Проект "Задачи на движение двух объектов"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Пожарская средняя общеобразовательная школа

Секция математики

Исследовательская работа

«Задачи на движение двух объектов»

Автор работы:  Профьев Александр

Возраст: 11 лет

Руководитель работы: Зюляева Лариса Юрьевна – учитель математики

село Пожарки

2014 год

Оглавление

I.    Введение.                                                                        3-4 стр.

2.  Основная часть.                                                              

1. Виды задач на движение двух объектов.                             5-7 стр.

2.Экспериментальная работа. Проверка верности формул для нахождения скоростей при движении двух объектов.                                 7-13 стр.

3. Задачи на движение. Решения.                                             14-18 стр.

3. Заключение.                                                                 19 стр.
4. Список использованной литературы.                       20 стр.
5.      Приложение.                                                               21-24 стр.

1. Введение.

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,

 а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

 (Д.Пойа)

Еще в начальной школе мы познакомились с задачами на движение.  Я знаю, что в задачах на движение  рассматриваются три взаимосвязанные величины: расстояние (пройденный путь), время движения и скорость – расстояние, пройденное за единицу времени.

Но я не задумывался, что задачи на движение можно разделить на виды.  А по виду задачи можно выбрать ее  решение. То есть у меня не было четкой системы видов задач на движение.

При изучении на уроке темы «Формулы» и решении с помощью учителя задач №680, №681 (Приложение №1) из учебника Н.Я. Виленкина 5 класс, я четко увидел отличие между задачами на движение. Я стал сравнивать и другие похожие задачи. Поспрашивал старшеклассников, убедился, что задачи на движение решаются в старших классах. Есть такие задачи и в сборниках подготовки к экзаменам.  Что одноклассники и старшеклассники испытывают трудности при решении таких задач.

Мой интерес к  задачам на движение двух объектов поддержала учитель математики.

Цель работы: экспериментально проверить формулы для нахождения скоростей при движении двух объектов;  выяснить особенности каждого типа задач.

Задачи работы:

1. Изучить теоретические сведения по теме «Виды задач на движение двух объектов».
2. Систематизировать задачи на движение по видам.
3. Проанализировать полученные результаты экспериментальной работы, подготовить сообщение и презентацию по данному вопросу.
4. Подобрать задачи.
5. Научиться анализировать и решать задачи на движение двух объектов.
6. Тренировать вычислительные навыки.

Объект исследования: задачи на движение двух объектов и формулы скоростей при движении двух объектов.

Участники эксперимента:  обучающиеся 5 класса.

Методы исследования: поиск информации, опрос, наблюдение, измерение.

Гипотеза: 1) при решении задач на встречное движение  и движение в противоположных направлениях скорость сближения и скорость удаления находятся сложением скоростей движущихся объектов;  2) при решении задач на движение в одном направлении скорость сближения и скорость удаления находятся вычитанием скоростей движущихся объектов.

                       II. Основная часть.

1. Виды задач на движение двух объектов.

Известны следующие случаи движения двух объектов:

встречное движение;

движение в противоположных направлениях;

движение вдогонку;

движение с отставанием.

Ситуация первая.

Два объекта движение начинают одновременно навстречу друг другу. 

Встречное  движение.

Схема:

Ситуация вторая.

Два объекта движение начинают одновременно в противоположных направлениях.

Движение в противоположных направлениях.

 Схема:

Ситуация третья.

Два объекта движение начинают одновременно в одном направлении, но первый объект обгоняет, другой  - отстает или первый объект отстает, другой обгоняет.

 Движение вдогонку.  

Схема:

Движение с отставанием.

Схема:

При решении этих задач надо использовать понятия «скорость сближения» и «скорость удаления».

Скорость сближения - это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления - это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.

При  встречном движении, движении вдогонку  идет речь о скорости сближения.

При движении в противоположных направлениях, движение с отставанием  – о скорости удаления.

Скорость сближения и удаления можно найти по формуле пути.

V=S:t.

А так же  при решении задач на встречное движение  и движение в противоположных направлениях скорость сближения и скорость удаления находятся сложением скоростей движущихся объектов, а при решении задач на движение в одном направлении скорость сближения и скорость удаления находятся вычитанием скоростей движущихся объектов.

Для экспериментальной проверки формул воспользуюсь помощью двух одноклассников.

2.Экспериментальная работа. Проверка верности формул для нахождения скоростей при движении двух объектов.

Порядок выполнения экспериментальной работы. (Приложение №2)

Ход выполнения эксперимента.

Определение скоростей участников.

1.Измерил длину шага каждого участника с помощью инструмента рулетки.

2. Количество шагов по коридору каждый участник посчитал сам.

3.Измерил время движения с помощью секундомера.

3.Вычислил длину коридора: длину шага участника умножил на количество шагов.

4.Вычислил скорость каждого по формуле V=S:t.

Полученные данные.

Встречное движение

1. Измерил время до встречи: 3,4 с.

2. Нашел скорость сближения по формуле V=S:t.

Vсбл.= 38:3,4=11,18(м/с)

3. Нашел скорость сближения как сумму скоростей.

Vсбл.= V1 + V2 

Vсбл.=5,8+5,2=11(м/с)

4. Сравнил полученные результаты: 11,18/с и 11 м/с

Вывод: по результатам эксперимента скорость сближения  в обоих случаях получилась примерно одинаковой.

Формула для нахождения скорости сближения при встречном движении как сумма скоростей движущихся объектов верна.

Движение в противоположных направлениях.

1. Измерил время до остановки: 3 с.

2. Измерил расстояние, на которое удалились объекты: 33 м.

3. Нашел скорость удаления по формуле V=S:t.

Vудал.= 33:3=11(м/с)

4. Нашел скорость удаления как сумму скоростей.

Vудал.= V1 + V2 

Vудал = 5,8+5,2=11(м/с)

5. Сравнил полученные результаты: 11 м/с и 11  м/с

Вывод: по результатам эксперимента скорость удаления в обоих случаях получилась  одинаковой.

Формула для нахождения скорости удаления при движении в противоположных направлениях как сумма скоростей движущихся объектов верна.

Движение вдогонку.  

1. Измерил расстояние между участниками: 3,2 м.

2. Измерил время, за которое один участник догнал другого: 5,4 с.

3. Нашел скорость сближения по формуле V=S:t.

Vсближ.= 3,2:5,4=0,59(м/с)

4. Нашел скорость сближения как разность скоростей.

Vсближ.= V1 - V2 

Vсближ = 5,8-5,2=0,6(м/с)

5. Сравнил полученные результаты: 0,59 м/с и 0,6 м/с

Вывод: по результатам эксперимента скорость сближения  в обоих случаях получилась примерно одинаковой.

Формула для нахождения скорости сближения  при  движении в противоположных направлениях как разность  скоростей движущихся объектов верна.

Движение с отставанием.

1. Измерил расстояние, на которое один участник отстал от другого: 2,4 м.

2. Измерил время, за которое один участник отстал от другого: 4 с.

3. Нашел скорость удаления  по формуле V=S:t.

Vсближ.= 2,4:4=0,6(м/с)

3. Нашел скорость удаления как разность скоростей.

Vсближ.= V1 - V2 

Vсближ = 5,8-5,2=0,6(м/с)

4. Сравнил полученные результаты: 0,6 м/с и 0,6 м/с

Вывод: по результатам эксперимента скорость удаления  в обоих случаях получилась  одинаковой.

Формула для нахождения скорости удаления  при  движении с отставанием как разность  скоростей движущихся объектов верна.

Вывод: анализ полученных результатов эксперимента показал, что

1) при решении задач на встречное движение  и движение в противоположных направлениях скорость сближения и скорость удаления находятся сложением скоростей движущихся объектов;  2) при решении задач на движение в одном направлении скорость сближения и скорость удаления находятся вычитанием скоростей движущихся объектов.

3. Задачи на движение. Решения.

ЗАДАЧА 1.

В данный момент расстояние между двумя таксистами 345 км. На каком расстоянии будут находиться таксисты через два часа, если скорость одного 72 км /ч., а другого  -68 км /ч., и они выезжают навстречу друг другу одновременно?

Первый способ решения.
1) 72 + 68 =140 (км /ч.) – скорость сближения таксистов.
2)140 * 2 = 280 (км) – на такое расстояние таксисты    приблизятся друг к другу за 2 часа.
3) 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа.
Ответ: 145 км.

Второй способ решения.

1)72 * 2 =144 (км) – такое расстояние проедет один таксист за 2 часа.

2) 68 * 2 = 136 (км) – такое расстояние проедет другой таксист за 2 часа.

3)144+ 136 =280 (км) – на такое расстояние таксисты приблизятся друг к другу за 2 часа.

4) 345 – 280 = 145 (км) – на таком расстоянии будут таксисты через 2 часа.

Ответ: 145 км. 

ЗАДАЧА 2

Расстояние между городами А и В 720км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км /ч. Через 2 часа навстречу ему  из В в А  вышел

пассажирский поезд  со  скоростью 60 км /ч. Через  сколько  часов после   выхода  пассажирского  поезда  эти  поезда встретятся?

Решение.

1)80*2=160(км) -прошёл скорый поезд за 2 часа.

2)720-160=560(км) -осталось пройти поездам.

3)80+60=140(км/ч) -скорость сближения 2 поездов.

4)560:140=4(ч) -был в пути пассажирский поезд.

Ответ:4часа.

ЗАДАЧА 3.

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса.  Скорость  одного  автобуса  45 км /ч,  а скорость другого автобуса 72 км /ч. Первый автобус до встречи проехал 135км.
Найдите расстояние между пунктами.

Решение.

Первый способ решения.
1) 135 : 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.
2)72 * 3 = 216 (км) – проехал второй автобус до встречи.
3) 135 + 216 = 351 (км) – расстояние между пунктами.
Ответ: 351 км.

Второй способ решения.

1)135 : 45 = 3 (часа) – ехали автобусы до встречи.

2)45 +72 = 117 (км/ ч.). – скорость сближения автобусов .

3)117 * 3 = 351 (км) – расстояние между пунктами.

Ответ: 351 км.

ЗАДАЧА 4.

Машина и автобус выехали из двух городов, находящихся на расстоянии 740 км навстречу друг другу со скоростями 70 км/ч и 50 км/ч.  Какое расстояние будет между машинами через 5 часов?

Решение.

Первый способ решения

1)50 * 5 = 250 (км) – проедет машина до встречи.

2)70 * 5 = 350 (км) – проедет автобус до встречи.

3) 250 + 350 = 600 (км) - на такое расстояние они приблизятся друг к другу.

4) 740 -600 = 140 (км)  - такое расстояние будет между ними через 5 часов.

Ответ: 140 км.

 Второй способ решения.

1)50 + 70 = 120 (км /ч.) – скорость сближения автобуса и машины.

2)120 * 5 = 600 (км) – на такое расстояние они приблизятся друг к другу.

3) 740 – 600 = 140 (км) – такое расстояние будет между ними через 5 часов.

Ответ: 140 км.

ЗАДАЧА 5.

Две гоночные машины выехали навстречу друг другу. Расстояние между ними было 660 км. Одна ехала со скоростью 100 км/ч, а другая 120 км/ч.  Через какое время они встретятся?

Решение.

1)100+120=220(км/ч)- скорость сближения машин .

2) 660:220=3(ч) -через такое время встретятся гоночные машины.

Ответ: через 3 часа.

ЗАДАЧА 6.

Из одного логова одновременно в противоположных направлениях выбежало два тигра. Скорость одного тигра 48 км / ч.,  а  другого  – 54 км ч. Какое расстояние будет между тиграми через 2 часа?

Решение.

Первый способ решения

1)48 * 2 = 96 (км) – пробежит один тигр за 2 часа.

2)54 * 2 = 108 (км) – пробежит другой тигр за 2 часа.

3)96 + 108 = 204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.

Ответ: 204 км.

Второй способ решения

1)48 + 54 =102 (км /ч.) – скорость удаления тигров.

2)102 * 2 =204 (км) – будет между тиграми через 2 часа.

Ответ: 204 км.

ЗАДАЧА 7.

Максим и Саша вышли из школы со скоростью 50 м/мин. Рома вышел вслед за ними через 6 минут со скоростью 80 м/мин. Через сколько минут  Рома догонит Максима и Сашу?

Решение.

1) 80 - 50 = 30 (км /ч.) – скорость сближения мальчиков.

2)50 * 6 = 300 (км) – такое расстояние было между мальчиками перед выходом из школы Ромы.

3)300 : 30 = 10 (мин.) – через такое время Рома догонит друзей.

Ответ: через 10 мин.

Ш.Заключение.

Итоги работы

1. Научился различать задачи на движение по видам.  Использовал материал из Интернета.
2. Экспериментально проверил верность формул, по которым находят скорость сближения и удаления. Порядок проведения эксперимента рекомендовал учитель математики. Участники эксперимента обучающиеся 6 класса.
3. Подобрал и проанализировал решение задач. Использовал материал из Интернета.
4. Сделал выводы: при решении задач на встречное движение полезно использовать понятия «скорость сближения»; при решении задач на движение в противоположных направлениях полезно применять понятия «скорость удаления»; скорость сближения и скорость удаления в этих задачах находятся сложением скоростей. В задачах на движение  в одном направлении при одновременном начале полезно использовать понятия «скорость сближения» и «скорость удаления»; скорость сближения и скорость удаления в этих задачах находятся вычитанием меньшей из большей скоростей.
5. Тренировал вычислительные навыки, т.к. приходилось много считать.
6. Подготовил сообщение для одноклассников.
7. Оказывал помощь в создании презентации и в оформлении работы.

IV.Список использованной литературы.

Математика 5 класс Н. Я. Виленкин Издательство Мнемозина Москва 2012.

Математика 6 класс Н.Я.Виленкин Издательство Мнемозина Москва 2012.

Сборник подготовки к ГИА 9 класс И.В.Ященко, С.А.Шестаков и другие Издательство «Экзамен» Москва 2014

Справочно – образовательный ресурс repetitors.eu Текстовые задачи.

Авторские презентации из интернета по теме «Задачи на движение двух объектов»

4. Приложение.

Приложение №1. Задачи

№680 стр.104

С одной станции в противоположниых направлениях вышли два поезда в одно и то же время. Скорость одного поезда 50 км/ч, а скорость другого поезда 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через t часов после отправления в путь? Запишите ответ в виде формулы и упростите ее. Что означает число 120 в получившейся формуле?

Решение.

1 способ:

S1=50t

S2=70t

S=50t+70t=120t

120- скорость удаления.

Ответ: 120t

2 способ:

Vудал=50+70=120(км/ч)

S=120t

Ответ: 120t

№681 стр. 104

 Расстояние между двумя городами 600 км. Навстречу друг другу из этих городов вышли одновременно две автомашины. Одна имеет скорость 60км/ч, а другая – 40 км/ч. Чему равно расстояние между машинами через t часов после выезда? Запишите ответ в виде формулы и упростите ее. Какой смысл имеет число 100 в получившейся формуле?

1способ

S1=60t

S2=40t

S=60t+40t=100t

100-скорость сближения.

600-100t

Ответ: 600-100t

2 способ:

Vсбл.=60+40=100(км/ч)

600-1        00t

Ответ: 600-100t

Приложение №2

Порядок выполнения экспериментальной работы.

1.Определение скоростей участников.

• Измерить длину шага.
• Посчитать количество шагов.
• Измерить время движения.
• Вычислить длину коридора
• Вычислить скорость каждого.

2. Встречное движение.

•  Измерить время до встречи.
•  Найти скорость сближения по формуле V=S:t.
•  Найти скорость сближения как сумму скоростей.

•  Сравнить полученные результаты, сделать вывод

3. Движение в противоположных направлениях.

•  Измерить время до остановки.
•  Измерить расстояние, на которое удалились объекты.
•  Найти скорость удаления по формуле V=S:t.
•  Найти скорость удаления как сумму скоростей.
•  Сравнить полученные результаты, сделать вывод.

4. Движение вдогонку.  

•  Измерить расстояние между участниками.
•  Измерить время, за которое один участник догонит другого.
•  Найти скорость сближения по формуле V=S:t.
•  Найти скорость сближения как разность скоростей.

5. Движение с отставанием.

•  Измерить расстояние, на которое один участник отстал от другого.
•  Измерить время, за которое один участник отстал от другого.
•  Найти скорость удаления  по формуле V=S:t.
•  Найти скорость удаления как разность скоростей.
•  Сравнить полученные результаты, сделать выводы.