НОУ
в данном разделе собраны научные работы моих учеников,занявшие призовые места в научных конференциях учащихся разных уровней (муниципального, районного, городского, краевого ,российского)
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Введение Цель работы: выявить понятие групп через игру " Судоку " и симметрии многоугольников. Задачи: -получить алгоритм заполнения квадратных таблиц " Судоку "; -выделить таблицы, задающие группы (с точностью до эквивалентности) и квазигрупп; -изучить симметрии правильного треугольника, квадрата и прямоугольника и построить из них группу, реализовав ее через подстановки
2.1. Заполнение квадратных таблиц « Судоку » размеров 1х1 , 2х2 , 3х3 4х4 (без повторения по строкам и столбцам) Игра " Судоку " сводится к заполнению квадратных таблиц nхn n- буквами или числами по определенному правилу: в каждом столбце и строке не должно быть одинаковых. Заполним таблицы буквами a, b, c,...
a b c b c a c a b 1 2 a c b b a c c b a 3 a b c c a b b c a 4 a c b c b a b a c 5 b a c a c b c b a 6 b c a c a b a b c
b a c c b a a c b 7 8 b c a a b c c a b 9 c a b b c a a b c 10 c a b a b c b c a 11 c b a b a c a c b 12 c b a a c b b a c
2.2.Выделение групп и квазигрупп Понятие «группы» — одно из основных понятий современной алгебры, охватывающее общие свойства самых разнообразных объектов различной природы и служащее неоценимым средством исследования в физике. Что же такое группа? Это некая абстрактная структура, состоящая из множества элементов (а, Ь, с….), относительно природы которых не делается никаких предположений, с единственной бинарной операцией (ее мы обозначим символом о), сопоставляющей каждой паре элементов множества некоторый третий элемент. Чтобы такая структура составляла группу, должны выполняться следующие четыре условия:
1. Каждой паре элементов множества операция ставит в соответствие некоторый элемент того же множества. Это свойство носит название «замкнутости» множества относительно операции. 2. Операция подчиняется «ассоциативному закону»: (а о Ь) о с = а о (b о с). 3. Существует элемент е (называемый «единицей»), такой, что а о е = е о а = а. 4. Для каждого элемента а существует обратный элемент а', такой, что а о а' = а' о а = е. Если помимо только что названных четырех условий операция подчиняется еще и коммутативному закону: а о Ь = b о a, то группа называется коммутативной, или абелевой. У группы очевидна ассоциативность, если ее нет, то это квазигруппа
2) таблицы 3х3, проверим их на ассоциативность ( ab )c=?=a( bc ) Получаем, что ассоциативны таблицы:1,6,10 без ассоциативности таблицы:2,3,4,5,7,8,9,11,12
Таблицы 3х3: 1,6,10- тождественны, положим c= e,тогда все три таблицы будут иметь общий вид: Введем операцию умножения: Пояснения: а*а = а 2 = b, a*b = e b*a = e , b*b = b 2 = a Т.к ассоциативность выполняется, то это группа. Т.к. ассоциативность не выполняется в таблицах 2,3,4,5,7,8,9,11,12, то это не группы, а квазигруппы.
3.Симметрии прямоугольника, правильного треугольника и квадрата
Рассмотрим умножение полученных преобразований (последовательное их выполнение)
Составим итоговую таблицу умножения(таблицу Кэли группы симметрий прямоугольника): e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Выводы: 1) повороты образуют группы из 2х элементов; 2) RхR =R; 3) MхM =R; 4)так как таблица симметрична относительно главной диагонали, то "умножение" коммутативно; 5)M2=e; 6) MхR =M ; RхM =M.
2.Рассмотрим симметрии правильного треугольника, при которых треугольник переходит в себя.
Рассмотрим умножение полученных преобразований (последовательное их выполнение)
Составим итоговую таблицу умножения(таблицу Кэли группы симметрий правильного треугольника): e a b c g f e e a b c g f a a b e g f c b b e a f c g c c f g e b a g g c f a e b f f g c b a e Выводы: 1) повороты образуют группы из 3х элементов; 2) RхR =R; 3) MхM =R; 4) так как таблица не симметрична относительно главной диагонали, то "умножение" не коммутативно; 5)M2=e; 6) MхR =M ; RхM =M.
3.Рассмотрим симметрии квадрата, при которых он переходит в себя.
Рассмотрим умножение полученных преобразований (последовательное их выполнение) аналогично, e*a=a, e*b=b, e*c=c, f*e=e*f=f, g*e=e*g=g, h*e=e*h=h, d*e=e*d=d.
e a b c d f g h e e a b c d f g h a a b c e h g d f b b c e a f d h g c c e a b g h f d d e g f h e b a c f g h d g b e c a g h f h d c a e b h f d g f a c b e Выводы: 1) повороты образуют группы из 4х элементов; 2) RхR =R; 3) MхM =R; 4) так как таблица не симметрична относительно главной диагонали, то "умножение" не коммутативно; 5)M2=e; 6) MхR =M ; RхM =M.
Заключение Рассмотрев примеры из разных по своей сути сфер деятельности (заполнение таблиц Судоку и движения геометрических объектов), мы видим, что везде проявляется универсальное понятие группы. Не смотря на то, что теория групп имеет серьёзное применение в теоретической физике (проблемах квантовой теории), химии и т. д., её язык становиться доступен и для ученикам 6 класса на разобранных примерах. При этом от школьников требуется определённая наблюдательность, работоспособность, терпение для получения выводов из проведенного эксперимента. В дальнейшем предполагаю изучение групп кос, узлов которые дадут более глубокое и широкое понимание групп.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
k =1, , k =2, ……… . ….(2) k =3, …………( 3) k =4 , …….( 4) ………(1)
…(*) Разложим выражение по биному Ньютона : Значит равенство *(после вычитаний в числителе и сокращения на t ) может быть представлено в виде:
Продифференцируем обе части этого равенства по параметру t , получим: ..(**) Чтобы получить формулу (1 ) осталось подставить t =0:
Чтобы получить следующие формулы умножим выражение (**) на (1+ t ) и сгруппируем в правой части подобные по t : Продифференцируем обе части полученного выражение по параметру t :
Подставляем t =0 чтобы получить формулу (2):
Отсюда ,обозначив коэффициенты комбинаций через К получаем формулу суммы произвольных степеней :
При При При При При При При k=1 1 k=2 1 2 k=3 1 6 6 k=4 1 14 36 24 k=5 1 30 150 240 120 k=6 1 62 540 1560 1800 720 k=7 1 126 1806 8400 16800 15120 5040 k =8 1 254 5796 40824 126000 191520 141120 40320 При При «Интересный» треугольник
Свойства треугольника Коэффициент при всегда равен единице. Числа стоящие по главной диагонали равны n ! ( где n=k – показателю степени суммируемых слагаемых). Коэффициенты при можно найти по формуле Коэффициент стоящий в i -той строке, j -том столбце можно найти по следующей рекуррентной формуле :
Пример 1: Доказательство:
Запишем в свернутом виде:
+ + …
( 1
Итак:
Пример 2: Доказательство:
РАБОТА НЬЮТОН БЕРНУЛЛИ ТЕЙЛОР ПАСКАЛЬ ЭЙЛЕР
ИТОГИ Получена и доказана рекуррентная формула для вычисления сумм степеней членов арифметических прогрессий. Получен «интересный» числовой треугольник, рекуррентное соотношение его элементов . Доказаны формула умножения показательной функции и основные тригонометрические тождества с помощью разложения cosx и sinx . Получены формулы сумм различных биноминальных коэффицентов .
… Сравнительное применение полученного нами треугольника и треугольника Паскаля с числами Бернулли Возведение любого натурального числа в любую натуральную степень Альтернативное доказательство тригонометрических формул с помощью нашего метода
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Бабушкин узел Двойной узел Альпинистский узел Пиратский узел
Цель нашей работы: найти новый «торический» подход к классификации и реализации узлов Задачи исследования: 1 . Изучить теорию узлов, историю возникновения и развития; 2. Разработать модель для наглядной иллюстрации узлов на n- тории 3. Получить иллюстрации теоремы Франкля – Понтрягина в трехмерном пространстве.
Узел - замкнутая кривая y в трехмерном пространстве без самопересечений. Если задано направление обхода, то узел называется ориентированным.
1.1 Таблица: «Примеры узлов (их названия)» Для классификации узлов составляют таблицы узлов — перечень диаграмм всех простых узлов, допускающих проекции на плоскость.
3. Модели n- торий
5. Первая реализации узла «Трилистник» на торе( однотории )
Узел как граница ленты. Демонстрация теоремы Франкля – Понтрягина . 1. Без скрутки (цилиндрическая поверхность) – 2 поверхность, 2 кромки, не узлы. 2. Одна скрутка(лист Мёбиуса ) - 1 поверхность, 1 кромка, н е узел. 3. Две скрутки – 2 поверхности, 2 кромки, не узлы 4. Три скрутки – 1 поверхность, 1 кромка, узел.
Теорема Франкля – Понтрягина: любой узел ограничивает ориентируемую поверхность. Но трижды скрученная полоса не является ориентируемой поверхностью, так же, как одиножды скрученная полоса, являющаяся листом Мёбиуса.
Вторая реализация узла «Трилистник » на торе( однотории )
«Трехреберной лента» является уже ориентированной поверхностью, но с самопересечением- это и является иллюстрацией теоремы Франкля – Понтрягина в трехмерном пространстве Также можно реализовать 5-и, 7-и листники , как кромки «5-и, 7-и реберной ленты » перекрученной нужное число раз. Раньше такие объекты, насколько нам известно, не встречались.
Третья реализация узла «Трилистник»
Вывод В ходе проделанной исследовательской работы, прежде чем возникли окончательные модели, нами было испробовано множество промежуточных моделей из самых разных материалов: средства крепления, трубки, пластилин, тесто, шнурки и т.д. Предлагаем самостоятельный подход к построению и классификации узлов, чего не было, и нет в самых последних монографиях. Отсюда возникает новый подход к построению группы узлов Т.к. узлы реализуются на торах, значит можно написать их уравнения. При этом нами придуманы m-реберные ленты с самопересечениями и «бутоны», полученные из n-лепестковых лент, скрученных концами нужное число раз, которые позволяют строить узлы и иллюстрировать теорему Франкля – Понтрягина.
# =
Реализация узла «Аминова» на двутории
Снежная книга
Одна беседа. Лев Кассиль
Флейта и Ветер
Большое - маленькое
Учимся рисовать горный пейзаж акварелью