Исследовательская работа "Золотое Сечение"

Конференция «Инициатива молодых»

(исследовательская работа)

Автор: Дворянкина Екатерина

ученица 6 класса

МОУ ООШ с. Арбузовка

Руководитель: Ивлиева Марина Васильевна

учитель математики

2014 г.

Содержание:

Введение

С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Предметы обихода жителей древности уже показывают стремление человека к красоте. На отдельном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в отдельную науку – эстетику. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония-соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в одно целое. Человек различает окружающие его предметы по цвету, вкусу, запаху, форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть вызван жизненной необходимостью, а может быть и красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит принцип “золотого сечения”, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Изучая на уроке тему «Пропорции», из рассказа учителя я узнала, что существует божественная пропорция, которая называется золотым сечением. Эта тема меня заинтересовала, и я решила узнать: что это такое? Поэтому я выбрала тему проекта «Золотое сечение».

Цель работы:  выявить,  что же такое золотое сечение, установить в каком отношении находятся части человеческого тела.

Задачи:

- изучить теоретические сведения по теме «Золотое сечение» (найти информацию по теме в литературе и Интернете);

- исследовать  размеры тела человека и определить  пропорции золотого сечения в предметах искусства, архитектуры, живописи, пропорции учебников, мебели;

- проанализировать полученные результаты, подготовить сообщение и презентацию по данному вопросу.

Предмет исследования: отображение золотого сечения  в искусстве и пропорциях человеческого тела.

Основной метод, который я использовала в своей работе – это метод исследования, систематизации и обработки данных.

1. Определение Золотого сечения

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений:    a:b=c:d. 
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• на части, когда АВ : АС = АС : ВС. 

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a:b=b:c или с:b=b:а.

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

        Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется отрезком с точкой А. На отрезке AC от точки С откладывается отрезок, равный ВС, заканчивающийся точкой D. На отрезке AB от точки А откладываем отрезок АЕ, равный отрезку AD. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям. 

2. ИСТОРИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Математикой нужно заниматься не ради ее приложений,

 а во имя духовной прибыли, которая связана с ней.

Платон

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.).

Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Французский архитектор Ле Kорбюзье нашел  что в рельефе из храма фараона Cети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Pамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Его диалог «Тимей» посвящен вопросам золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, величайшего математика Италии и Леонардо оставил свою затею. Он прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро Лука Пачоли приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Именно Леонардо да Винчи дал золотому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать». Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии.

Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в.

В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

3. Золотое сечение в архитектуре и живописи

" Красота должна отвечать строгому числу»

Л.Б.Альберти

Перенесемся в эпоху классической Греции. Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие древней Греции. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до       н. э.). Храм Афины - Парфенон был построен в честь победы эллинов над персами. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.    Протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном соотносятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон у места расположения монументальных ворот при входе в город (Пропилеи) отношения массива скалы у храма также соответствует золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.

Рис. 3. Парфенон                                       Рис. 4.  Схема здания Парфенона.

Все архитектурные сооружения, храмы и даже жилища от Древнего Египта и Древней Греции и до наших дней создавались и создаются в гармонии чисел – по правилам «Золотого Сечения».

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т.е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.    

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения».  Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.

Природа распорядилась в строении человеческого тела следующими пропорциями:

• четыре ладони равны стопе,
• шесть ладоней составляют один локоть,
• четыре локтя - рост человека,
• четыре локтя равны шагу, а двадцать четыре ладони равны росту человека,
• наибольшая ширина плеч - восьмая часть роста,
• расстояние от локтя до кончиков пальцев - 1/5 роста, от локтя до подмышечной ямки - 1/8,
• длина всей руки - это 1/10 роста,
• стопа - 1/7 часть роста.

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели.

Изучив теорию вопроса, я решила провести исследование и найти пропорцию золотого сечения в предметах окружающих нас и проверить в каком отношении находятся части тела учеников 5 – 7 классов и определить ученика с пропорциями «золотого сечения».

1. Предметы, окружающие нас

Мы измерили размеры классной доски:

Длина – 142 см,  ширина – 95 см.   Отношение ширины к длине равно 0,67 и оно не равно,  но близко к «золотому сечению».

Мы измерили размеры парт в кабинете математики: длина – 120 см,  ширина – 50 см.  Отношение ширины к длине равно 0,416. Сделали вывод: парты надо менять!

2. Учебники, по которым мы учимся

Для исследования мы взяли 4 учебника,  измерили  размеры и нашли отношение  размеров

Учебник              длина     ширина   отношение

«Русский язык»   220 мм    165 мм        0,75

«Математика»     220 мм    160 мм        0,73

«Биология»          220 мм     140 мм       0,64

«География»        260 мм     195 мм       0,75

На следующем этапе нашего исследования, мы решили выяснить, каким образом золотое сечение выражается в пропорциях человеческого  тела.

Мы произвели измерения  у 12 человек. Измерили рост (А), расстояние до талии (В) и от талии до макушки головы (С). Нашли отношение В : А и С : В.

3. «Золотое сечение» и  учащиеся 5 – 7 классов

• В эксперименте приняли участие 11 человек.
•  Измерили у всех рост(А) , расстояние до талии(В) и от талии до макушки головы(С)
• Нашли отношение В:А и С:В
• «Золотое сечение» составляет  0,618

Результаты:

• у 90% в отношении присутствует 0,6…
• у 45% отношение равно 0,61-0,62
• Самые пропорциональные телосложения оказались у 4-х учеников (36%)

 (Приложение)

  Их имена:

Тетёшкин Иван         0,613-0,604

Татарников Иван         0,621-0,611

Жемерикина Вика       0,619 -0,614

Колеконова Яна           0,618 -0,617   «Золотое сечение»

Через год мы повторим Эксперимент!

Заключение

 В результате проделанной работы я выяснила, что  «золотое сечение», или «Божественную пропорцию», можно обнаружить повсюду.

Золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы.

Человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе. Закономерности Золотого сечения заложены в подсознании человека, использовались и используются архитекторами в своих работах. Золотое сечение является отображением окружающегося мира.

Практическое применение моей работы состоит в том, что её можно использовать во внеурочных мероприятиях.

Обобщённость и систематизированность данных позволяет использовать материал для более глубокого изучения математики и сделать её привлекательней и интересней.

В результате  я научилась видеть золотое сечение в окружающем меня мире и отработала вычислительные навыки нахождения отношений.

По мере изучения материала у меня   возник вопрос:  можно ли самостоятельно  изготовить эскиз изделия, которое будет гармонично.  В будущем собираюсь продолжить свою работу. И я уверена, что подобные исследования не только развивают и поддерживают интерес учащихся, но и воодушевляют школьников на дальнейшие опыты творчества.

А – рост ученика

В – расстояние  от пола до талии

С – расстояние от талии до макушки

Литература

1.   Д. Пидоу. Геометрия и искусство. М. Мир 1990

2.   Васютинский Н. Н. Золотая пропорция. М. 1990

3. Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября» №42, 2000. -  32 с.

4.   Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3

5.  Электронная энциклопедия  Кирилла и Мефодия (2 CD)

6.  Энциклопедический словарь юного математика –М.,1989

7.   http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/

8.   http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

9.   http://tmn.fio.ru/works/04x/304/p3_4.htm

10. http://e-project.redu.ru/mos/images/blds.htm