Как считать, чтобы не считать?

Секция математики

Реферат

Как считать, чтобы не считать?

Выполнили:

Воронина Екатерина,

Евтушенко Татьяна,

ученицы 6 класса б МОУ «Лицей №15»

Руководитель:

С. В.Теленгатор 

Г. Саров

2006 год

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

1. Таблица умножения на пальцах…………………………………………..5
2. Индусский способ умножения чисел……………………………………..7
3. Умножение на 11, 111……………………………………………………...8
4. Умножение на 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 и 99……………………………...9
5. Умножение чисел оканчивающихся на 5………………………………..10
6. Умножение и деление на 25 и 75…………………………………………12
7. Устное умножение и деление на 37………………………………………13
8. Устное умножение двух рядом стоящих чисел………………………….14
9. Умножение чисел оканчивающихся на 1………………………………...15
10. Возведение чисел в квадрат

1. Возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5………………16
2. Возведение в квадрат чисел от 50 до 60…………………………...17

Заключение………………………………………………………………………..19

Литература…………………………………………………………………….......20

                                                    Введение

                                                       Численные вычисления вам  понадобятся

                                                        каждый день, поэтому методы их

                                                        производства и должны быть усвоены

                                                        в первую голову.

                                                                                                        А. H. Крылов.

    Нет нужды доказывать справедливость этого выразительного высказывания крупного советского ученого в области математики, механики и кораблестроения, академика A. H. Крылова (1863-1945). Это можно утверждать хотя бы потому, что и юному читателю требуется считать ежедневно: дома, в магазине, в трамвае, на различных уроках в классе и т. д.

  Более сложные вычисления выполняют представители многих современных профессий, особенно таких, как профессия инженера-конструктора, астронома, ученого в области физико-математических дисциплин.

  Электронные вычислительные машины не освобождают от необходимости настойчиво овладеть вычислительной культурой. При рассмотрении основных приемов упрощения арифметических действий мы остановимся главным образом на такого рода вычислениях, для которых достаточно устного счета или применение в некоторых случаях карандаша, ручки и бумаги.

   Счет  в уме (устные вычисления) является самым древним и простым способом вычислений. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки результатов механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико - математического цикла.

Еще Платон заметил, что люди с природными способностями к счету бывают восприимчивы ко всем наукам. Даже все те, кто туго соображает, если они обучаются этому и упражняются, то становятся более восприимчивыми, чем были раньше. Надеемся, что рассмотренные приемы устных вычислений вызовут интерес, казалось бы, к скучному, процессу расчетов.

.

Таблица умножения на пальцах

        Пусть надо перемножить числа 6 и 7 . Загнем на одной руке столько пальцев, на сколько первый сомножитель превышает 5  (в нашем случае

6 - 5 = 1 палец), а на другой руке столько пальцев, на сколько второй сомножитель превышает 5 (в нашем случае 7 – 5 = 2 пальца). Если сложить количества загнутых пальцев и перемножить количества не загнутых пальцев, то получится соответственно число десятков 1 + 2 = 3 и число единиц

4 х 3 = 12, а сумма 30 + 12 = 42 как раз и будет равна произведению 6 х 7.

Умножение на 9 с помощью пальцев

Этот способ настолько прост, что его может освоить любой ребенок, знакомый лишь с элементарным счетом. Пусть нужно умножить 6 на 9. Положив обе руки на стол, приподнимем шестой палец, считая слева направо. Тогда количество пальцев слева от поднятого укажет цифру десятков (в нашем случае 5), а количество пальцев справа от поднятого укажет цифру единиц (равную 4),  т. е. искомое произведение будет равно 54 .

Индусский способ умножения чисел

        Суть его становиться очевидной из рассмотрения следующей схемы умножения:

1. 83 х 54 = 4 482

8                               3

               5                4

        Единицы произведения получаются только от умножения единиц сомножителей. Цифрой единиц произведения будет 2, один десяток запоминаем. Десятки получаются от умножения десятков на единицы:

8 десятков умножаются на 4, получаются 32 десятка; 5 десятков умножаются на  3, получаются 15 десятков. Всего десятков 32 + 15 + 1 = 48(десятков). Окончательной цифрой десятков произведения будет 8. Четыре сотни запоминаем. Сотни произведения получаются от умножения десятков сомножителей:

8 десят. х  5 десят. = 40 сот.

Всего сотен: 40 + 4 = 44 (сотни). Окончательно получаем 4482.

2. 324 х 567 = 83 708

Для умножения трехзначных чисел индусским способом схема становиться более громоздкой.

        Единицы произведения получаются от умножения единиц сомножителей. Десятки – от умножения десятков сомножителей на их единицы. Сотни – от умножения сотен на единицы и десятков на десятки. Тысячи – от умножения тысяч на единицы, десятков на сотни и т.д. Зная это результат можно записать сразу.

Умножение на 11, 111

        Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10. умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

                       72 х 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

                       35 х 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

        Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа. Поставить между ними сумму этих цифр. А затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

94 х 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Кто знает, как умножать на 11, может легко  умножать на 111 . Если сумма цифр меньше 10, то легло умножать на 111, 1111 и т. д.:

                      24 х 111 = 2( 2 + 4 )( 2 + 4 )4 =2664;

                      36 х 111 = 3( 3 + 6 )( 3 + 6 )6 =3996.

Чтобы число умножить на 111, надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т. д. шагов, сложить цифры и записать между раздвинутыми цифрами.

                      72 х 111 111 = 7 999 992.

Раздвинуть 7 и 2 на 5 шагов. Если 7 единиц, то шагов будет на 1 меньше, т.е.6.

Если будет 9 единиц – 8 шагов и т. д.

Немного сложнее, если сумма цифр будет равна 10 и более 10.

48 х 111 = 4( 4 + 8 )( 4 + 8 )8 = 4 ( 12 ) ( 12 ) 8 = (4 + 1 ) ( 2 + 1 )28 =   =5328;

75 х 111 = 7( 7 + 5 ) ( 7 + 5 )5 =7 ( 12 ) (12) 5 = 8325.

В этом случае надо к первой цифре 7 прибавить 1, получим 8, при сложении 7 и 5 получится 12, следовательно, 2 + 1 = 3, а 2 и 5 оставляем без изменения. Получаем ответ 8325.

85 х 111 = ( 8 + 1 ) ( 3 + 1 ) 35 = 9435;

69 х 111 = ( 6 + 1 ) ( 5 + 1 ) 59 = 7659.

Умножение на 22, 33, …, 99

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, …, 99, надо последнее число представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, т.е. 44 = 4 х 11; 55 = 5 х 11 и т.д. затем произведение первых чисел умножить на 11.

48 х 22 = 48 х 2 х (22 : 2) = 96 х 11 = 1056;

24 х 22 = 24 х 2 х 11 = 48 х 11 = 528;

23 х 33 = 23 х 3 х 11 = 69 х 11 = 759;

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792;

16 х 55 = 16 х 5 х 11 = 80 х 11 = 880;

16 х 66 = 16 х 6 х 11 = 96 х 11 = 1056;

14 х 77 = 14 х 7 х 11 = 98 х 11 = 1078;

12 х 88 = 12 х 8 х 11 = 96 х 11 = 1056;

8 х 99 = 8 х 9 х 11 = 72 х 11 = 792.

Кроме того, можно применить закон об одновременном увеличении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении другого:

28 х 33 = ( 28 х 3 ) х (33 : 3 ) = 84 х 11 = 924 и т. д.

Умножение на число, оканчивающееся на 5

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, следует применить правило:  если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой – уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

44 х 5 = (44 : 2) х 5 х 2 = 22 х 10 = 220;

28 х 15 = (28 : 2) х 15 х 2 = 14 х 30 = 420;

32 х 25 = (32 : 2) х 25 х 2 = 16 х 50 = 800;

26 х 35 = (26 : 2) х 35 х 2 = 13 х 70 = 910;

36 х 45 = (36 : 2) х 45 х 2 = 18 х 90 = 1620;

34 х 55 = (34 : 2) х 55 х 2 = 17 х 110 = 1870;

18 х 65 = (18 : 2) х 65 х 2 = 9 х 130 = 1170;

12 х 75 = (12 : 2) х 75 х 2 = 6 х 150 = 900;

14 х 85 = (14 : 2) х 85 х 2 = 7 х 170 = 1190;

12 х 95 = (12 : 2) х 95 х 2 = 6 х 190 = 1140.

При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе второго десятка. Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа:

        1)  48 х 65 = (48 : 2) х 65 х 2 = 24 х 130 = (24 х 10 + 24 х 3) х 10 =

   (240 + 72) х 10 = 312 х 10 = 3120;

 2)  36 х 85 = (36 : 2) х 85 х 2 = 18 х 170 = (18 х 10 + 18 х7) х 10 =

      (180 + 126) х 10 = 306 х 10 = 3060.

Чтобы научиться быстро умножать на 65, 75, 85 и 95, надо хорошо знать, как умножать устно такие двузначные числа:

        14 х 18 = 14 х ( 10 + 8 ) = 14 х 10 + 14 х 8 = 140 + 112 = 252;

        13 х 19 = 13 х ( 20 – 1 ) = 13 х 20 – 13 = 260 – 13 = 247.

При умножении пары чисел, у которых цифры десятков были четные или нечетные, а цифра единиц 5, надо перемножить цифры десятков и к произведению прибавить полусумму этих цифр . Получим число сотен. К числу сотен надо прибавить произведение 5 х 5 = 25.

85 х 45 = (8 х 4 + ) сотен + 5 х 5 = ( 32 + 6 ) х 100 + 25 = 3825;

35 х 55 = (3 х 5 + ) х 100 + 25 = 1925.

                          Умножение и деление на 25 и 75

Для того чтобы устно научиться умножать на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.

4 х 1 = 4;                                            4 х 6 = 24;

4 х 2 = 8;                                            4 х 7 = 28;

4 х 3 = 12;                                          4 х 8 = 32;

4 х 4 = 16;                                          4 х 9 = 36;

4 х 5 = 20;                                          4 х 10 = 40;

Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

484 х 25 = (484: 4) х 25 х 4 = 121 х 100 = 12 100;

124 х 25 = (124 : 4) х 25 х 4 = 3100.

Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

32 х 75 = ( 32 : 4 ) х 75 х 4 = 8 х 300 = 2400;

48 х 75 = ( 48 : 4 ) х 75 х 4 = 12 х 300 = 3600.  

                   Устное умножение и деление на 37

Прежде чем научиться, как устно умножать на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3.

3 х 1 = 3;                                           3 х 6 = 18;

3 х 2 = 6;                                           3 х 7 = 21;

3 х 3 = 9;                                           3 х 8 = 24;

3 х 4 = 12;                                         3 х 9 = 36;

3 х 5 = 15;                                         3 х 10 = 30.

Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.

Примеры:

24 х 37 = ( 24 : 3 ) х 37 х 3 = 8 х 111 = 888;

27 х 37 = ( 27 : 3 ) х 37 х 3 = 9 х 111 = 999.

Чтобы число устно разделить на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3.

 999 : 37 = 999 : 111 х 3 = 27

        888 : 37 = 888 : 111 х 3 = 24.

Зная, как умножать на 11, 25, 37, 75, 125, можно устно умножать на числа больше 1000.

26 х 1011 = 26 х (1000 + 11) = 26 000 + 286 = 26 286;

24 х 1025 = 24 х (1000 + 25) = 24 000 + 600 = 24 600;

24 х 1037 = 24 х (1000 + 37) = 24 000 + 888 = 24 888;

24 х 1075 = 24 х (1000 + 75) = 24 000 + 1800 = 25 800;

24 х 1125 = 24 х (100 0 + 125) = 24 000 +3000 = 27 000;

24 х   1050 = 24 х (1000 + 50) = 24 000 + 1200 = 25 200;

24 х 1250 = 24 х (1000 + 250) = 24 000 + 6000 = 30 000;

24 х 1500 = 24 х (1000 +  500) = 24 000 + 12 000 = 36 000.

       Устное умножение двух рядом стоящих чисел

При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц. Получим ответ.

1. 12 х 13 = ?                             2)   23 х 24 = ?                    

           1 х 1 =1                                   2 х 2 = 4

            1 х (2 + 3) = 5                         2 х (3 + 4) = 14      

                     2 х 3 = 6                                  3 х 4 = 12

                             156                                            552

3)   32 х 33 = ?                              4)   75 х 76 = ?

       3 х 3 = 9                                        7 х 7 = 49

        3 х (2 + 3) = 15                             7 х (5  + 6) = 77

                   2 х 3 = 6                                    5 х 6 = 30

                          1056                                            5700

                Умножение чисел, оканчивающихся на 1

При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать еще правее. Сложив столбиком, получим ответ.

1)  81 х 31 = ?             81 х 31 = 2511

     8 х 3 = 24

        8 + 3 = 11

            1 х 1 = 1

             2511

            2)  21 х 31 =?               21 х 31 = 651

     2 х 3 = 6

     2 + 3 = 5

     1 х 1 = 1

             651

 3)   91 х 71 = ?           91 х 71 = 6471

       9 х 7 = 63

       9 + 7 = 16

       1 х 1 = 1

                          6461

                Возведение чисел в квадрат

1)Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.

1005 х 1005 = (100 х 101)сотен + 5 х 5 = 1 010 025;

1015 х 1015 = (101 х 102)сотен + 5 х 5 =1 030 225;

1025 х 1025 = (102 х 103)сотен + 5 х 5 = 1 050 625;

        Образец решения примера:

1095 х 1095 = ( 109 х 110 ) х 100 + 25 = 1 199 025.

Чтобы найти число сотен, надо эти числа округлить, т.е. от первого числа отнять 5 единиц и прибавить их ко второму; 10951090, 10951100, перемножить эти числа.

1090 х 1100 = (109 х 110) сотен.

        К числу сотен прибавить произведение единиц 5 х 5 = 25, умножить 109 на 110:

109 х 110 = 11 990

1 х 1 = 1

09 + 10 = 19

09 х 10 = 90

          11 990

Далее к числу сотен надо приписать число единиц 25,получим ответ 1 199 025.

        А дальше делаем немного иначе.

        Образец решения примера:

1115 = 1115 х 1115 = (111 х 112) сот. + 25 = 1243225.

1 х 1 = 1

11 + 12 = 23

11 х 12 = 132

    5 х 5 = 25

      1 243 225

80052 = (800 х 801) х 100 + 25 = 64 080 025;

90052 = (900 х 901) х 100 + 25 = 81 090 025;

100052 = (1000 х 1001) х 100 + 25 = 100 100 025;

152 = (1 х 2) сот. + 5 х 5 = 200 + 25 = 225;

252 = (2 х 3) х 100 + 25 = 625;

352 = (3 х 4) х 100 + 25 = 1 225;

1052 = (10 х 11) х 100 + 25 = 11 025;

2052 = (20 х 21) х 100 + 25 = 42 025;

3052 = (30 х 31) х 100 + 25 = 93 025;

4052 = (40 х 41) х 100 + 25 = 164 025;

5052 = (50 х 51) х 100 + 25 = 255 025;

6052 = (60 х 61) х 100 + 25 = 366 025;

7052 = (70 х 71) х 100 + 25 = 497 025;

8052 = (80 х 81) х 100 + 25 = 648 025;

9052 = (90 х 91) х 100 + 25 = 819 025.

2)Возведение в квадрат чисел от 50 до 60.

        Примеры:

502 = 50 х 50 = 2 500

512 = 51 х 51 = (5 х 5 +1) сот. +01 х 01 = 2 601;

522 = 52 х 52 = (5 х 5 +2) х 100 +02 х 02 = 2 704;

532 = 53 х 53 = (5 х 5 +3) сот. +03 х 03 = 2 809;

542 = 54 х 54 = (5 х 5 +4) сот. +04 х 04 = 2 916;

552 = 55 х 55 = (5 х 5 +5) сот. +05 х 05 = 3 025;

562 = 56 х 56 = (5 х 5 +6) сот. +6 х 6 = 3 136;

572 = 57 х 57 = (5 х 5 +7) сот. +7 х 7 = 3 249;

582 = 58 х 58 = (5 х 5 +8) сот. +8 х 8 = 3 364;

592 = 59 х 59 = (5 х 5 +9) х 100 +9 х 9 = 3 481;

602 = 60 х 60 = 3 600.

        Чтобы числа от 50 до 60 возвести устно в квадрат, надо к произведению чисел десятков прибавить цифру единиц, получим число сотен, а затем к числу сотен припишем число единиц, полученных путем умножения единиц (или квадрат единиц).

        Для того, чтобы быстро возвести числа в квадрат, надо хорошо знать таблицу умножения.

012 = 01;

022 = 04;

032 = 09;

042 = 16;

052 = 25;

062 = 36;

072 = 49;

082 = 64;

092 = 81;

102 = 100;

112 = 121;

122 = 144;

132 = 169;

142 = 196;

152 = 225;

162 = 256;

172 = 289;

182 = 324;

192 = 361;

202 = 400;

212 = 441;

222 = 484;

232 = 529;

242 = 576;

252 = 625;

262 = 676;

272 = 729;

282 = 784;

292 = 841;

302 = 900;

312 = 961;

322 = 1024;

332 = 1089;

342 = 1156;

352 = 1225;

362 = 1296;

372 = 1369;

382 = 1444;

392 = 1521;

402 = 1600;

        Зная таблицу квадратов, можно устно решить такой пример:

102 + 112 + 122 + 132 + 142  ,

                   365

что в подобной записи будет:

10 х 10 + 11 х 11 + 12 х 12 + 13 х 13 + 14 х 14 .

                   365

Как лучше сгруппировать слагаемые? Как скорее вычислить? На основе сочетательного свойства и деления суммы получим:

, или , или 1 + 1 = 2. Эта догадка требует хорошего навыка в устном счете.

                                     Заключение

     Данная работа является кратким учебным пособием по теме: «Устный счет». Работа содержит практический материал, в котором может разобраться даже   учащийся начальной школы. Но и более старший школьник найдет применение полученным умениям. Освоение описанных приемов позволит быстро выполнять арифметические действия, что будет способствовать развитию памяти и повышению уровня математической культуры мышления.

                                Литература

1.Минковский В.Л./За страницами учебника математики: Просвещение,

   1966.-120 с.

     2.Прочухаев В.Г./Вычисления, их роль в подготовке учащихся: Просвещение                

        1961.-208 с.

3.Сергеев И.Н. Примени математику/И.Н.Сергеев,С.H.Олехник,C.Б.Гашков.

  -М.: Наука, 1990. -240 с.

4.Газета“Математика”приложение к газете“Первое сентября”Статья“Устный

   счет-гимнастика ума”./Г.Филиппов // -2001.-N2-C.7-10,N3-C.25-27,31

   N4-C.4-8.