Математика на шахматной доске

Республиканская научно-практическая конференция школьников

«Первые шаги в науку»

               Направление: математика

               Название работы: Математика на шахматной доске

           Автор работы: Алхастов Алихан Муслимович

                                     ученик 11б  класса, вице-чемпион РК по шахматам

           Место выполнения работы:     Черноземельский район

                                                               пос. Комсомольский

                                                               МБОУ «Комсомольская гимназия

                                                               имени Баатра Басангова»

          Руководитель: Алхастова Этери Якубовна

                                   учитель математики и  информатики,  

                                   I  КК,  стаж работы – 20 лет

2014г.

Оглавление

    Введение …………………………………………………………………………..2    

    Математика в истории возникновения шахмат.  ………………………………..3

    Старинная легенда

    Математические свойства шахматной доски.        

    Математические рекорды…………………………………………………………4                                      

    Геометрия шахматной доски. …………………………………………………….5 -6        

                 Терема Пифагора    

                 Правило «квадрата»

                 Правило «треугольника»

                      Расстояние между двумя точками на шахматной доске. Ничья.

    Занимательные задачи на шахматной доске…………………………………….6-7        

    Графы на шахматной доске. ……………………………………………………..7-8  

                 Задача о коне Аттилы.

                 Задача о ходе коня 

    Элементы комбинаторики на шахматной доске. ………………………………..9                                              

    Интересные задачи………………………………………………………………...9-11                  

    Заключение. ………………………………………………………………………...12                                                            

    Список литературы. ………………………………………………………………..13

    Приложение                                                        

Решение проблем шахматной игры есть не что иное,

как математическое упражнение,

а игра в шахматы - это как бы

насвистывание математических мелодий.

/Г.Харди/

Введение.

У математики и шахмат много родственного. Формы мышления математика и шахматиста довольно близки, и не случайно математически способности нередко сочетаются с шахматными. Склонность к серьезным занятиям математикой проявлялась даже у чемпионов мира. Важные математические результаты принадлежат Эммануилу Ласкеру, математическое образование получил Макс Эйве, он возглавлял вычислительный центр в Голландии. Первый советский чемпион мира Михаил ботвинник, доктор технических наук, много лет отдал разработке алгоритма игры в шахматы, по существу переквалифицировался в математика-прикладника. Отчасти это можно сказать и о Гарри Каспарове, способствовавшем развитию компьютерных шахмат, иногда даже ценой собственной репутации (он первым из шахматных королей проиграл матч компьютеру!). Яркими математическими способностями в юные годы обладал Михаил Таль. 12-й чемпион мира А.Карпов с золотой медалью окончил математическую школу, был победителем ряда математических олимпиад. После окончания школы он поступил на механико-математический факультет МГУ, но затем ради шахмат «пожертвовал» математикой.

Сопоставление математики и шахмат, как сфер человеческой деятельности, очень интересно и заслуживает специального изучения.

Актуальность и новизна темы заключается в том, во все времена шахматы привлекали и привлекают к себе большое внимание, как детей, так и взрослых. Практика показывает, что шахматы воспитывают у детей самообладание, способность сосредотачиваться и контролировать свои действия. Одновременно интересуясь математикой и игрой в шахматы, я решил проследить, как математические знания используются на шахматной доске.

Цель:  показать связь математики с шахматами.

Задачи: изучить информацию, касающуюся связи шахмат и математики; доказать, что шахматная доска – удобная модель для решения  многих математических задач.

Методы:

1. Анализ библиографических данных.
2. Решение шахматных и  математических задач.

 Математика в истории возникновения шахмат.

Старинная легенда

Прежде всего вспомним одну старинную легенду о происхождении шахмат, связанную с арифметическими расчётами на доске.

Когда индийский царь впервые познакомился с шахматами, он был восхищён их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрёл игру, является его поданным, царь позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку. Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца, и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски - одно зерно, на второе - два, на каждое последующее вдвое больше зёрен, чем на предыдущее. Царь приказал выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Мудрец скромно потребовал 1 + 21 + 22 + 23 +...+263  = 264 - 1 зерен. Счетоводы магараджи работали всю ночь и только утром сообщили своему господину, что его повеление невыполнимо: такого количества зерна просто не было не только во всей Индии, но и на всей земле. Всего грозному владыке нужно было достать 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысячу 615 зерен. Для выполнения этой скромной просьбы мудреца потребовалось бы 280 000 лет подряд собирать весь выращенный урожай в Индии или же в течение 8 лет засеивать и собирать зерно со всей поверхности Земли. А если построить амбар для него высотой четыре и шириной десять метров, то он был бы длиной в 300 000 000 километров, или от Земли до Солнца и обратно. Неожиданная развязка истории наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.

Математическое свойство шахматной доски.

Приведу одну гипотезу, использующую некоторые математические свойства доски. Согласно этой гипотезе шахматы произошли из так называемых магических квадратов. Магический квадрат порядка n представляет собой квадратную таблицу nxn, заполненную целыми числами от 1 до n и обладающую следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов порядка 8 она равна 260. Закономерность расположения чисел в магических квадратах придаёт им волшебную силу искусства. (Приложение, рис.1)

Математические рекорды.

Математика и шахматы развивают ум и счетные способности человека, дают возможность испытать радость победы и горечь поражений. А обилие шахматных возможностей! Первый ход уже можно сделать четыреста различными способами. Чтобы выполнить два первых хода уже понадобится целый день - 72 000 способов. Математики подсчитали, что разыграть все партии, состоящие из 10 ходов, невозможно, даже если все шахматисты мира всю свою жизнь будут только передвигать фигуры. Потому-то получается число ходов с огромным количеством нолей. Решать такие задачи не под силу даже самым мощным современным компьютерам, несмотря даже на то, что они способны рассматривать более 200 000 000 позиции в секунду.

Большинство задач связаны с теми или иными рекордами на шахматной доске.

Например:

1. Сколько различных ходов можно сделать в шахматной партии?

Ход в шахматах характеризуется фигурой, которая его делает, цветом этой фигуры, начальным и конечным полями, взятой фигурой (если ход совершается со взятием) и превращенной фигурой (если ход состоит в превращении пешки). Надо также учесть рокировки. Тонкий анализ показывает, что всего на доске существуют 43 732 различных ходов. Последнему вопросу можно придать шуточный характер. Сколькими ходами может закончиться шахматная партия? Таких ходов - 43 732. Дело в том, что после любого хода каждый из партнеров может... немедленно сдаться.

2. Существует ли бесконечная шахматная партия, в которой ни одна как угодно длинная серия ходов не повторяется три раза подряд?

До бесконечности на доске могут перемещаться только короли. Каждому из них достаточно иметь в распоряжении только три поля. Пусть белый король ходит по полям а1, а2, b1, а чёрный по полям g8, h8, h7 (других фигур на доске нет). Обозначим ход королей по часовой стрелке через 1, а ход против часовой стрелки через 2. Если начальное положение фиксировано, то всякому передвижению королей соответствует определённая последовательность из единиц и двоек. Пусть короли стоят на угловых полях доски (белый - на al , чёрный - на h8), тогда последовательности 12 21 21 12 21 12 соответствуют такие ходы: Кр а2 (первый член последовательности 1 – белый король идет по часовой стрелке)

1... Крg8 (второй член 2 - черный король идёт против часовой стрелки).

2. Kpal Kph8 3. Крb1 Kph7 4. Kpal Kph8 5. Kpbl Kph7 б.Кра1 Kph8. Доказано, что искомая последовательность существует и, следовательно, возможна бесконечная партия, в которой ни одна серия ходов не повторяется три раза подряд.

Геометрия на шахматной доске.

Беспрерывный расчет вариантов, который приходится вести шахматисту во время партии, имеет иную специфику, чем работа математика - вычислителя. Тем не менее, в шахматной игре содержатся некоторые геометрические элементы, с которыми я хочу вас познакомить.                              

 1. Теорема Пифагора.

Обсуждая математические свойства доски, нельзя не упомянуть об одном старинном доказательстве на шахматной доске  …  теоремы Пифагоры.

Шахматный король гроссмейстер Михаил Таль однажды признался, что в детстве был потрясён доказательством теоремы, которую мы, школьники, произносим так: «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Нарисуем на шахматной доске квадрат, как показано на рисунке.            

Доска разбита здесь на пять частей - сам квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника. А теперь сделаем следующий рисунок. (Приложение, рис.2)
        Перед нами те же четыре треугольника, а вместо одного квадрата уже два, но меньшего размера. Треугольники в обоих случаях одни и те же, а значит, имеют равную площадь. Следовательно, равную площадь занимают и оставшиеся части доски: на первом рисунке один квадрат, на втором - два. Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие – на его катетах, приходим к выводу, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Знаменитая теорема Пифагора доказана!

2. Правило «квадрата».

В следующей позиции белый король не участвует в игре, и все зависит от того, успеет ли оппонент догнать пешку hЗ. Исход игры легко оценит при помощи «правила квадрата». Достаточно выяснить, может ли король при своем ходе попасть в квадрат пешки. Для удобства можно мысленно провести всего одну линию - диагональ квадрата (hЗ - с8). В нашей позиции черные при своем ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника проигрывают.  (Приложение, рис.3)

3. Правило «треугольника».

В следующей позиции черные при своем ходе сразу проигрывают, так как пропускают белого короля на поле b6 и теряют единственную пешку. Но сейчас ход белых, и им нужно передать очередь хода противнику, иначе говоря, выиграть темп. l.Kpd5 Kpc8 ничего не даёт. 2.Kpd6 Kpd8 З.с7+  Крс8 4.Крс6 пат, а 2.Крс5 Крс7 приводит к исходной позиции. Цель достигается при помощи «метода треугольника». Для данного примера этот треугольник (с4 - d4 - d5). После 1 .Kpd5 Kpc8 2.Kpd4 Kpb8 З.Крс4 Крс8 4,Kpd5 необходимый темп выигран. Теперь на 4... Kpd8 решает 5.Kpd6 Kpc8 6.с7 а на 4... Крс7 - 5.Крс5.   (Приложение, рис.4)                  

  4. Расстояние между двумя точками на шахматной доске. Ничья.

Рассмотрим  знаменитый этюд Рети (1921г.), где свойство доски (кратчайший путь между двумя точками (полями) не обязательно измеряются по прямой линии) проявляется особенно эффективно. Требуется, чтобы белые свели партию к ничьей. Кажется невероятным, что белый король в состоянии догнать черную пешку. Он настигнет ее, если отправится в путь не по «обычный» прямой h8 –h1, а по королевской линии. l.Kpg7 h4 2.Kpf6 Крb6. После 2... h3 3.Kpe7 h2 4.c7 Kpb7 5.Kpd7 пешки становятся ферзями одновременно. Такая угроза не могла бы возникнуть, если бы белый король двигался за неприятельской пешкой прямолинейно, по линии h. 3.Кре3 Кр:с6. Вновь 3... h3 4.Kpd6 h2 5.c7 Kpb7 6.Kpd7 приводит к появлению на доске сразу двух ферзей. 4.Kpf4 h3 5.Kpg3 h2 6.Kp:h2 король догнал пешку на пороге ее превращения. Ничья! Невероятно стало очевидно. Понятно, что с «точки зрения» белого короля, сумма катетов прямоугольного треугольника равна гипотенузе. Этюд Рети в свое время вызвал настоящую сенсацию в шахматном мире. По чистоте формы и лаконичности материала превзойти этот геометрический шедевр невозможно.(Приложение, рис.5)                    

Занимательные задачи на шахматной доске.

Множество видов математических задач на шахматной доске - о маршрутах фигур, перестановках и расстановках, о разрезании доски и покрытии ее полей костями домино.

1. Задача о разрезании доски.

Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза - на те поля, на которых был заматован его король (вместо алмазов изображены кони).

После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни, причем, как гласит легенда, для казни каждого мудреца использовал его часть доски с алмазом. Решение на рисунке. (Приложение, рис.6)                                                                        

2. Какое максимальное число полей доски может пересечь одним разрезом?

(Приложение, рис.7) Решение таково: одним разрезом можно пересечь 15 полей доски. Естественно, возникает следующая задача.

3.  Сколько нужно провести разрезов (прямых) на доске, чтобы пересечь все ее поля?

(Приложение, рис.8) Решение:  Семь прямых пересекают все поля доски.

Графы на шахматной доске.

Задача о ходе коня — задача о нахождении маршрута шахматного коня, проходящего через все поля доски по одному разу. Многие задачи такого типа решаются при помощи «графов». Всем известно, что слово «граф» означает дворянский титул. А вот в математике графом называют набор точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки именуются вершинами графа, а отрезки - рёбрами. Основы теории графов как математической науки заложил в 1736 г. Леонард Эйлер.                                                          

Задача о коне Аттилы.

На доске находятся две фигуры - белый конь и черный король. Некоторые поля объявляются «горящими». Конь должен дойти до неприятельского короля и вернуться в исходное положение. Ему запрещено занимать как «горящие» поля, так и поля, уже пройденные им однажды. «Трава не растет там, где ступил мой конь!»- похвалялся вождь гуннов Аттила, когда хотел сказать, что его полчища уничтожают все живое на своем пути.

 На рисунке (Приложение, рис.9) конь Аттилы расположен на g4, а неприятельский король - на b3.

Соединяя отрезками все пары доступных коню полей, между которыми возможен ход коня, получаем граф коня для данной задачи. Дело сводится к нахождению в графе такого пути, который не содержит ни одной вершины более одного раза и, кроме того, проходит через обе выделенные. Для коня Атиллы искомый путь на данной доске нетрудно найти и непосредственно он состоит из 18 ходов6: Kg4 - f6 - е8 - g7 – е6 - f8 - g6 – е7 – с6 -а5 -b3 - d2 – b1 – а3 - b5 - d6 - f7 - h6 - g4.(можно воспользоваться и обратным путем). Для достижения цели коню Атиллы пришлось побывать на 18 полях из 35, не «сожженных» в начале сражения.

Задача о ходе коня.

На какой - то клетке шахматной доски стоит конь. Требуется обойти этим конем все остальные 63 клетки, побывав на каждой из них только один раз. Этой задачей занимался Эйлер и в письме к Гольдбаху (26 апреля 1757 года) дал одно из решений ее. Вот, что он пишет в письме: «...Вспоминание о предложенной когда - то мне задаче послужило для меня недавно поводом к некоторым таким тонким изысканиям, в которых необыкновенный анализ, как кажется, не имеет ни какого применения. Требуется обойти шахматным конем все 64 клетки шахматной доски так, чтобы на каждой клетке он побывал только один раз. С этой целью все места, которые занимал конь при своих последовательных ходах, закрывались марками. Но к этому присоединялось еще одно требование, чтобы начало хода делалось с данного места. Это последнее условие казалось мне очень затрудняющим вопрос. Я утверждаю, однако, что если полный обход коня будет возвратный, т. е. если конь из последнего места опять может перейти на первое, то устраняется и это затруднение. После некоторых изысканий по этому поводу я нашёл, наконец, ясный способ находить сколько угодно подобных решений (число их не бесконечно), не делая проб». Такое решение Эйлер дал в письме.

Каждое число обозначает ход коня. В письме не указано ни приемы, ни путь, которыми знаменитый ученый пришел к своему открытию.

Если говорить о графиках маршрутов коня, то здесь придумано множество необычных решений, изображающих различные предметы, буквы или знаки. Два достопримечательных примера такого рода приведены на рисунке. График одного маршрута напоминает собой вазу, а график другого подобен цветку. (Приложение, рис.10)

 Элементы комбинаторики на шахматной доске.                  

Ладья является самой распространённой фигурой в комбинаторных задачах на шахматной доске и часто упоминается в математической литературе. Между шахматным термином «ладья» и математическим понятием «многочлен» много общего. Учёные часто используют термин «ладейный многочлен». Большой класс комбинаторных  задач, важных в прикладной математике, сводится к подсчёту числа тех или иных расстановок ладей на шахматной доске. При этом существенную роль играет многочлен r0 +  r1 x  +  r22 x  + … +rkk x  + … + rnn x, где r - число расстановок k ладей, не угрожающих друг другу на доске nxn (k

 1. Пусть требуется назначить n рабочих на n различных работ, причём каждая работа должна выполняться одним рабочим. Сколькими способами можно сделать это назначение?

 Поставим в соответствие рабочим – горизонтали шахматной доски nxn, а работам – её вертикали. Если i – й рабочий назначается на j – ю работу, то поле, соответствующее пересечению i – й горизонтали и j –й вертикали, займём ладьёй. Так как каждая работа выполняется одним рабочим и каждый рабочий назначается на одну работу, то в результате расстановки n ладей все вертикали и горизонтали будут содержать по одной ладье, т. е. ладьи не угрожают друг другу. Нашей задаче можно придать шахматную формулировку.

           2. Сколькими способами  можно расставить n ладей на доске nxn так, чтобы они держали под обстрелом все поля доски?          

Если n ладей охраняют доску, то либо на каждой вертикали, либо на каждой горизонтали стоит хотя бы одна из них (если существует вертикаль и горизонталь, свободная от ладей, то поле, находящееся на их пересечении, не атаковано). Число расстановок nn ладей – по одной на каждой вертикали равно n  (первую ладью можно поставить на одно из n полей первой вертикали; вторую, независимо от первой, на одно из n полей второй вертикали и т.д.). Столько же имеется расстановок и по одной на каждой горизонтали. На первый взгляд, кажется, что общее расположение ладей равно nn  + nn  = 2nn . Но при таком подсчёте дважды учитываются расстановки, в которых на каждой вертикали и на каждой горизонтали стоит по одной ладье. Так как каждая из них характеризуется тем, что никакая пара ладей не угрожает друг другу, то решением задачи является число 2nn  - n! Число расстановок восьми ладей, обстреливающих обычную доску, равно 2*88  - 8! = 33514312.

Интересные задачи

1. Около каждой тюремной камеры можно поставить часового. Находясь у одной из камер, часовой видит, что происходит в некоторых других, от которых к данной ведут коридоры. Каково наименьшее число часовых, необходимое для наблюдения за всеми камерами?

Если шахматную доску рассматривать как тюрьму (да простят меня шахматисты за такую аналогию), причём поля считать камерами, а вертикали, горизонтали и диагонали - коридорами, то «часовыми» естественнее всего назначить ферзей, которые могут вести наблюдение в любых направлениях. При этом задача о часовых приобретает следующую шахматную формулировку. (Приложение, рис. 11)

Оказывается, пять ферзей вполне способны справиться с шахматной «тюрьмой». Доказано, что всего существует 4860 расстановок этих пяти ферзей-часовых. В расстановке, изображённой на рисунке, ферзи держат под обстрелом все свободные поля доски, но сами не угрожают друг другу. На следующем рисунке ферзи стоят на одной диагонали и, значит, обстреливают не только свободные поля доски, но и занятые.

С увеличением размеров доски необходимое число ферзей-часовых, естественно, возрастает. Любопытно, однако, что пяти ферзей хватает и для обстрела свободных полей досок 9х9, 10х10 и даже 11х11. На рисунке расположение ферзей дано сразу для трех этих досок. Внутренний  квадрат – это доска 9х9; квадрат, который получается при отбрасывании верхней горизонтали и правой вертикали, - доска 10х10; наконец, внешний квадрат – доска 11х11. (Приложение, рис.12)
          Одной из самых знаменитых математических задач на шахматной доске является задача о восьми ферзях. Эта задача привлекла внимание великого математика Карла  Гаусса.

2. Сколькими способами можно расставить на доске восемь ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. никакие два не стояли на одной вертикали, горизонтали и диагонали?

Очевидно, больше восьми ферзей (как и ладей) на обычной шахматной доске расставить невозможно. Найти какое-нибудь расположение восьми ферзей, не угрожающих друг другу, легко. На рисунке представлены искомые расстановки. Значительно труднее подсчитать общее число расстановок, в чем, собственно, и состоит задача.

Любопытно, что многие авторы ошибочно приписывали эту задачу и ее решение самому К.Гауссу. На самом деле, она впервые была поставлена в 1848 году немецким шахматистом М.Беццелем, который нашел 60 решений. Лишь после этого Карл Гаусс заинтересовался задачей и нашел 72 решения, которые он сообщил в письме к своему другу астроному Шумахеру от 2 сентября 1850 года. Ну, а полный набор решений данной задачи равен 92.

Строгое доказательство того,  что 92 решения исчерпывают возможности, было получено лишь в 1874 году английским математиком Глэшером. Забегая вперед, отметим, что существенных решений (не совпадающих при отражениях и поворотах доски) имеется только 12.

Доказано, что всякий основной набор решений задачи содержит ровно 12 расстановок. Вот один из таких наборов:

1. рис. а
2. рис. б
3. а4 b1 c5 d8 e6 f3 g7 h2
4. а4 b2 c5 d8 e6 f1 g3 h7
5. а4 b2 c7 d3 e6 f8 g1 h5
6. а4 b2 c7 d3 e6 f8 g5 h1
7. а3 b5 c2 d8 e6 f4 g7 h1
8. а4 b1 c5 d8 e2 f7 g3 h6
9. а4 b7 c3 d8 e2 f5 g1 h6
10. а6 b4 c2 d8 e5 f7 g1 h3
11. а4 b8 c1 d5 e7 f2 g6 h3
12. а4 b2 c7 d5 e1 f8 g6 h3

Остальные 80 расстановок получаются из этих двенадцати при помощи поворотов и отражений доски. Итак, всего на доске имеем 11·8+1·4=92 расстановки восьми ферзей, не угрожающих друг другу. (Приложение, рис.13)

3. Задачи, которые решаются с помощью правила пяти.

  Рассмотрю один вид окончаний «Ладья с пешкой против ладьи». У белых лишняя  пешка, но, выиграть они не могут. Для  оценки таких положений, в которых   король   чёрных отрезан от белой пешки,    а их ладья   атакует пешку с фронта,   существует простое   арифметическое    правило – правило пяти.   Если номер ряда   который занимает пешка, и     число   вертикалей, отделяющих от неё короля слабейшей стороны, в сумме дают число меньшее или равное пяти, то позиция ничейная; если же это число больше пяти,   то сильнейшая сторона выигрывает.                                                                                            

 Позиция на рис. ничейна. Пешка стоит на третьей горизонтали, а король отрезан  на 2 вертикали, 3 + 2 = 5. Игра может    проходить так:

        1.Крс3 Лс8+    2.Крb4 Лd8
     3.Крс4 Лс8+    4.Крb5 Лd8 5.Лd1 Крf6 6.d4
    (6.Крс6 Кре5) 6… Кре7 7.Крс6 Лс8+

c   простой  ничьей – чёрный король успел занять место впереди пешки. В позиции, отличающейся от предыдущей   сдвигом пешки и короля на одну вертикаль вверх, белые выигрывают – искомая  сумма больше пяти: 4 + 2 = 6. Вот так   достигается победа:

1.Крс4 Лс8+ 2.Крb5 Лd8 3.Крс5 Лс8+ 4.Крb6 Лd8 5.Лd1 Крf6 6.Крс7! Лd5 7.Крс6 Лd8 8.d5 и пешка без труда достигает последней горизонтали.
    Позиция на этом рисунке отличается первоначальной сдвигом чёрного короля  и белой ладьи на одну вертикаль вправо.  Чёрный король отрезан от пешки на 3 вертикали, и вновь 3 + 3 = 6.

Решает 1.Крс3 Лс8+ 2.Крd4 Лd8+ 3.Кре4 Ле8+4.Крf5 Лf8+ 5.Кре6 Лd8 6.Лd1 7. Кре5 Лd8 8.d4 и т.д.

Правило пяти применимо для положений со слоновой или коневой пешкой

 По правилу пяти ничья 1.Крb3 Лb8+ 2.Кра4 Лс8  Крb4 Лb8+ 4.Кра5 Лс8 5.Лс1 Кре3 6.с4Крd2, или 1.Ле6 Крf5 2.Лb6 Кре5 3.Крb3 Крd5 с простой ничьей. Результат не изменится при смещении последней позиции на одну вертикаль как вправо, так и влево.

Заключение.

В своей работе хотелось бы выразить огромную благодарность своему Учителю по шахматам Манцаеву Очиру Дорджиевичу. Он пришел к нам в класс, когда мне было 7 лет. Очир Дорджиевич так увлеченно рассказывал о шахматах, что весь наш класс захотел заниматься шахматами не только на уроках шахмат, но и во внеурочное  время. Но шахматы требуют большого труда, упорства, времени, а это выдерживают не все. Нас осталось четверо, но те, кто остались, до сих пор верны шахматам и нашему Учителю. Его любовь к шахматам началась давно. Но так уж получилось, что только  в 1995 году он смог открыть первый шахматный кружок в своем родном поселке Ики-Чонос Целинного района. И уже в 1996 году его воспитанник стал чемпионом республики.

В 2004 году  судьба привела его к нам в  Комсомольскую гимназию имени Б.Басангова. За эти 4 года среди его воспитанников: дважды чемпион по шахматам Республики Калмыкия, вице-чемпион по шахматам Республики Калмыкия, призеры республиканских турниров по шахматам, вице-чемпион по Южному Федеральному округу, игроки Высшей и призеры Первой Лиги России по шахматам.

В этой работе  хотелось показать, как решаются математические задачи на шахматной доске и решение шахматных задач с помощью математики. Шахматы служат удобной моделью многих важных и сложных задач, возникающих на практике. Преимущество шахмат, как модели, состоит в том, что в них, с одной стороны, легко сформулировать необходимые цели и задачи, а, с другой, - не так легко добиться этих целей. Аналогичная картина наблюдается и в экономике, планировании, управлении производственными объектами и т.д. Выбор успешного решения в сложных ситуациях, возникающих на практике, можно сравнить с выбором хорошего хода в шахматной партии в условиях ограниченного времени.

Игра в шахматы - не только интересное, но и полезное занятие. Шахматы развивают творческие навыки и комбинаторные способности, воспитывают волю, вырабатывают бойцовский характер. Я поставил себе цель найти связь между шахматами и математикой, и считаю, что выполнил поставленную задачу. На примерах подробно разобрана эта связь. Таким образом, математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою очередь помогают нам решать простейшие и даже самые сложные математические задачи, помогают развивать логику, внимание.

           В дальнейшем, я разберусь в том, что осталось для меня загадкой, и я обязательно буду продолжать играть в шахматы.

Список  литературы:

1. Гик Е.Я. «Шахматы и математика». Москва «Наука» 1983г. С. 3 - 4, 16 -30,

154-157.

2. Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка». Москва «Омега» 1994г. С. 86 - 99.

З. Игнатьев Е.И. «В царстве смекалки». Москва «Наука» 1978г. С. 51 - 63.

4. Карпов А.Е. «Шахматный калейдоскоп». Москва «Наука» 1981г. С. 4 - 5, 18 – 46.

5. Перельман Я.И. «Живая математика». Издательство «Наука» 1978г. С. 100 -

110.

6. «Шахматное обозрение 64» №9 2009г. С. 50

7. Энциклопедия для детей. Т.П. Математика. Москва «Аванта+» 2001г. С. 648 – 655.

8. http://chesspro.ru   Профессионально о шахматах

9. http://www.chess-online.ru  шахматы online