Учебный проект "Сборник по истории математики"

Департамент образования администрации г.Братска

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №12»

Учебный проект

СБОРНИК ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Творческое объединение «Эврика»

Долгих Е.В. – руководитель объединения

Мелентьева Валерия

Слепченко Никита

Хренов Семён

Липатов Егор

Смольников Никита

Братск, 2014г

Введение

Наступили времена «пара и железа», электричества и воздухоплавания, с одной стороны, а с другой времена проникновения в глубочайшие тайники человеческого духа и самопознания, познания истории и её развития в различных областях. Но в какой бы области человеческая жизнь ни стремилась к необходимому самосовершенствованию, верно то, что всюду в основании верных выводов должны лежать «счёт и мера». А это начало начал математики.

Математика - эта так называемая сухая, точная и строгая наука. Да! Но только эта целомудренная, с глубоким пытливым взглядом богиня может ввести нас в святая святых творения, приподнять завесу, скрывающую от нас великие тайны мироздания, ввести в область иных измерений, дать возможность уверенно говорить о невидимом, как о видимом, о будущем и прошедшем, как о настоящем.

Писать человек научился тогда, когда он довольно далеко продвинулся в умении считать, а затем и измерять.

Зачем человеку понадобились измерения? Когда и как они возникли? Находят ли использование в наше время? Какие изменения в величинах «мер» происходили в связи с развитием науки и техники?

На все эти и многие другие вопросы вы найдёте интересные ответы в нашем сборнике. Кроме того, предлагаем принять участие в викторине и решить несколько занимательных задач.

Желаем приятного прочтения! Успехов!

Что это такое:

«Поутру с сажень, в полдень пядень, а к вечеру через поле хватает»?

(Тень)

Зачем человеку нужны измерения в разные времена?

С незапамятных времён человеку приходилось измерять расстояния, определять вес и объём предметов быта, которые его окружали. С древнейших времён, в связи с изготовлением простейших орудий труда, со строительством жилищ и добыванием пищи, обмена товарами, перешедшего затем в торговлю - появилась нужда в измерениях. Царские писцы должны были знать какова площадь поля у каждого крестьянина. Этим определялось, сколько зерна он должен отдать царю. Надо было измерить урожай с каждого поля, а при продаже льняного масла, вина и других жидкостей - объём проданного товара. Когда начали строить корабли, нужно было заранее наметить правильные размеры: иначе корабль затонул бы. И уже конечно, не могли обойтись без измерений древние строители пирамид, дворцов и храмов, до сих пор поражавших нас своей соразмерностью и красотой.

Наверное, у каждого из читателей найдутся дома линейка и сантиметровая лента. Они нужны чтобы измерять длины. Есть дома и другие измерительные приборы. Это часы, по которым узнают, когда надо идти в школу и когда начнётся любимая передача по телевизору; термометр, на который обязательно каждый бросит взгляд, выходя на улицу;, счётчик электроэнергии, по которому узнают, сколько за неё надо заплатить, и многое другое.

А сколько измеряющих приборов на щитке автомобиля! Тут и спидометр, по которому водитель узнаёт, с какой скоростью он едет, и приборы, показывающие, сколько бензина в баке, и счётчик пройденных автомобилем километров, и так далее.

Но больше всего измеряющих приборов на заводах. Когда рабочий вытачивает деталь, то всё время измеряет её. Ведь если он снимет лишний металл, дорогая деталь пойдёт в брак. А на химических предприятиях стоят приборы, проверяющие температуру и состав веществ, давление газа и так далее. Измеряющими приборами полны и современные самолёты. С их помощью пилот верно ведёт машину, правильно взлетает и садится, проверяет, не обледенели ли крылья самолёта.

Современное сельское хозяйство тоже невозможно без измерений. Агроном должен знать температуру почвы, количество семян, высеянных на том или ином поле, количество и состав удобрений. И уж конечно, он должен знать площадь каждого поля.

Меры длины

Первые единицы для измерения величин были не слишком точными. Например, расстояния измерялись шагами. Конечно, у разных людей величина шага различна, но брали некоторую среднюю величину. Для измерения больших расстояний шаг был слишком мелкой единицей. Поэтому в Древнем Риме для таких измерений служила миля — так называли путь в тысячу двойных шагов (и правой, и левой ногой). К мерам длины относили пальцы рук, ног.

Самыми распространёнными единицами длины были ладонь - ширина кисти руки, локоть - расстояние от локтя до конца среднего пальца. Но локти у людей имеют разную длину. Поэтому в каждом городке правивший им царь издавал указ, каким локтем должны пользоваться его подданные.

Если свести руки на груди, то концы пальцев сойдутся вместе. Это значит, что локоть равен четверти расстояния между концами пальцев расставленных рук. Такое расстояние применялось для измерения длин во многих странах. На Руси его называли сажень - 151,4 см. Сажень примерно равна расстоянию от подошвы до концов пальцев поднятой вверх руки.

В России долгое время существовало множество различных саженей - мерная, малая, морская, сажень без чети, косая - 2,48 см., маховая - 1,76 см. и так далее.

Одной из самых маленьких единиц измерения является дюйм, который первоначально был длиной сустава большого пальца. Длина дюйма была уточнена в Англии, где в 1324 году королём Эдвардом II был установлен «законный Дюйм», равный длине трёх ячменных зёрен, вытянутых из средней части колоса и приставленных одно к другому своими концами. В русский быт мера дюйм и само слово вошли при Петре I, когда были установлены отношения русских и английских мер «лучшего ради согласия с европейскими народами в трактатах и контрактах, как говорит петровский указ.

Одновременно с дюймом была уточнена длина другой меры - фута, употребляющейся с древних времён многими народами. Фут - это средняя длина ступни человека. Длина фута была уточнена через установление длины меры шток, которая определена как «длина ступней 16 человек, выходящих от заутрени в воскресенье». По-видимому, имелось в виду при обмере ступней случайно взятых шестнадцати лиц разного роста получить более постоянную величину - среднюю длину ступни.

Сарой русской мерой длины был аршин ( от персидского слова «арш» - локоть) ≈ 71см. Аршин делится на 16 вершков. Когда говорили о росте человека, то указывали лишь, на сколько вершков он превышает 2 аршина. Поэтому слова « человек 12 вершков роста» означали что его рост равен 2 аршинам 12 вершкам, то есть 196 см. 3 аршина составляли сажень, 500 саженей - версту, 7 вёрст - милю. Купцы, продавая товар, как правило, мерили своим аршином (линейкой) или по - быстрому - отмеряя «от плеча». Чтобы исключить обмер, был введён, в качестве эталона -«казённый аршин», представляющий собой деревянную линейку, на концах которой клепались металлические наконечники с государственным клеймом.

Многие народы придумывали свои меры, иногда они были специфичны их роду занятий. Так, например эстонские моряки мерили расстояния трубками. Так назывался у них путь, пройденный кораблём при нормальной скорости за время, пока курится набитая табаком трубка. В Испании такой же мерой расстояния служила сигара, а в Японии - лошадиный башмак. Так называли путь, проходимый лошадью, пока износится привязываемая к её ногам соломенная подошва, заменяющая в этой стране подкову.

Русские меры длины были уточнены в 18 веке указом Петра I:

1 миля = 7верстам ≈ 7, 469км,

1 верста = 500 саженей ≈ 1,0628км,

1 сажень - 3 аршинам = 7 футам ≈ 2,1336м,

1 аршин =16 вершкам ≈ 0,7112м,

1 фут = 12 дюймам   ≈ 30,48см,

1 дюйм =10 линиям ≈ 2,54см,

1 линия =10 точкам ≈ 2,54мм

1 ярд = 91,44см.

В современном русском языке старинные единицы измерения и слова, их обозначающие сохранились, в основном, в виде пословиц и поговорок. «Пишешь аршинными буквами» - крупно.

«Коломенская верста» - шутливое название очень высокого человека. «Косая сажень в плечах» - широкоплечий.

(Приведите примеры своих пословиц и дайте им толкование).

                                                            Меры площадей

В рассказе Л.Н.Толстого «Много ли человеку земли нужно?» башкиры продают кулаку Пахому землю по цене «тысяча рублей за день». Под этим подразумевался участок земли, который можно обойти за день. Толстой рассказывает, как жадный Пахом побежал так быстро, что к концу дня упал мёртвым.

В «Русской правде» - законодательном памятнике, который относится к XI - XIII векам, употребляется земельная мера плуг. Это была мера земли, с которой платили дань. Есть некоторое основание считать плуг равным 8 -9 гектарам. Как и во многих странах, за меру площади часто принимали количество ржи, необходимое для засева этой площади. В XIII -XV веках основной единицей площади была кадь - площадь, для засева которой нужно было примерно 24 пуда ( то есть 400 кг) ржи. Половина этой площади, получившая название десятины, стала основной мерой площади в дореволюционной России. Она равнялась примерно 1,1 гектара. Десятина иногда называлась коробьей.

Другая единица измерения площадей, равная половине десятины, называлась четверть (четь).

В «Книге сошного письма» в качестве руководства для учёта налогов с земли устанавливается десятина, равная 80x30 =2400 квадратным саженям.

Налоговой единицей земли была соха (это количество пахотной земли, которое был в состоянии обработать один пахарь). В Новгороде - обжа, которая имела различные размеры в зависимости от качества земли и социального положения владельца (служилые, духовенство, крестьяне и т.д.)

Десятина, которая в быту местами имела и другие размеры, делилась на 2 четверти (чети), четверть в свою очередь - на 2 осьмины, осьмина - на 2 полуосьмины, полуосьмина - на 2 четверика и так далее по двоичной системе.

К современным единицам измерения площадей относится гектар.

1 гектар = 0,915 десятины = 2196, 797 кв.саж.

                                         Меры веса (массы) и объёма

Древнейшей русской весовой единицей была гривна. Она упоминается ещё в договорах X века между киевскими князьями и византийскими императорами. Путем сложных расчётов учёные узнали, что гривна весила 68,22г. Гривна равнялась арабской единице веса ротль. Потом основными единицами при взвешивании стали фунт и пуд. Фунт равнялся 6 гривнам, а пуд - 40 фунтам. Для взвешивания золота применяли золотники, составлявшие одну девяносто шестую доли фунта (отсюда происходит пословица «мал золотник, да дорог). Слова «фунт»и «пуд» происходят от одного и того же латинского слова «пондус», означавшего тяжесть. Должностные лица, проверявшие весы, назывались «пудовщиками» или «весцами». В одном из рассказов Максима Горького в описании амбара кулака читаем: «На одном заводе два замка - один другого пудовей (тяжелей)».

К концу XVII века сложилась система русских мер веса в следующем виде:

Ласт = 72 пудам (≈ 1,18т);

Берковец =10 пудам (≈ 1,64ц);

Пуд = 40 большим гривенкам (или фунтам), или 80 малым гривенкам, или 16 безменам (≈ 16,38кг);

Безмен = 5 малым гривенкам, или одной шестнадцатой пуда (≈1кг);

Фунт = 2 малым гривенкам, или 4 малым полугривенкам, или 32 лотам, или золотникам (≈409,51г);

Золотник = 96 долям (≈ 4,3г).

В Киевской Руси мерой зерна была кадь. Она вмещала 14 пудов (≈ 230кг) ржи и делилась на 2 половника, или 4 четверти, или 8 осьмин. Кадь называлась ещё оковом, так как орлёную (проверенную властями и снабжённую печатью) кадь обивали (оковывали) по краям железным обручем.

Впоследствии четверть делилась на 8 четвериков, четверик - 8 гарнцев, гарнец - 3,23 литра.

Была установлена система мер жидкости:

1 бочка = 40 вёдрам ≈ 491,96л;

1 ведро = 10 штофам ≈ 12,299л;

1 штоф = 2 бутылкам ≈ 1,2299л;

1 бутыль =5 соткам (чаркам) ≈ 0, 615л;

1 сотка (чарка) = 2 шкаликам ≈ 0,123л.

Мера «бутылка» появилась в России при Петре Русская бутылка = 1/20 ведра = штофа =5 чарок = 0,6 литра (поллитровка появилась позже - в двадцатые годы XX века).

Поскольку в ведре вмещалось 20 бутылок (20x0,6 =12л), а в торговле счёт шел на ведра, то ящик до сих пор вмещает 20 бутылок. Для вина русская бутылка была больше 0,75литра.

За границей, стандартная бутылка вмещает одну шестую галлона, в разных странах это составляет от 0,63 до 0,76 литра.

Бочка (40 ведер), как мера жидкостей применялась в основном в процессе торговли с иностранцами, которым запрещалось вести розничную торговлю вином в виде малых мер.

Предлагаем проверить полученные знания с помощью викторины.

Викторина

1)        Скольким верстам равна межевая верста?

а) одной версте; б) семи верстам; в) двум верстам; г)дести верстам.

2)        Как ранее называли версту?

а) «межевая верста»; б) «поприще»; в) «вершок»; г) «пядница».

3)        Как с 17-го века называлась Малая пядь?

а) «четверть»; б) «восьмина»; в) «путь»; г) «казенный аршин».

4. Как называется расстояние между концами большого пальца и мизинцем?
   а) малая пядь; б) пядь; в) пядь с кувырком; г) большая пядь.
5. Чему равна косая сажень?

а) 2,48м; б) 1,76м; в) 2,1336м; г) 10 цепей.

6. Что обозначает поговорка «Пишешь аршинными буквами»?
   а) мелко; б) крупно; в) очень мелко; г) красиво.
7. Вставьте необходимое число. В строительном и инженерном деле широко применялось деление сажени на ……. частей.

а) 25; 6)40; в) 200; г) 100.

8)        Продолжите поговорку. «Косая сажень в        …….»

а) плечах; б) ногах; в) руках; г) голове.

9)        Как назывались образцовые меры?

а) эталоны; б) единицы измерения; в) меры длины.

10)        Назовите эталоны мер

а) хрустальные, стальные, медные; б) стальные, медные, чугунные; в) стальные, хрустальные, алюминиевые.

11. Сколько английских футов в сажени?
    а) 6; 6)8; в) 7.
12. Сколько английских дюймов в аршине?
    а) 30; 6)28; в) 7.

13)Сколько сантиметров в 16 вершковых аршинах?

а) 72см; б) 71,13см; в) 71,12.

14. Сколько в 1 кубической сажени содержится кубических аршин?
    а) 103; 6)27; в) 15.
15. Какая мера появилась в России при Петре I?
    а) «ложка»; б) «рюмка»; в) «бутылка».
16. Скольким ведрам равнялась Бочка, как мера жидкостей?
    а) 40; б) 20; в) 3.
17. Как называлась единица меры, которая была введена в качестве эталона в виде
    деревянной линейки с металлическими наконечниками?

а) казенный аршин; б) пядь; в)вершок; г) малая пядь.

18)        Какую меру использовали эстонские моряки для измерения расстояния?
а) сигара; б) трубка; в) лошадиный башмак; г) стрела.

                                       Задачи, содержащие старинные меры

1.        Собака и заяц.

Собака усмотрела зайца в 150 саженях от себя. Заяц пробегает за 2 минуты 500 саженей, а собака - за 5 минут 1300 саженей. За какое время собака догонит зайца?

2.        На мельнице.

На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трёх жерновах.

За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерно насыпать?

3.        Из Москвы в Вологду.

Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своём совершать во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему проходить в день по 45 вёрст. Накакой день второй человек догонит первого?

4.        Сколько куплено баранов?

Один человек купил 112 баранов старых и молодых, заплатив за них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько каких баранов было куплено?

5.        Как смешать чай?

Имеет некто чай трех сортов - цейлонский по 5гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти три сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт смешать эти три сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

6.        Серебро трех сортов.

Некто имеет серебро разных проб: одно - двенадцатой пробы, другое - десятой пробы. Сколько какого серебра надо взять, чтобы получить 1 фунт серебра девятой пробы?

7.        «Богатство».

У приезжего молодца оценили «богатство»: модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета. Спрашивается каждой вещи цена.

8.        «С чем иностранка к россам привезена?»

Нововыезжай в Россию иностранной мадаме

Вздумалось оценить свое богатство в чемодане:

Новой  выдумки нарядное фуро

И праздничный чепец а ля фигаро.

Оценщик был русак,

Сказал мадаме так:

«Богатства твоего первая вещь фуро

Вполчетверта дороже чепца фигаро;

Вообще же стоят не с половиною четыре алтына,

Но настоящая им цена только сего половина».

Спрашивается, какой вещи цена,

С чем иностранка к  россам привезена?

9.        Разделить бочки и мед.

Три человека должны разделить между собой 21 бочонок, среди которых 7 бочонков полных медом, 7 полных медом наполовину и 7 пустых. Могут ли они разделить бочонки и мед так, чтобы каждый из них имел одинаковое количество бочонков? (Предполагается, что все бочонки одинаковые и переливать мед из одного бочонка в другой не разрешается).

10. «Сын Альбина? Скажи мне: «Если мы взявши пять унций вычтем одну, что останется?» - «Третья часть асса» - «Прекрасно!» Ну ты именье свое не растратишь! А если прибавим к  прежним пяти мы одну, что будет всего?» - «Половина».

11.Найти длину шеста сначала вертикально прислоненного к стене, а затем смещенного так, что его верхний конец опустился на 3 локтя, причем нижний конец отступил от стены на 9 локтей.

12. Идет корабль по морю, на нем мужеска полу и женска 120 человек. Найму дали 120 гривен, мужчинам дали по 4 алтына, женщинам - по 3 алтына с человека. Сколько мужского и женска пола порознь?
13. Один человек выпьет кадь пива в 14 дней, с женою выпьет тоеже кадь в 10 дней и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет тоеже кадь?

Старинные русские пословицы

«От горшка три вершка»

«Мерить на свой аршин»

«Как аршин проглотил»

«Семь аршин говядины да три фунта лент» (так говорят о бессмыслице)

«Аршин на кафтан, два на заплаты» (т.е. починка дороже вещи)

«Пять верст до небес и все лесом»

«Эка верста выросла!» (так говорят о человеке большого роста)

Продолжите перечень старинных русских пословиц.

Измерения в разные времена

Вопросы:

1. С помощью какого прибора узнают, когда нужно идти в школу и когда начнётся любимая передача?
2. С помощью какого прибора узнают, сколько нужно заплатить за электроэнергию?
3. Кто должен знать: какова площадь поля у каждого крестьянина? Этим определялось, сколько зерна крестьянин должен отдать царю?
4. Человек какой         специальности должен знать температуру почвы, количество семян, рассеянных на том или ином поле, количество и состав удобрений, площадь каждого поля?
5. Какой мерой в старину измерялись расстояния?
6. Как в Древнем Риме называли путь в тысячу двойных шагов?
7. Самыми распространёнными единицами длины были ладонь и ……..
8. Как звали кулака в рассказе Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно?».
9. Какая мера на Руси равна 151,4 см.?
10. Какая основная единица площади была в XIII – XV веках?
11. Самая маленькая единица измерения.
12. Как иногда называлась дилтина?
13. На сколько вершков делится аршин?
14. Какая налоговая единица земли была в старину в Новгороде?