Сочетания и размещения

Слайд 1

Слайд 2

Правило умножения. Правило умножения, которое используют при подсчете вероятностей, применимо не только к двум, но и к трем, четырем и т. д. испытаниям. Напомним это правило: Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Слайд 3

Пример. Учитель подготовил к контрольной работе 5 примеров на решение неравенств, 3 текстовых задачи (две на движение и одна на работу) и 7 примеров на решение квадратных уравнений (в трех из них дискриминант отрицателен). В контрольной должно быть по одному на каждую из трех тем. Найти общее число: а) всех возможных вариантов контрольной; б) тех возможных вариантов, в которых встретится задача на движение; в) тех возможных вариантов, в которых не встретятся одновременно задача на работу и квадратное уравнение, не имеющее корней .

Слайд 4

Решение. а) При выборе неравенств есть 5 исходов, при выборе текстовой задачи есть 3 исхода, при выборе квадратного уравнения есть 7 исходов. По правилу умножения получаем, что число всех вариантов контрольной работы равно б) В предыдущем рассуждении меняется число исходов при выборе текстовой задачи: их всего два. Значит, можно составить г) Из общего числа вариантов мы вычтем те варианты, в которых встретятся одновременно и задача на работу, и квадратное уравнение, не имеющее корней. По сравнению с пунктом а) для них меняется число исходов при выборе текстовой задачи и число исходов уравнения. Значит, можно составить вариантов такой контрольной работы, а условию задачи удовлетворяют остальные 105-15=90 вариантов. Ответ: а) 105 ; б) 70 ; в) 90.

Слайд 5

Напомним понятие факториала и теорему о перестановках. Определение: Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n ! и называют « эн факториал» . n 1 2 3 4 5 6 7 n! 1

Слайд 6

Теорема : n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n! способами. Как правило эту теорему записывают в виде краткой формулы: Р n =n! Р n – это число перестановок из n различных элементов, оно равно n!

Слайд 7

Пример. Пять человек А, B , С, D и Е садятся на диван. а) Сколькими способами их можно рассадить? б) Сколькими способами можно их рассадить, если С уже занял свое место? в) Сколькими способами можно их рассадить, если известно, что D нужно посадить рядом с А? Решение. а) На диван должны сесть 5 человек. Значит, всего имеется Р способов их рассаживания: Р =5 != 120. б) Т. к. место С зафиксировано, то следует рассадить четырех человек на места. Это можно сделать Р =4 != 24 способами. в) Сначала выберем нужное место для А. Возможны 5 вариантов. Если место А уже известно, то D следует посалить или справа, или слева от А, всего 2 варианта. После того, как места для А и D выбраны, нужно трех человек произвольно рассадить на оставшиеся 3 места: Р =3 != 6 вариантов. Остается применить правило умножения Ответ : а) 120 ; б) 24 ; в) 60

Слайд 8

Теорема о выборе двух элементов Если множество состоит из n элементов и требует выбрать два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести способами. Определение. Число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают С С

Слайд 9

Пример. Встретились 10 волейболистов и 7 баскетболистов и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки. Сколько встреч было: а) между волейболистами; б) между волейболистами и баскетболистами; в) всего. Решение. а) С б) С в) Будем действовать по правилу умножения. Одно испытание – выбор волейболиста, а другое испытание – выбор баскетболиста. Испытания предполагаются независимыми, а у них соответственно 10 и 7 исходов. Значит получится игр . г) Можно сложить все предыдущие ответы: 45+21+70=136 ; но можно использовать и формулу для числа сочетаний: С Ответ: а) 45 ; б) 21 ; в) 70 ; г) 136 .

Слайд 10

Теорема: если множество состоит из n элементов и требуется выбрать из них два элемента, учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести способами. Определение: число всех выборов двух выборов с учетом их порядка из n данных называют числом перемещений из n перемещений по 2 и обозначают A А

Слайд 11

Пример. В классе 23 ученика. К доске нужно вызвать двоих. Сколькими способами можно это сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй – по геометрии; б) они должны быстро стереть с доски? Решение. В случае а) порядок важен, а в случае б) – нет. Значит, ответы таковы: а) А б) С

Слайд 12

Определение: Число всех выборов k элементов из n данных без учета порядка называют числом сочетаний из n элементов по k и обозначают С С Число всех выборов k элементов из n данных с учетом их порядка называют числом размещений из n элементов по k и обозначают А А

Слайд 13

Пример. В классе 19 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить уравнение, второй – задачу, третий – неравенство; б) им следует идти дежурить в столовую? Решение. В случае а)порядок важен, а в случае б) – нет. Значит, ответы таковы: а) А = б) С

Слайд 14

Треугольник Паскаля. Для чисел С имеется красивый и удобный способ их записи в виде треугольной таблицы – её называют треугольником Паскаля. Основная закономерность образования строк состоит в следующем: каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке. В общем виде это свойство записывается так: С С С