Решение систем уравнений с региональным содержанием

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ГИМНАЗИЯ №9

ДОКЛАД

Решение систем уравнений с региональным содержанием

Автор: Чульдум Дамырак 9 «В» класс

Научный руководитель: студентка 5к 1гр ФМФ Сундуй С.А.

Кызыл

2013

Оглавление

Введение………………………………………………………………………………………..3

Основная часть…………………………………………………………………………………4

Заключение……………………………………………………………………………………..11

Список использованной литературы………………………………………………………….12

Введение

Для исследования я выбрала тему «Решение систем уравнений с региональным содержанием» так, как однажды на уроке алгебры, когда учитель объясняла тему «Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций», я задумалась над тем, как было бы интересно,  если  бы в задачах, которые мы решаем, были бы предложения с тувинскими словами, названиями каких-либо объектов, предметов.

Для того чтобы начать исследование мне надо было изучить географию, историю нашей республики, данные статистики нашего региона. Изучив данный материал, нужно было отобрать ту информацию, из которой можно было составить задачи на решение систем уравнений как математические модели реальных ситуаций.

        Процесс составления задач был труднее, чем я ожидала, так как надо составить такую математическую модель, которая представляла бы собой систему двух уравнений с двумя переменными. Нужно было составлять задачи так, чтобы реальные цифры совпадали с полученными в ходе решения. Этот этап у меня занял большую часть времени от всего исследования.

        Составленные мною задачи, по моему мнению, вызовут интерес не только в узком кругу учеников, которые заинтересуются, но и главная моя цель привлечь внимание учителей-математиков, чтобы они задумались над тем, чтобы написать целый учебник с задачами с региональным содержанием.

Основная часть

Задача №1

Длины двух рек Бий-Хема (Большого Енисея) и Каа-Хема (Малого Енисея) в сумме равны 1285 км, а их произведение 411400 км. Найти длины рек, если река Бий-Хем длиннее, чем река Каа-Хем.

Решение:

I этап. Составление математической модели.

Пусть х км – длина реки Бий-Хем, у км – длина реки Каа-Хем, тогда система примет вид:

II этап. Работа с математической моделью.

По теореме Виета

Подставив вместо х, полученные значения получим:

По условию задачи река Бий-Хем длиннее, чем река Каа-Хем, следовательно длина реки Бий-Хем равно 680 км, а длина реки Каа-Хем равно 605 км.

Ответ: Длина реки Бий-Хем равно 680 км, а длина реки Каа-Хем равно 605 км.

Задача №2

В сумме количество школ и детских садов города Кызыла равно 48, а произведение на 651 меньше суммы их квадратов. Найдите количество школ и детских садов, если количество детских садов больше, чем количество школ.

Решение:

I этап. Составление математической модели.

Пусть a – количество школ, b – количество детских садов, тогда система уравнений примет следующий вид

II этап. Работа с математической моделью.

        Разделим на 3

Подставив вместо b, полученные значения получим:

По условию задачи количество детских садов больше, чем количество школ, поэтому количество детских садов равно 29, а количество школ равно 19.

Ответ: Количество детских садов равно 29, а количество школ равно 19.

Задача №3

Протяженность дороги М-54 Абакан-Кызыл составляет 415 км. Найдите протяженность этой дороги на территории Республики Тыва и вне ее территории до города Абакан, если разность квадратов данных расстояний равно 83415 км. Большая протяженность дороги М-54 в Республике Тыва.

Решение:

I этап. Составление математической модели.

Пусть a км – протяженность дороги в РТ

        b км – протяженность этой дороги вне территории РТ

Тогда система уравнений примет вид:

II этап. Работа с математической моделью.

Подставив значение выражения b, получим

Ответ: Протяженность дороги на территории РТ составляет 308 км, а протяженность вне ее территории равно 107 км.

Задача №4

Сумма площадей озера Чагытай и озера Хадын равно 52,2 кв. км. А произведение на 413, 96 кв.км больше, чем разность их квадратов. Найдите площади этих озер. Площадь озера Чагытай больше площади озера Хадын.

Решение:

I этап. Составление математической модели.

Пусть а кв.км – площадь озера Чагытай

        b кв.км – площадь озера Хадын

 Тогда система уравнений примет следующий вид

II этап. Работа с математической моделью.

Подставив вместо b, полученные значения получим:

и - не удовлетворяют условию задачи, т.к. площадь не может быть отрицательной.

Ответ: Площадь озера Чагытай равно 28,6 кв.км, а площадь озера Хадын равно 23,6 кв.км.

Задача №5

Разность вершин гор Монгун-Тайга и Догээ равно 2976 м. Если из вершины большей горы отнять увеличенное в 3 раза, вершину меньшей горы, то получится 970 м. Найдите вершины гор, если гора Монгун-Тайга выше, чем гора Догээ.

Решение:

I этап. Составление математической модели.

Пусть a м – высота горы Монгун-Тайга

        b м – высота горы Догээ

Тогда система уравнений примет вид:

II этап. Работа с математической моделью.

Подставив значение выражения b, получим

Ответ: Высота горы Монгун-Тайга равна 3976 м, а высота горы Догээ равно 1002 м.

Задача №6

По данным Всероссийской переписи, которая проходила 2010 году, число жителей Республики Тыва составило 307930 человек. Найдите число городского и сельского населения, если число сельского населения увеличить в 2 раза, то число всего населения станет равным 452430.

Решение:

I этап. Составление математической модели.

Пусть a  – число городского населения

        b  – число сельского населения

Тогда система уравнений примет вид:

II этап. Работа с математической моделью.

Подставив значение выражения b, получим

Ответ: число городского населения составило 163430, а число сельского населения -  144500

Задача №7

Расстояние между поселком Ак-Дуруг и поселком Чаа-Хол Чаа-Хольского района, равное 18 км, первый пешеход преодолел на 3 ч быстрее второго. Если скорость движения первого пешехода увеличить на 3 км/ч, а второго на 1 км/ч, то и в этом случае весь путь первый пешеход преодолеет на 3 ч быстрее второго. Найдите первоначальные скорости пешеходов.

I этап. Составление математической модели.

Пусть u – скорость первого пешехода, v – скорость второго пешехода

Тогда имеем систему

По смыслу задачи ни один из знаменателей не равен нулю, поэтому умножим первое уравнение на uv, и второе уравнение (u+3)(v+1) получим равносильную систему:

Учитывая 1-ое уравнение системы, 2-е можно записать в виде: 18-54+3u+9v+9=0, т.е. получим систему:

Подставляем полученные значения вместо v:

 - не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной

Ответ: Скорость первого пешехода равно 3 км/ч, второго – 2 км/ч

 Заключение

При написании данной работы, я значительно расширила свой кругозор. Закрепила навыки решения систем двух уравнений с двумя переменными, и более того научилась составлять задачи по данной теме.

Я надеюсь, что написанная мною работа привлечет к себе внимание и подаст идею людям, которые  пишут учебники, что  задачи в учебниках могут быть с региональным содержанием. По-моему мнению, такие задачи выполняют двойную функцию: побуждают интерес к решению задачи и углубляют знания школьников информации о малой Родине.

В этой работе я составила всего 7 однотипных задач, хотя если очень постараться можно составить задачи разного типа, но это уже будет продолжением моей работы.

Список использованной литературы:

1. С.И. Вайнштейн Загадочная Тува / С.И. Вайнштейн.- М.: - Известия, 2009.
2. География Республики Тыва 8 кл.: Учебник для общеобразоват. Учреждений/ С.Ш. Толунчап
3. Алгебра: 9 кл.: В двух частях. Ч 2: Задачник для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович и др.  – 5-е изд. – М.: Мнемозина,2003.
4. Алгебра: 9 кл.: Учебник для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович и др.  – 3-е изд. – М.: Мнемозина,2001.
5.  Алгебра: 9 кл.: Учебник для общеобразоват. учреждений/Ю.Н. Макарычев и др.; под ред. С.А. Теляковского – 4-е изд. – М: Просвещение, 1996.