Софизмы

«Софизмы»

                                                  Выполнила:

                                                  ученица 8 «А» класса МОУ «СОШ№82» г.Саратова

                                                  Пудовченко Екатерина

                                                  Руководитель:

                                                  учитель математики Евстафьева Т.Г.

Содержание

1. Введение ----------------------------------- стр.1

2. Понятие «софизм» ----------------------- стр.1

3. Немного истории ------------------------- стр.2

4. Арифметические софизмы ------------- стр.2

5. Алгебраические софизмы -------------- стр.3

6. Геометрические софизмы -------------- стр.4

7. Прочие софизмы ------------------------- стр.5

8. Заключение -------------------------------- стр.6

9. Литература -------------------------------- стр.7

Введение

Во время проведения недели математики в этом учебном году между 8-ми классами проводилась «Математическая регата». Ничего особенного, но среди заданий было задание на нахождение ошибки в рассуждениях. Учитель пояснил, что это софизмы.

И я решила выяснить: что такое софизм, какими бывают софизмы.

Ведь, я не раз слышала: «Если равны половины, то равны и целые» или «Полуполное есть то же, что и полупустое» и т.д.

И задалась вопросами: кто это придумал? Можно ли как-то объяснить эти высказывания или всё это – вымысел?

На эти вопросы я ответила в своей работе.

Понятие  «СОФИЗМ»

Софизм - (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Среди софизмов различают: математические, логические, терминологические, психологические  и т.д.

Остановлюсь на математическом софизме. Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают  внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях.

Софизмы не приносят пользы, если  их не понимать.

Немного истории

Если обратиться к истории, то в 4-5 веке до н.э. софистами называли группу древнегреческих философов, достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства».

Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой - семиотической: за счёт метафоричности речи, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.

Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста (софист, от греч. sophistes - умелец, изобретатель, мудрец, лжемудрец) - представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. С этой же идеей обычно связывают и «критерий основания», сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины.

Например, софизм «куча»: «Одно зерно - не куча. Если n - зёрен не куча, то n + 1 зерно - тоже не куча. Следовательно, любое число зёрен - не куча» - это лишь один из «парадоксов транзитивности», возникающих в ситуации «неразличимости».

Арифметические софизмы

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys - число), наука о числах, в первуюочередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы - это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Рассмотрим примеры.

№ 1.  « Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что  А>В.

Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство А·В>В·В,

а отняв от обеих его частей А·А, получим неравенство А·В-А·А>В·В-А·А, которое равносильно следующему: А(В-А)>(В+А)(В-А)     (1).

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что: А>В+А    (2),

а прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда А>2В. Итак, если А>В, то А>2В.

Это означает, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

Где же ошибка?

Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2).

Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0. Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и тоже отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А.

№ 2.  «Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его»

Возьмем  два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства: А>-В и В>-В       (1).

Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство А·В>В·В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что:  

А>В   (2).

Записав же два других столь же бесспорных неравенства: В>-А и А>-А   (3).

Аналогично предыдущему получим, что В·А>А·А, а разделив на А>0, придем к неравенству: А>В   (4). Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.

Где же ошибка?

Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств. Проделаем правильные преобразования неравенств. Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.

Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства (А+В)(В+В)>0, или А>-В, что представляет собой просто верное неравенство.

Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде  (В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В>-А.

Алгебраические софизмы

Алгебра - один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Рассмотрим примеры.

№3.  «Отрицательное число больше положительного»

Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:    а      -а .

                                                                                                                     -с       с

Они равны, так как каждое из них равно -(а/с). Можно составить пропорцию:

                       а               -а

                      -с               с

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>-с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.

Где ошибка?

Данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.

№4.  «Дважды два равно пяти»

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a·a=2db-b·b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d·d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2·2=5

Где ошибка?

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

Геометрические софизмы

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

№5.  «Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»

Пусть, а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c . Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.    

Где ошибка?

В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

№6.  «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»

Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки  Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВDС также прямой. Следовательно, ВЕ  перпендикулярна АС и ВD перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

Где ошибка? 

В рассуждении о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.

Прочие софизмы

Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

№7.  «Полупустое и полуполное»

Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное.

№8.  «Чётное и нечётное»

5 есть 2 + 3 («два и три»). Два - число чётное, три - нечётное, выходит, что пять - число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, также, как и 2 + 3, значит, оба числа не чётные!

№9.  «Не знаешь то, что знаешь»

«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» - «Нет». - «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» - «Знаю». - «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

№10.  «Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное»

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

№11.  «Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?»

Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

№12.   «Равен ли полный стакан пустому?»

Да. Проведем рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

№13.   «Софизм Эватла»

Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: "Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора". На это Эватл отвечал: "Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда".

Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.

Примеры софизмов, сформулированных еще в древней Греции:

№14.  «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит»

№15.  «Сократ - человек; человек - не то же самое, что Сократ; значит, Сократ - это нечто иное, чем Сократ»

№16.  «Тот, кто лжет, говорит о деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно не только лгать, но даже мыслить и говорить»

№17. «Если какой-нибудь человек говорит, что он лжет, то лжет ли он или говорит правду?» Допущение того, что он говорит правду, будет означать, что правдой является то, что он лжет (об этом он и говорит), значит, выходит, что лжет. Если же он лжет, то это как раз и есть то, что он открыто признает. Получается, что он говорит правду»

Примеры современных софизмов:

№18.  «Одна и та же вещь не может иметь какое-то свойство и не иметь его. Хозрасчет предполагает самостоятельность, заинтересованность и ответственность. Заинтересованность - это, очевидно, не ответственность, а ответственность - не самостоятельность. Получается вопреки сказанному вначале, что хозрасчет включает самостоятельность и несамостоятельность, ответственность и безответственность»

№19. «Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от государства, теперь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду»

Заключение

О математических софизмах можно говорить бесконечно долго, как и о математике в целом. Каждый день придумываются новые парадоксы, при этом не забываются старые, придуманные учёными много веков назад.

Понять софизм (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка.

Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Литература

1.  «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия» - М.: «Кирилл и Мефодий», 2004. – ил.

2. «Энциклопедический словарь юного математика» - Москва «Педагогика»  1985

 3.  Е.К. Серебровская «Опыт внеклассной работы по математике» - Учпедгиз - 1954

4.  http://enc-dic.com/philosophy/Sofizm-2208/

5.  http://traditio-ru.org/wiki/Софизм