Приглашение в теорию чисел

Министерство образования  и науки Российской Федерации.                                                                                           МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ                                                                  КИРОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА.                                                                                                           Адрес: 347789, Ростовская область, Веселовский район, п. Средний Маныч,                                                                                              ул. Просвещения 22А, тел. (8 633) 69 4 43.

Секция «Математика»

 исследовательский проект  на тему:

«Приглашение в теорию чисел»

                  Выполнила: ученица  8 класса                          

  МБОУ КИРОВСКАЯ СОШ

Дозина Дарья Сергеевна

Руководитель: учитель математики

МБОУ КИРОВСКАЯ СОШ

Качула Наталья Николаевна

Средний Маныч

2014г.

• Содержание

  Введение …………………………………………………………   3

1. Историческая справка………………………………………….   4

2.Теоритическая часть…………………………………………….. 6

 21.Фигурные числа…………………………………….   6

 22.Делители. ……………………………………………  8

23. Совершенные числа………………………………….. 9

 23.Алгоритм Евклида……………………………………11

3. Практическая часть………………………………………………14

                 31. Арифметические фокусы ……………………………14

                 32. Игры с числами ………………………………………16

                 33. Задачи на делимость …………………………………19

                 34. Задачи ГИА И ЕГЭ…………………………………  21

  Заключение………………………………………………………..24

 Литература ………………………………………………………  25

        Введение.

Математика- это язык, на котором говорят не только наука и техника, математика – это язык человеческой цивилизации. Она практически проникла во все сферы человеческой жизни. Современное производство, компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требует математической грамотности. Это предполагает и конкретные математические знания,  и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой.

Математическое образование вносит свой вклад  в формирование общей  культуры человека. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека,  пониманию красоты и изящества  математических рассуждений.

На уроках математики мы часто решаем задачи на смекалку, учитель нам показывает различные математические фокусы. Меня заинтересовали игры с числами,  и я решила узнать, в чем секрет данных фокусов.

        Актуальность моего исследования состоит в том, что без элементарных математических знаний нельзя освоить ни одну профессию. Умение думать, анализировать, находить оптимальное решение в сложившейся ситуации нужно уметь каждому человеку.

     Гипотеза исследования: если показать своеобразную форму демонстрации  математических закономерностей, то это повысит качество математических знаний и уровень будущих профессиональных качеств.

           Цель исследования:  Познакомиться с одной  из  ветвей  математики – теорией чисел.  Показать практическую направленность науки теория чисел             

Методы исследования:

• метод теоретического анализа учебной литературы;
• метод обобщения справочных и познавательных материалов первоисточников;
• практическое применение при решении олимпиадных задач, задач ГИА и ЕГЭ.

I.    Историческая справка.

Теория чисел – это ветвь математики, имеющая дело с целыми положительными числами

1, 2, 3,…,

которые также называются натуральными числами.

   Археология и история учат нас, что человек рано начал считать. Сначала он научился складывать числа, потом, много позже, умножать и вычитать их. Деление чисел было необходимым для распределения на равные части кучи яблок или улова рыбы. Эти действия над числами называют вычислениями. В некоторых случаях последовательность вычислений называют «калькуляцией».  Это слово происходит от латинского calculus, означающего «маленький камень», поскольку римляне пользовались морской галькой при вычислениях на своих счетных досках.

Как только люди немного научились считать, этот процесс стал приятным время провождением для многих людей, склонных к абстрактному теоретизированию. Знания о числах накапливались в течение многих веков, порождая интерес к новым исследованиям, которые в свою очередь приумножали эти накопления. И сейчас, в современной математике, мы имеем величественную конституцию, известную как теория чисел. Некоторые части этой теории все еще составляют простые игры с числами, а другие относятся к наиболее трудным и сложным разделам математики.

2. Нумерология.

          Некоторые следы размышлений о числах в давние времена можно обнаружить в суеверных предрассудках, связанных с числами. Среди чисел есть «счастливые», которым нужно отдавать предпочтение и радоваться при встрече с ними, и «несчастливые»,  которых нужно остерегаться,  как дурного глаза. Мы обладаем обширными сведеньями о нумерологии в античной Греции, мыслях и предрассудках, связанных с символическим значением  различных чисел. Например, нечетные числа, большие единицы, символизировали мужское начало, а четные - женское; таким образом, число 5 – сумма первого мужского и первого женского чисел – символизировало супружество или союз.

  Желающие познакомиться с более развитой «теорией» магических чисел могут сделать это, прочтя восьмую книгу «Республики» Платона. Такая «наука» мало  что дает в смысле математических идей, но она содержит умение обращаться с числами и их свойствами.  Некоторые замечательные проблемы в теории чисел, до сих пор занимающие умы математиков, берут свое начало из греческого учения о магических числах.

          До сих пор у нас нет оснований считать себя выше предрассудков, связанных с числами. Вероятность, у каждого есть знакомые, которые ни за что не посадят за стол 13 гостей, а как мало в гостиницах США этажей и комнат с номером 13. По существу, мы не знаем, откуда взялись подобные «табу» на числа. Существует множество всевозможных объяснений,  но большинство из них совершенно безосновательны.  Например, в «Библии» записано, что на Тайном вечере было 13 гостей, разумеется, тринадцатым был Иуда. Если же заметить, что многие предметы считаются дюжинами, а число 13 дает «чертову дюжину», т. е. лишний предмет, то это соображение имеет больший реальный смысл.

  В «Библии», особенно в «Ветхом завете», особую роль играет число 7, в древнегерманском фольклоре часто встречаются числа 3 и 9, индусы же, как видно из их мифологии, неравнодушны к 10.

3. Задача Пифагора.

  Примером ранней теории чисел может служить задача Пифагора. Как мы знаем, в прямоугольном треугольнике длины сторон удовлетворяют соотношению Пифагора

с2   = a2+b2,

где  c – длина гипотенузы. Это дает возможность в прямоугольном треугольнике вычислить длину одной стороны, если известны две другие. Между прочим, то, что эту теорему называли в честь греческого философа Пифагора, не совсем справедливо: она была известна вавилонянам почти за 2000 лет до Пифагора.

  Иногда все длины сторон  a, b, c  выражаются целыми числами. Простейший случай,

а=3, в=4, с =5,

был найден на вавилонских глиняных табличках.

В Древнем Египте еще за 2000 лет до нашей эры прямой угол строили так. На веревке на равных расстояниях друг от друга и от концов завязывали 11 узелков. Затем концы веревки связывали так, чтобы образовавшийся узел оказался на таком же расстоянии от соседних с ним. Веревку растягивали, держа за узелки так, что между первым и вторым растягивающим было 2 узелка, а между вторым и третьим три узелка. Построением прямых углов занимались специалисты гарпедонавты – натягиватели веревок, которые не посвящали в тайну построения прямого угла посторонних египтян.[стр.145 Г.К. Муравин «Математика 5кл»].

 Существует много других целочисленных решений уравнения Пифагора, например,

а =5, в =12, с =13,

а =7, в =24,с =25,

а =8, в =15, с=17.

  Способ находить их был известен древним грекам, а возможно, и вавилонянам.

          Если даны два целых числа, x и y, то всегда можно найти соответствующее число z, удовлетворяющее уравнению, но вполне возможно, что z будет иррациональным числом. Если же потребовать, чтобы все три числа были целыми, то тогда возможности существенно ограничиваются.  Греческий математик Диофант ( приблизительно 200г. нашей эры) написал книгу Arithmetica («Арифметика»), в которой рассматриваются такие  задачи. С этого времени задача нахождения целочисленных или рациональных решений уравнений называется задачей  Диофанта, а диофантов анализ – важная часть современной теории чисел.

II. Теоретическая

   21.  Фигурные числа.

  В теории чисел мы часто встречаемся с квадратами, т. е. такие числа, как

32=9, 72=49, 102=100,

и аналогично с кубами, т. е. такими числами, как

23=8, 33=27, 53=125.

Этот геометрический образ рассматриваемой операции с числами является частью богатого наследства, оставленного древнегреческими мыслителями. Греки  предпочитали думать о числах, как о геометрических величинах: произведение c=a . b рассматривалось как площадь прямоугольника со сторонами a и b. Также можно было рассматривать a . b  как число точек в прямоугольной таблице с a точками на одной стороне и с b точками на другой. Например, 20= 4 . 5 есть число точек в прямоугольной таблице.

          Любое целое число, которое является произведением двух целых чисел, можно было бы назвать прямоугольным числом. Когда две стороны прямоугольника имеют одну и ту же длину, то такое число является квадратным числом, или квадратом. Некоторые числа нельзя представить в виде прямоугольных чисел иначе, как тривиальным способом – в виде цепочки точек, лежащих на одном ряду. Например, пять может быть представлено как прямоугольное число лишь единственным способом, взяв одну сторону равной единицы, а другую пяти. Такие числа греки прозвали простыми числами. Точка, взятая в одном экземпляре, не рассматривалась как число. Число 1 являлось тем кирпичом, из которого строились все остальные числа. Таким образом, 1 не была для них и не считается сейчас простым числом.

          Можно было бы рассматривать точки, равномерно заполняющие не только прямоугольники и квадраты, но и другие геометрические фигуры.

  В общем случае n-е треугольное число задается формулой

Tn=1/2n(n+1), n=1, 2, 3, . . .

  У этих чисел масса интересных свойств: например, сумма двух последовательных треугольных чисел является квадратом

1+3=4, 3+6=9, 6+10=16 и т. д.

  Можно показать, что n-e пятиугольное число выражается формулой

Pn=1/2(3n2 - n).

Шестиугольные числа, и вообще k-угольные числа, аналогично определяются с помощью правильного k-угольника.  Фигурные числа,  особенно треугольные, пользовались большой популярностью при изучении чисел в конце эпохи Возрождения, после того как греческая теория чисел проникла в Западную Европу. И сейчас их можно иногда встретить в статьях по теории чисел.

          Проводя анализ такого геометрического представления чисел, можно получить несколько простых соотношений. Например:   если  складывать последовательно нечетные числа, мы все время будем получать квадраты,  

1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16  и т. д.

 22 . Делители и кратные.

Разложим на множители какое-нибудь число, скажем, 3600.  Это разложение

3600=2•2•2•2•3•3•5•5

может быть записано как

3600=24•32•52

Вообще при разложении числа n на множители аналогично можно собирать одинаковые простые множители в виде степеней и записывать

n=p1a1•p2a2•…•prar,

где p1, p2, … , pr -  различные простые множители числа n, причём число p1 входит a1  раз, p2  входит a2 раз и т. д.

        Если мы знаем вид для числа, то мы сможем тотчас же ответить на некоторые вопросы об этом числе.

        Например, если мы захотим, то можем узнать, какие числа делят n. Возьмем  для примера рассмотренное выше число 3600. Предположим, что число d является одним из его делителей, т. е.

3600 = d • d1

Приведенное разложение на простые множители показывает, что единственными числами среди множителей числа d будут лишь 2, 3, 5. Кроме того, число 2 может содержаться не более 4 раз, а числа 3 и 5 не более, чем по 2 раза каждое. Итак, мы увидим, что возможными делителями  числа 3600 будут числа вида

d = 2δ1•3δ2•5δ2

При этом показатели степени могут принимать значения:

δ1= 0, 1, 2, 3, 4;    δ2= 0, 1, 2;  δ3= 0, 1, 2.

Так как эти значения могут сочетаться всеми возможными способами, то число делителей равно

(4+1)(2+1)(2+1)= 5•3•3= 45.

        Для любого числа n, разложение которого на простые множители дается формулой   n=p1a1•p2a2•…•prar, положение точно такое же. Если число d является  делителем  числа n т. е.

n = d• d1,

то единственными простыми числами, на которые может делиться число

d, будут  только те, которые делят число n, а именно: p1, …, pr. Таким образом, мы можем записать разложение числа d на простые множители в виде

d= p1δ1•p2δ2•…•prδr.

Простое число p1 может содержаться не более а1 раз, как и в самом числе n; аналогично – для p2 и других простых чисел. Это значение для числа δ1 мы можем выбрать а1+1 способом:

δ1= 0, 1, …, а1;

аналогично и для других простых чисел. Так как каждое из  а1+1  значений, которые может принимать число δ1, может сочетаться с любым из а2+1 возможных значений числа δ2 и т. д., то мы видим, что общее число делителей числа n задается формулой

τ(n)= (а1+1) (а2+1)… (аr+1).

23. Совершенные числа.

        Нумерология (или гематрия, как ее еще иногда называют) была распространенным увлечением у древних греков. Естественным наблюдением этому является то, что числа в Древней Греции изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число.  Люди могли сравнивать свойства чисел, соответствующих их именам.

        Делители  чисел играли важную роль в нумерологии. В этом смысле идеальными или, как их называют, совершенными числами являлись такие числа, которые составлялись из своих аликвотных частей, т. е. равнялись сумме своих делителей. Здесь следует отметить, что древние греки не включали само число в состав его делителей.

        Наименьшим совершенным числом является 6:

6 = 1+ 2 + 3.

За ним следует число 28:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Далее число 496:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Часто математик, увлеченный решением какой-либо проблемы и имеющий одно или несколько частных решений этой задача, пытается найти закономерности, которые смогли бы дать ключ  к нахождению общего решения. Указанные нами совершенные числа могут быть записаны в виде

6 = 2 * 3= 2 (22 – 1),

28 = 22 * 7= 22 (23 - 1),

496 = 24 * 31 = 24 (25 – 1).

Это наталкивается на гипотезу:

Число является совершенным, если оно представляется в виде

P = 2p-1 (2p – 1) = 2p-1q,

где

q = 2p – 1

является простым числом Мерсенна.

Этот результат, известный ещё грекам, несложно доказать. Делителями числа P, включая само число P, очевидно, являются следующими числами:

1, 2, 22, …, 2p-1,

q, 2q, 22q, …, 2p-1q.

Запишем сумму этих делителей

1 + 2 + … + 2p-1  + q (1 + 2+ … + 2p-1),

которая равна

(1 + 2 + … + 2p-1)(q + 1) = (1 + 2 + … + 2p-1) 2p

Т.е.

S = 1 + 2+ … + 2p-1,

Умножим  эту сумму на 2:

2S = 2 + 22 + … +2p-1 + 2p,

а затем, вычтя S, получим

S = 2p – 1 = q.

Таким образом, сумма всех делителей числа P есть

2pq = 2 * 2p-1q,

а сумма всех делителей, кроме самого числа P = 2p-1q,  равна

2* 2p-1q – 2p-1q = 2p-1q = P.

Итак, наше число является совершенным.

Из этого результата следует, что каждое простое число Мерсенна порождает совершенное число. Известно всего 23 простых числа Мерсенна, следовательно, мы знаем также и 23 совершенных числа.

24.Алгоритм Евклида.

Вновь вернёмся к дробям a/b. Если a < b, то дробь является числом, большим 1, и мы часто разделяем её на целую часть и правильную дробь, меньше единицы.

Пример. Мы пишем

  = 6+  = 6  ,  = 9 + = 9.

В общем случае мы используем деление с остатком чисел a и b (a больше или равно b), а именно:

a = qb + r, где 0 ≤ r ≤ b – 1.

Очевидно, что это всегда возможно. Действительно, рассмотрим

чисел 0, 1, 2, … на числовой прямой.                        r

    0   1   2              b                        2b                   3b          a

Где-то на этой прямой расположено число a. Начиная от точки 0 станем отмечать точки b, 2b, 3b  и т. д. до точки qb такой, что qb не больше a. Расстояние от точки qb до точки a и есть r. Мы называем число r остатком при делении, а q – частным. Это частное q встречается столь часто, что имеется специальный символ для его обозначения:

q = [a/b].

Этот символ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее числа a/b. Для примеров, приведенных выше, получим

[32/5] = 6,  [63/7] = 9.

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел a и b:

d0= D (a, b).

Чтобы найти число d0, мы полагали, что мы знаем разложения чисел a и b на  простые множители. Однако нахождение таких разложений может оказаться очень трудным занятием для больших чисел. Существует совсем другой метод для нахождения наибольшего общего делителя, который не использует подобных разложений. Он основан на следующем:

Если a = qb + r,  где 0 ≤ r ≤ b – 1, то

D(a, b) = d = D(r, b).

Доказательство. Запишем

d0 = D (a, b),  d1 = D (r, b).

Таким образом, доказательство соотношение обозначает доказательство того, что d0 = d1. Любой общий делитель чисел a и b также делит число

r = a – qb.

Следовательно, число r делится на d0.

 Так как число d0 является делителе как числа r, так и числа b, то оно должно делить и число d1 = D (b, r); отсюда d1 ≥ d0. С другой стороны, в соответствии с соотношением любой общий делитель чисел r и b делит число a, откуда число d1 делит число a. Так как число d1 делит также и число b, то оно должно делить и число d0 = D (a, b), следовательно, d0 ≥  d1. Из сказанного следует, что d0 = d1.

Пример. 1066 = 5 * 200 + 66; следовательно, (1066, 200)=(66,200).

Этот результат, сформированный в утверждении, дает нам простой метод вычисления наибольшего общего делителя двух чисел. Вместо поисков наибольшего общего делителя чисел a и b достаточно найти наибольший общий делитель чисел r и b, мы вновь воспользуемся тем же методом и разделим число b на r:

b = q1r + r1,

где r1 меньше каждого из чисел b и r. В соответствии с правилом мы получим

d0 = D (a, b) = D (b, r) = D (r, r).

Далее таким же способом обращаемся с числами r и r1 и т. д. В результате получаем последовательность пар чисел, каждая из которых имеет один и тот же наибольший общий делитель:

d0 = D (a, b) = D (b, r) =

= D (r, r1) = D (r1, r2) = …

Так как остатки постоянно уменьшаются , то эта последовательность должна закончится после получения остатка rk+1= 0. Это происходит при делении

rk-1 = qk+1rk + 0,

т. е. число rk делит число rk-1. Тогда

D (rk-1, rk) = rk,

Видим, что

d0 = D (a, b) = rk.

Другими словами, число d0 равно первому из остатков, который делит предшествующий остаток.

 Пример. Найдем наибольший общий делитель чисел 1970 и 1066. Когда мы разделим одно число на другое и продолжим этот процесс дальше, как было выше рассказано, то найдем

1970 = 1 * 1066 + 904,

1066 = 1 * 904 + 162,

904 = 5 * 162 + 94,

162 = 1 * 94 + 68,

94 = 1 * 68 + 26,

68 = 2 * 26 +16,

26 = 1 * 16 + 10,

16 = 1 * 10 + 6,

10 = 1 * 6 + 4,

6 = 1 * 4 +2,

4 = 2 * 2 + 0.

Следовательно, (1970, 1066) = 2.

 Этот метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел называется алгоритмом Евклида, так как первое его описание содержится в «Началах» Евклида. Этот метод очень удобен для применения в вычислительных машинах.  

III. Практическая часть.

  31.Арифметические  фокусы.

1. Приведу отрывок из повести известного писателя В. Я. Шишкова «Странники».

«— А хочешь, я покажу тебе арифметический фокус-покус? Ахнешь.

— Ой! А ну покажите, миленький.

Иван Петрович вырвал из блокнота страничку, подал мальчонке, спросил:

— Карандаш есть? Пиши любое пятизначное число.

Мальчонка написал. Иван Петрович мельком взглянул на это число, написал на  отдельном клочке бумаги свое какое-то число, сунул бумажку в солому и прикрыл шляпой.

— Пиши под ним другое. Написал? Теперь я сам напишу третье. Теперь все три числа складывай. Только тщательней, не ври.

Через две минуты был готов проверенный ответ. Инженер Вошкин подал свои выкладки:

    46853

+  21398

     78601

   146852.

— Сто сорок шесть тысяч восемьсот пятьдесят два, Иван Петрович.

— Долго считаешь. А у меня — вот он ответ. Я уж знал его, когда ты еще первое число написал. Вот. Тяни из-под шляпы.

Мальчонка выхватил бумажку. Там значилось: 146852. Удивленное лицо  инженера Боткина вытянулось, и волосы на голове встопорщились. С боязнью, с  удивлением он таращил глаза на Ивана Петровича.

— Ну... вот... как же?.. А?»

В самом деле, как же это, а?

Решение: Секрет данного фокуса в том, что, записывая третье число,  водящий  в сумме с предыдущим числом должен получить число 9 999 .

     46853

+  21398            9 999

     78601

146852.

Тогда отняв от первого числа 1 и прибавив к 9 999, получим 10 000+46852 = 146 852.  Таким образом, можно предугадать ответ.

2. Рассмотрим еще одну   задачу из книги   «Живая математика» широко известного в нашей стране автора многих популярных, интересно написанных книг по математике, физике и астрономии Я. И. Перельмана. Дело происходит в доме  отдыха, где во время дождя отдыхающие собрались в столовой и развлекаются тем, что

по очереди предлагают присутствующим головоломки. Вот одна из них:

«— Пусть кто-нибудь из вас, хотя бы вы, товарищ председатель, запишет на  бумажке тайно от меня любое трехзначное число...

— Написал. Что теперь?

— Припишите к нему это же число еще раз. У вас получится, конечно,  

шестизначное число.

— Есть. Шестизначное число.

— Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит

это шестизначное число на семь.

— Легко сказать: разделить на семь! Может, и не разделится.

— Не беспокойтесь, поделится без остатка.

— Числа не знаете, а уверены, что поделится.

— Сначала разделите, потом будем говорить.

— На ваше счастье разделилось.

— Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.

— Думаете, опять повезет — разделится?

— Делите, остатка не получится.

— В самом деле без остатка! Теперь что?

— Передайте результат дальше. Разделим его... ну, скажем, на 13.

— Нехорошо выбрали. Без остатка на 13 мало чисел делится...

Ан нет, разделилось нацело. Везет же вам!

— Дайте мне бумажку с результатом, только сложите ее, чтобы я не видел числа.

Не разворачивая листа бумаги, «фокусник» вручил его председателю.

— Извольте получить задуманное вами число. Правильно?

— Совершенно верно! — с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку. —  Именно это я и задумал...».

Так в чем же дело — почему после таких операций получается первоначальное  трехзначное число?

Решение: Если трехзначное число авс умножить на 1001, то получиться число  авсавс. Например 123*1001=123123. Число 1001 разложив на простые множители, получим 1001=7*11*13. Поэтому, зная это свойство, можно показать фокус.

32.Игры с числами.

Существует множество видов игр с числами, некоторые были известны ещё в средние века. Большинство из них не представляет интереса для теории чисел, скорее всего, они,  подобно магическим квадратам принадлежат к классу кроссвордов с числами.  Рассмотрим один такой кроссворд.

Перед нами  телеграмма, посланная школьником домой,  с настоятельной просьбой:          S  E  N  D

                          M  O R  E

                     M O  N  E  Y

Перевод: Вышлите побольше денег.

Будем рассматривать эту схему, как  сложение двух четырехзначных чисел SEND и MORE в сумме дающих число MONEY. Каждая буква означает определенную цифру. Так как всего 10 цифр, то в каждой такой задаче может фигурировать не более 10 букв, в этом примере 8. В идеальном случае задача должна иметь единственное решение.

В нашем примере очевидно, что

M = 1,

так как M – первая цифра либо сумма S + M, либо S + M + 1, где S и M – числа, не превосходящие числа 9. Тогда для числа S имеются две возможности:

S = 9   или   S = 8

так как либо S + 1, либо S + 1 + 1 есть двузначное число. Установим сначала, что S не может быть цифрой 8, ибо, если бы S было 8, то должен был быть перенос из колонки сотен, что дает

S + M + 1 = 8 + 1 + 1 = 10

при сложении в колонке сотен. Следовательно,  O должно было быть нулем и наше послание читалось бы так:

                          8  E  N  D

                          1  O R  E

                      1 O  N  E  Y

Но, исследуя колону сотен, находим, что обязательно должен быть перенос из колонки десятков (иначе E + 0 = E, а не N),  и так как E ≤ 9, то

E + 0 +1 = 10.

Это вынудило бы нас положить N = 0, но мы уже знаем, что O = 0, поэтому такой случай невозможен, и мы заключаем, что S = 9, и послание читается так:                   9  E  N  D

                          1  O R  E

                     1 O  N  E  Y

Так как E ≠ N, то сложнее в колонке сотен приводит к условию

E + 1 = N,

                                                   9  E  Е+1  D

                                                   1  0  R    E

                                               1 0  Е+1   E   Y

  Сложение в колонке десятков дает либо

E + 1 + R = 10+Е, либо E + 1 + R + 1 = 10 + E.

Первый случай невозможен, так как он дает R = 9, что противоречит тому, что S = 9. Во втором случае

R = 8,

 и послание читается так:              9  E  Е+1  D

                                                         1  0    8    E

                                                    1 0   Е+1  E  Y

И наконец, сумма в колонке единиц такова:

D + E = 10 + Y.

Для трех букв D, E, Y  остается только значения 2, 3, 4, 5, 6, 7. Наибольшая сумма двух различных чисел равна 13. Отсюда существует всего две возможности для Y: либо Y = 2, либо Y = 3. Последний случай невозможен, так как при этом  D + E = 13, но мы не можем иметь E = 7, так как тогда N =  = E + 1 = 8 = R; также не может быть D = 7, так как тогда E = 6 и

N = E + 1 = 7 = D.

Таким образом, Y = 2 и D + E = 12. Из имеющихся цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 единственной парой, в сумме дающей 12 являются 5 и 7. Так как E ≠ 7, то это означает, что D = 7, E = 5 и, таким образом, единственное решение нашей задачи следующее:  

                          9  5   6  7

                          1  0  8   5

                      1 0  6   5   2

Такие числовые  головоломки встречаются на олимпиадных заданиях для 3-7 классов.

33. Задачи на делимость.

             Задача1. Найдите все целые m, при которых значения дроби являются целыми числами.

            Для выделения целой части дроби разделим ее числитель на знаменатель

«углом» — по аналогии с делением многозначного натурального числа на другое  натуральное число. Получаем:

  2m2 +m-8   m-1
2m2 -2m      2m +3

         3m-8

         3m-3

              -5

Частное 2m + 3 и является целой частью данной дроби. Тогда

 =   2m+3  -

А теперь обычный путь: перебираем все делители числа 5.

Ответ: 6, 2, 0, -4.

Задача 2. Коле в домашнем задании нужно было возвести некоторое натуральное число в квадрат. Вместо этого он по ошибке удвоил это число и получил двузначное число, записанное теми же цифрами, что и квадрат числа, но в обратном порядке.

Каким должен быть верный ответ?

Решение:  Обозначим первоначальное число через х, его квадрат — через - ab.   Тогда  х2 = ав,

                               2х = ва.

Отсюда видно, что число х однозначно.

Сложим уравнения этой системы и упростим:

x(x + 2)=ll(fl + Z).

Тогда или х, или х + 2 равно 11. Но равенство х =11 невозможно, а при х + 2 = 11  находим: х = 9,   ab=81

Нужна еще проверка по второму уравнению системы.                          При х = 9, а = 8, в = 1 , 2 *9 = 18 равенство выполняется.

Ответ: 81.  

Задача 3.Одного математика спросили: «Сколько вам лет?» Он ответил  

замысловато: «Число моих лет имеет нечетное число различных делителей, а число этих  делителей также имеет нечетное число различных делителей». Так сколько же ему лет?

Решение:  На основании утверждения «Квадрат числа имеет нечетное количество делителей»,  число лет математика должно быть точным квадратом. Выпишем все такие числа:

           4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169

(идти дальше, видимо, нереально). Подсчитаем число делителей каждого из этих  чисел. Получим соответственно:

          3, 3, 5, 3, 9, 3, 7, 5, 9, 3, 15, 3.

Среди них, в свою очередь, найдем числа, являющиеся точными квадратами.  Такое число одно — 9. Оно встречается в двух местах, поэтому и число лет математика принимает два значения, которые можно найти на соответствующих местах первой строки.

Ответ: 36 или 100.  

Задача 4. Найдите все такие тройки попарно взаимно простых натуральных чисел,

что сумма любых двух из них делится на третье.

Решение:  Обозначим эти числа через а, в и с. Тогда

(а + b) :c,  (a + c) : b,  (в + с) : а.

Так как   числа a, b и с по условию попарно взаимно просты, то система трех делимостей равносильна одной:

(а + b + c)/abc

Пусть  a < b < с. Получаем:

abc < a + b+ с < с + с + с = 3с,

откуда abc < Зс,  ab< 3. Рассмотрим три случая.

1) Пусть а = в= 1.

Тогда делимость (а + в)/с принимает вид 2-е, а значит, с = 1 или с = 2. В каждом из этих подслучаев делимости (а + с)/в и (в + с)/а выполняются.

2) Пусть а = 1, b = 2. следовательно  с = 1 или с = 3. Значение с = 1 нужно отбросить, а при  с = 3 получаем верные делимости 4:2 и 5: 1.

Случай а = 2, 6 = 1 рассматривать не нужно, поскольку должно выполняться  неравенство а < в.

3) Пусть a= 1,b = 3. Тогда 4/с, а значит, с = 4. Но в этом случае делимость (а + с)/в принимает вид 5:3, что неверно.

Ответ: 1,1,1; 1,1, 2; 1,2, 3.  

34.Задачи  Гиа и ЕГЭ.

Задача 1(ГИА). Отец и сын шли по занесенной снегом дороге друг за другом. Длина шага отца — 80 см, сына — 60 см. Их шаги совпали 601 раз, в том числе в самом начале и в конце пути. Какое расстояние они прошли?

Решение: Найдем расстояние, которое прошли отец и сын от одного совпадения  шагов до следующего. Оно равно наименьшему общему кратному чисел 80 и 60, т. е. 240 см = 2,4 м. Значит, весь путь, который они прошли, равен

600 • 2,4 м = 1440 м = 1 км 440 м.

Ответ: 1 км 440 м.  

 Задача 2(ЕГЭ) Докажите, что пятая степень натурального числа оканчивается той же  цифрой, что и само число.

Решение: Обозначим исходное натуральное число через а. Числа а и а5 оканчиваются одной и той же цифрой тогда и только тогда, когда разность (а5 — а) делится на 10.

(а5-а): 10.

То, что эта разность делится на 2, очевидно: числа а и а5 имеют одинаковую  

четность, поэтому их разность четна.

Но разность (а5 – а) делится и на 5 на основании утверждения « Если уменьшаемое и вычитаемое делиться на данное число, то и разность делиться на данное число»

Утверждение задачи    можно обобщить. Так как степень а5 оканчивается той

же цифрой, что и число а, то:

а6 оканчивается той же цифрой, что и а2;

а7 — той же цифрой, что и а3;

а8 — той же цифрой, что и а4;

а9 — той же цифрой, что и а5, т. е. той же цифрой, что и а;

а10 — той же цифрой, что и а6, т. е. той же цифрой, что и а2, и т. д.

Сформулируем общий результат.

Если у степени an где а и n — натуральные числа, показатель n имеет вид  4к + 1, 4к + 2,  4к + 3 или 4к (к € N), то аn оканчивается той же цифрой, что и соответственно а, а2, а3 или а4.

Для применения этого правила нужно показатель степени n  разделить на 4 с

остатком г и найти последнюю цифру степени аг, если г ≠0, и степени а4, если г = 0.

Например, если нужно найти последнюю цифру степени 791, то после деления показателя степени на 4 с остатком: 91 = 4 • 22 + 3, получаем, что последняя цифра степени 791 равна последней цифре степени 73, т. е. 3.

Задача3(ЕГЭ)

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение. 

Пусть среди написанных чисел  положительных,  отрицательных и  нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому .

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому  — количество целых чисел — делится на 4. По условию , поэтому . Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство  к виду . Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

воценка) Подставим  в правую часть равенства : , откуда . Так как , получаем:     то есть положительных чисел не более 17.

впример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число  и два раза написан 0. Тогда , указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Заключение.

  Изучив свойства   чисел  и систематизировав полученные знания, мне еще больше понравилось заниматься математикой. Надеюсь, что опыт выполнения этой работы пригодится мне в будущем. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся при подготовке к итоговой аттестации, олимпиадам.

 Я составила сборник математических фокусов и игр, который  используется при проведении внеклассных мероприятий в начальной и основной школе.

•   Список использованной литературы.
• 1. Гарднер М     Математические чудеса и тайны. – Москва  «Наука» 1978г.

2. Гнеденко  Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика. –Москва: Просвещение, 1985

3. Лысенко Ф.Ф. «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011» Ростов-на-Дону, «Легион-М» 2010г.

4. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2013» НИИ школьных технологий , 2013г.

5. Оре О. «Приглашение в теорию чисел» Библиотечка КВАНТ - Москва  «Наука» 1980г

6. Перельман  Я.И.   Живая математика. – Москва  «Наука» 1978г.