Проект "Геометрия в рисунках М.Эшера" Шелонникова Игоря студента Технологического колледжа г.Прохладный, КБР

Содержание

Глава І. Может ли геометрия    быть искусством?

1.1. Геометрия мозаики

1.2.Неевклидово пространство

1.3. Форма пространства.

1.4. Многогранники

1.5.Самовоспроизведение и информация.

Глава ІІ. Практическая часть.

2.1.

Литература.

Приложение.

Введение.

Вы действительно уверены, что пол не может также быть потолком?

М.Эшер.

В колледже я изучаю такой предмет, как геометрия. Это наука со своим специфическим методом познания мира, так как она изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве, их свойства. Это пространство, которое окружает нас. Все предметы в окружающем нас мире имеют три измерения, хотя не у всех можно указать длину, ширину, высоту Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творения природы и человека. Представители естественных наук, в частности физиков и астрономов всегда волновала надежность визуальных наблюдений.

Впервые увидев картины художника М. Эшера, я заинтересовался ими, и решил исследовать математическую сторону картин и гравюр, проанализировать необычные работы художника. Большинство из нас, людей, живущих в современном мире, даже не знают, что был когда – то такой талантливый художник,  дар которого был феноменальным. Его имя Морис Эшер.

Эшер Мауриц Корнелис — голландский художник, не поддающийся классификации, любимец математиков, физиков и других людей науки за крайне нестандартное творчество. Первый из художников, кто смог хорошо изобразить бесконечность, рекурсию, перевёл математические абстрактные конструкции на язык графики. Необыкновенные рисунки, которые он создавал, используя различные геометрические способы, до сих пор привлекают внимание настоящих ценителей прекрасного.

Цель работы: Исследовав некоторые из самых знаменитых рисунков Эшера, увидеть и обосновать математическое начало в творчестве Мориса Эшера, выяснить может ли геометрия быть искусством.

Задачи:

1. Изучить теоретический материал по данной теме.
2. Выяснить технику рисования с точки зрения математики.
3. Найти практическое применение рисунков Эшера.

Объект    исследования: Различные виды симметрии, параллельный перенос, равновеликие фигуры  в работах Маурица Эшера.

Предмет      исследования: Рисунки Эшера.

Методы     исследования:

1. Анализ учебной, методической, энциклопедической, научно - популярной литературы, практический.
2. Практическое исследование гравюр Эшера.

Глава І. Может ли геометрия    быть искусством?

Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней. М.Эшер.

1.1. Геометрия мозаики.

Знаменитые образы Мориса Корнелиса Эшера известны даже тем, кто не слышал имени невероятного голландского графика.

Путая плоскость и пространство, переплетая невиданным образом птиц и рыб с человеческими телами, создавая магические образы невозможных лестниц и водопадов, художник заставляет верить в магию. Переходы из двухмерного в трехмерное пространство удивительным образом заставляют мозг отказываться верить в увиденное. А ведь именно его работы стали вдохновлением для создателей «Хогвартса» и фильма «Лабиринт».

Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» — это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик — регулярными и нерегулярными — а также ввел собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости  подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шести-направленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей. Кроме того, Эшер стал изображать в своих мозаичных картинах фракталы (фигуры, состоящие из собственных маленьких подобий) еще до того, как математический термин «фрактал» был введен в употребление в 1975 году. Такое явление называют рекурсией, при котором объект повторяет сам себя, иногда — бесконечно. Эшер много раз использовал рекурсивный метод в разных формах.

“Иногда, когда я рисую, мне кажется, будто я медиум, находящийся во власти существ, порожденных моим же воображением, — сказал как-то раз Эшер — Они словно сами избирают, в каком виде им появиться... Линия, разделяющая две смежные фигуры, выполняет двоякую функцию, и провести такую линию чрезвычайно сложно. По обе стороны от нее обретает зримую форму то, что ранее существовало лишь в воображении. Но ни человеческий глаз, ни человеческий разум не могут одновременно созерцать две вещи, поэтому происходит быстрое и непрерывное переключение внимания с того, что находится по одну сторону линии, на то, что находится по другую сторону от нее. Но, вероятно, именно в этой трудности и кроется движущая пружина моего упорства”. В гравюре «РЕПТИЛИИ» маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах./Приложение 1/

1.2.Неевклидово пространство

Творчество Эшера интересно математикам не только потому, что в его работах можно обнаружить отголоски конкретных математических результатов. Скорее они вызывают ассоциации с общими математическими идеями. Платон считал, что абстрактные идеи живут отдельно в "мире чистых сущностей" (таковы идеи пространства и времени). В таком, платоновском понимании мир Эшера и мир математики.

Самые знаменитые работы Эшера построены как визуальные обманки, но, по сути, являются визуальным воплощением неевклидова пространства — то есть такого пространства, в котором параллельные прямые спокойно могут пересекаться. Эшер не доказывал теорем с помощью своих рисунков, просто демонстрировал удивительные возможности нашего восприятия. Эти поиски, надо сказать, были вполне в русле авангардного искусства. Один из интересных примеров проявления неевклидовой геометрии в работах Эшера — «Картинная галерея». Здесь переплетаются два пространства — галереи и картины, которая висит в галерее. Так как перспектива построена по незнакомому нам принципу, сразу разобраться в происходящем непросто. Но постепенно мы понимаем, что видим ситуацию одновременно с нескольких сторон — мужчина в картинной галерее смотрит на картину, мы смотрим на него, а женщина, изображенная на картине, — на мужчину из галереи. Это немного напоминает поиски кубистов, которые отказывались от реалистичности в поисках широты взгляда. Еще один пример неевклидового пространства в работах Эшера — гравюра «Относительность».

1.3. Форма пространства

Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, соприкасающиеся с природой самого пространства. Литография «Три пересекающиеся плоскости». Этот пример демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках, Эшер позже использовал данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов.

Под влиянием рисунков в книге математика Х. Коксетера Эшер создал много иллюстраций гиперболического пространства. Один из примеров можно увидеть в работе «Предел круга III». Здесь представлен один из двух видов неевклидового пространства, описанных французским математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине. Таким образом, путь, который вам надо будет пройти до границы круга, будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком пространстве, вы на первый взгляд не заметите ничего необычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством. Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь. Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников. Странное место, не правда ли?

Еще более странное пространство показано в работе «Змеи». Здесь пространство уходит в бесконечность в обе стороны — и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. Если вы попадете в такое пространство, на что оно будет похоже?

Под «логикой» пространства мы понимаем те отношения между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции.

Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемых особенностей логики пространства — игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии «Куб с полосками» выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине.

Второй тип картин с нарушенной логикой пространства — это «невозможные фигуры» - имп-арт.  Имп-арт — это направление в искусстве, нацеленное на изображение невозможных с точки зрения геометрии фигур. Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа — литография «Водопад» — основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии.

1.4. Многогранники

Правильные геометрические тела — многогранники — имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Замечу также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции — это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра «Звезды», на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе, лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом, нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

1.5.Самовоспроизведение и информация.

В заключении главы 1 рассмотрим аспекты творчества Эшера, относящиеся к теории информации и искусственному интеллекту. Эта область творчества художника широко освещена во многих статьях и книгах. Наиболее полное исследование этого вопроса освещено в книге Дугласа Хофстадтера «Гёдель, Эшер, Бах: Бесконечная золотая нить» выпущенной в 1980 году.  

Центральная идея самовоспроизведения, взятая Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литографии «Рисующие руки» и «Рыбы и чешуйки» используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы. В работе «Рыбы и чешуйки» концепция самовоспроизведения может быть названа самоподобием. Данная работа описывает не только рыб, а все живые организмы, в том числе и человека. Конечно, мы не состоит из уменьшенных копий самих себя, но каждая клетка нашего тела несет в себе информацию обо всем теле в виде ДНК.

Углубляясь в изучение самовоспроизведения, можно его обнаружить в отражении и пересечении отражений реального мира. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера. Мы рассмотрим лишь один пример — литографию «Три сферы», на которой присутствуют три шаровидных тела, сделанных из разных материалов с различной отражающей способностью. Эти сферы отражают друг друга и художника, и комнату, в которой он работает, и лист бумаги, на котором он рисует сферы. Хофстадтер в своей книге написал «… каждая частица мира содержит в себе весь мир и содержится к во всех других частицах мира…».

Глава ІІ. Практическая часть.

Исследование №1.

Рассмотрим гравюру «Бабочки» на которой изображены  разноцветные бабочки. Но, если посмотреть на них внимательнее, можно заметить  некоторое чередование бабочек. Давайте разберемся, каким же способом Эшер добился столь поразительного эффекта.  Представьте себе точку  О, через которую проведены три прямые. Вероятно, это похоже на центральную симметрию, в которой перенос изображения осуществляется относительно данной точки, в нашем случае это точка О. Следовательно, это произведение искусства Эшер создал как раз, используя  центральную симметрию.

Исследование №2

Рассмотрим следующий рисунок «Рыба поглощающая корабль»  на котором изображены рыбы и корабли. Чтобы узнать каким способом Эшер создал эту картину, давайте представим вектор, относительно которого можно провести две белые линии параллельные данному вектору,  которые фигуру желтого корабля преобразуют в фигуру зеленого цвета,  так из фигуры желтой рыбы можно получить фигуру рыбы синего цвета.  Вывод: такого эффекта, когда одна фигура выходит из другой фигуры,  можно добиться, только в совершенстве овладев, методом параллельного переноса.

Аналогично, рассмотрим паркеты «Крылатые львы» и «Птицы»

Исследование №3

Эшер испробовал множество различных способов создания необычного вида плиток. Выясним технику рисования с точки зрения математики.  

Предположим, у вас имеется набор красных и черных плиток. Можно выложить их,  например, в форме шахматной доски, чередуя красные и черные. В этом случае повторяющейся единицей был бы блок из четырех квадратов: двух красных и двух черных. Стыкуя блоки один с другим, можно создать не ограниченное размером огромное полотно. Если бы все плитки были одного цвета, повторяющейся единицей была бы одна единственная.

Чтобы сделать работы интересными, мастер часто скрывал основной геометрический образец, стыкуя различные формы и цвета. Когда смотришь на одну из таких мозаик, кажется, что каждая керамическая плитка выполнена в виде ящерицы. Казалось бы, ничего особенного:  ящерицы каким-то образом соединены в многократно повторяющийся рисунок. Нет ничего проще, чем вынуть одну из общего рисунка. Однако сделать это не удастся. И все из-за того, что повторяющаяся единица вовсе не одна ящерица, а несколько. Имеющие различную окраску, они и составляют основной блок. Каждый из образцов — загадка, шарада. Невозможно угадать, какова форма основы рисунка. Причем здесь используется центральная симметрия и параллельный перенос.

Вывод: Рисунки Эшера, состоят из взаимосвязанных изображений птиц, животных,  расположенных согласно законам симметрии или параллельного переноса.

Заключение.

О том, сколь многими способами фантастические орнаменты Эшера иллюстрируют различные аспекты симметрии, теории групп и кристаллографических законов, можно было бы написать целую книгу.

“Среди окружающего нас нередко хаотического мира, — писал Эшер, — они служат непревзойденным по своей выразительности символом извечного стремления человека к гармонии и порядку. В то же время их совершенство вызывает у нас ощущение собственной беспомощности. Правильные многогранники совершенно лишены человеческого элемента. Их нельзя считать изобретениями человеческого разума, ибо они существовали в земной коре в виде кристаллов задолго до того, как на сцене появилось человечество. Что же касается сферических форм, то разве сама Вселенная не состоит из сфер?”

Таким образом, мое исследование показало, сколь широка и многогранна деятельность человека, столь и различны требования, предъявляемые к форме и содержанию изображений. Одни из них должны производить на глаз человека такое же впечатление, какое производит и сам изображаемый предмет, иначе говоря, изображение должно обладать достаточной наглядностью. В другом случае изображение должно быть, в первую очередь, геометрически равноценно оригиналу, оно должно давать полную геометрическую и размерную характеристику изображаемого предмета.
Существует взаимовлияние в развитии геометрии и живописи; зрительные иллюзии существуют и их можно объяснить с помощью геометрии; оптические иллюзии использовались, и будут использоваться человеком в повседневной жизни.

При работе над темой я узнал много интересного о жизни замечательного голландского ученого художника Эшера. В работе я представил произведения художника разных лет и дал подробные описания использованных в них эффектов разбиения плоскости и трехмерного пространства. Провел исследование и доказал, что в своих рисунках М.Эшер применял различные виды симметрии, параллельного переноса. Рисунки М.Эшера можно применять на уроках геометрии, в укладке оригинального паркета, изразцов.

И самое главное я понял, что и  геометрия помогает  в создании красоты и удобства, т.е. того что объединяют одним словом – гармония!

Эшера можно назвать художником одиночкой. Его работы трудно отнести к какому-либо художественному направлению. Эшер не много не дожил до компьютерной революции, но своими работами он доказал, что предвидел компьютерную графику.

Литература.

1. Карпунина Н.М. Неожиданная математика. М.2003г
2. Розин В.М. Перспектива в геометрии и живописи. М. 1998 г
3. Франческа П. О живописной перспективе. Энциклопедия 2000г
4. Четверухин Н.Ф. Начертательная геометрия. М.1963г
5. Энциклопедия для детей. Художники Возрождения. М.2000 г
6. Интернет ресурсы:
   http.//mkesher.chaf.ru 
   http.//www.im-possible.info 
   http.//ru.wikipedia.org/wiki 
   http.//rspu.edu.ru 
   http.//mkesher.chat.ru 
   http.//www.exposter.ru
   http://www.worldofescher.com/

   http://www.mcescher.com/

            http://www.escher.ru/

Приложение 1.

Регулярное разбиение    Рептилии

плоскости птицами

                                                     Цикл                                                      Эволюция 1

Глоссарий.

Мозаика – это  регулярное разбиение плоскости, набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними.

Нерегулярные мозаики образуют неповторяющиеся узоры

Метаморфозы – на плоскости фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

Рекурсия – это  явление, при котором объект повторяет сам себя, иногда — бесконечно.

Имп-арт — это направление в искусстве, нацеленное на изображение невозможных с точки зрения геометрии фигур.