Случайные события и их вероятности

Слайд 1

Случайные события и их вероятности В теории вероятностей и математической статистике строятся и исследуются модели различных ситуаций , связанных с понятием случайности . Один из основателей математической статистики шведский ученый Гаральд Крамер писал так : «По видимому , невозможно дать точное определение того,что подразумевается под словом «случайный» .

Слайд 2

Использование комбинаторики для подсчета вероятностей Пример №1 Из колоды в 36 карт вытаскивают две карты и одновременно открывают их. Найти вероятность того , что обе карты черной масти. Решение.

Слайд 3

Произведение событий . Вероятность суммы двух событий . Независимость событий. Как найти вероятность P(A+B) для событий, которые могут наступать одновременно? Для ответа на такой вопрос необходима не только сама сумма А+В событий А и В, но и их произведение. Определение. Произведением событий А и В называют событие, которое наступает тогда , когда наступает событие А и событие В. Оно обозначается АВ.

Слайд 4

Задача Дать описание произведения АВ событий А и В Если А – цена товара больше 100р ; В – цена товара не больше 110р. Решение. Для цены S товара верно двойное неравенство 100

Слайд 5

Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств Теория вероятностей Теория множеств Испытания с N исходами Множество из N элементов Отдельный исход испытания Элемент множества Случайное событие Подмножество Невозможное событие Пустое подмножество Достоверное событие Подмножество, совпадающее со всем множеством Вероятность события Доля элементов подмножества среди всех элементов множества Сумма событий Объединение подмножеств Несовместимые события Непересекающиеся подмножества Противоположные события Дополнение подмножества до всего множества Произведение событий Пересечение подмножеств

Слайд 6

Теорема 1 Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятностей произведения этих событий и вероятности суммы этих событий. P(A) + P(B) = P(AB) + P(A + B). События А и В называют независимыми , если вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий Р(АВ) = Р(А)Р(В)

Слайд 7

Рассмотрим пример: Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень по отдельности соответственно равны 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что мишень: а) будет поражена дважды. Решение: б) не бут поражена ни разу. Решение:

Слайд 8

Теорема 2 Вероятность суммы двух независимых событий равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В ) Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень по отдельности соответственно равны 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз. Решение:

Слайд 9

Теорема Б ернулли Пусть Р ₑ (Х) – вероятность наступления ровно Х успехов в е независимых повторениях одного и того же испытания. Следовательно , где p – вероятность успеха , а q = 1 – p - вероятность неудачи в отдельном испытании.

Слайд 10

Теорема 4. При большом числе независимых повторений одного и того же испытания частота появления случайного события А со все большей точностью приближенно равна вероятности события