =1.

4. Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса.

4.1. Совместность СЛАУ.

        Одним из ключевых понятий при решении систем линейных алгебраических уравнений является понятие ранга матрицы. Введем это понятие. Выделим в матрице A размерности mn k строк и k столбцов, где k  – число, меньшее или равное меньшему из чисел m и n. Определитель порядка k, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов, называется минором или определителем, порожденным матрицей A. Например, для матрицы

при k = 2 определители

, ,

будут порожденными данной матрицей.

Рангом матрицы A (обозначается rang A) называется наибольший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля. Если равны нулю все определители порядка k, порожденные данной матрицей, то rang A < k.

Теорема 1. Ранг матрицы не изменится, если

1. Поменять местами любые два параллельных ряда.
2. Умножить каждый элемент ряда на один и тот же множитель   0.
3. Прибавить к элементам ряда соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель.

Преобразования 1–3 называются элементарными. Две матрицы называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Минор Mk+1 порядка k+1, содержащий в себе минор Mk порядка k, называется окаймляющим минором Mk. Если у матрицы A существует минор Mk  0, а все окаймляющие его миноры Mk+1 = 0, то rang A = k.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение.

Имеем . Для M2 окаймляющими будут только два минора:

,

каждый из которых равен нулю. Поэтому rang A = 2, а указанный минор M2 может быть принят за базисный.

Теорема 2 (Кронекера-Капелли). Для того, чтобы система m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x1, x2, …, xn

была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы

системы и ранг так называемой расширенной матрицы

системы были равны, т.е. rang A = rang B = r.

Далее, если rang A = rang B и r = n, то система имеет единственное решение; если r < n, то система имеет бесконечное множество решений, зависящее от n – r произвольных параметров.

Система называется однородной, если все ее свободные члены bi (i = 1, m) равны нулю. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система называется неоднородной. Для однородной системы уравнений rang A = rang B, поэтому она всегда совместна.

4.2. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находится все остальные переменные.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

 (1)

Пусть все хотя бы один из свободных членов  системы уравнений отличен от нуля, т.е. система неоднородна. Если основная матрица A системы имеет ранг r = n, то расширенная матрица B этой системы с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов всегда может быть приведена к треугольному виду, где на главной диагонали матрицы располагаются единицы, а все элементы ниже главной диагонали равны нулю:

 (2)

Эта матрица является расширенной матрицей системы

которая эквивалентна исходной системе (т.е. имеет те же самые решения, что и исходная система). Если хотя бы одно из чисел  отлично от нуля, то система (2) и исходная система (1) несовместны. Если же , то система (1) совместна, а из системы (2) можно последовательно выразить в явном виде базисные переменные  через свободные переменные . Если r = n, то решение этой системы единственно. В дальнейшем будем рассматривать последний случай, т.е. когда r = n.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Р е ш е н и е. Расширенная матрица системы имеет вид:

.

Шаг 1. Так как a0, то умножая вторую, третью и четвертую строки матрицы на числа (-2), (-3), (-2) и прибавляя полученные соответственно ко второй, третьей, четвертой строкам, исключим переменную x1 из всех строк, начиная со второй. Поменяем местами вторую и третью строки:

˜.

Шаг 2. Умножая вторую строку на (-7/4) и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим переменную x2 из всех строк, начиная с третьей:

˜.

Шаг 3. Умножаем третью строку на 13,5/8=27/16, и прибавляя строку к четвертой, исключим из нее переменную x3. Получим систему уравнений

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x4 =-2; из третьего x3===-1; из второго x2===2 и из первого уравнения x1=6+2x4-3x3-  -2x2=6+2(-2)-3(-1)-2·2=1, т.е. решение системы (1; 2; -1; 2).

Пример 2. Методом Гаусса решить систему уравнений:

Р е ш е н и е. Преобразуем расширенную матрицу системы

˜˜.

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0=-1, следовательно, данная система несовместна.  

Пример3. С помощью метода последовательных исключений Гаусса решить вопрос о совместности данной системы и в случае совместности решить ее.

Решение.

Составим расширенную матрицу B и проведем необходиые элементарные преобразования строк:

~ ~  ~

~

Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной

Из нее, двигаясь снизу вверх, последовательно находим: x4 = –1, x3 = 1, x2 = 0, x1 = –2.

Пример 4. . Методом Гаусса решить систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу коэффициентов системы уравнений

Произведем элементарные преобразования со строками расширенной матрицы.

Разделим все элементы первой строки расширенной матрицы на 2.

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3.

Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 1.

Теперь умножим все элементы второй строки расширенной матрицы на -2/11.

Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на ½.

Теперь умножим все элементы третьей строки расширенной матрицы на -11/16

Произведенные выше элементарные преобразования – это прямой ход в метода Гаусса

Теперь нужно провести алгебраические преобразования в обратном порядке:

сначала с элементами третьего столбца, а затем второго столбца расширенной матрицы

Вычтем из второй строки третью, умноженную на (-1/11), а из первой строки третью, умноженную на 1/2

Вычтем из первой строки вторую, умноженную на 3/2

В результате последнего преобразования было получено решение системы уравнений:

X = 2           y = 3             z = 1.

Заключение.

Работа над это темой была очень интересной.

− в процессе работы я узнал много нового;

− я научился пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное;

− теперь я знаю, какие действия можно выполнять над матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и быстрый, и ещё в своей работе я изучила многие другие теоретические вопросы;

− также весь материал я исследовал не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.

Тема решения систем линейных уравнений предлагается на выпускных экзаменах, поэтому умение их решать очень важно.

Исследовательская работа может использоваться учащимися, как пособие для самостоятельного изучения по теме „Методы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве дополнительного материала.

Литература

1. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для                                     ВУЗов.- М.: Издательское объединение «ЮНИТИ», 1997.
2. Апанасов П. Т., Орлов М. И. Сборник задач по математике: Учебное пособие для техникумов. - М.: Высшая школа, 1987.
3. Демин И. И. Математика для экономистов: Программа курса и практические задания. – М.: МИЭП, 1997.
4.  Большой  энциклопедический  словарь  «Математика». Ю.В.Прохоров  2000 г.
5. Справочник  по  математике  для  средних  учебных  заведений. А.Г.Цыпкин  Москва  «Наука»  1983г.