Проектная работа по математике « СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ»

        Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №10»

Конференция «Первые шаги в науку»

Проектная  работа по математике

СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ

Автор работы:

ученица 5в класса

Сажина Наталья Дмитреевна

Руководитель:

учитель математики

Дуркина Алла Петровна

г. Печора

2013 год

Оглавление:

-  Цель работы, Задачи                                                                               3 стр.

- Введение.                                                                                                  4 стр.  

- Основная часть                                                                                         5 стр.

   * Умножение на пальцах.                                                                       6-8 стр.

    * Индийский способ умножения.                                                         9  стр.

    * Русский способ умножения.                                                              10-11 стр.

    * Китайский (рисовательный ) способ умножения.                           12-14 стр.

   * Рациональное умножение на 4,5,8,9,11,111,25 и на 125.                 15-17 стр.

- Заключение.                                                                                              18 стр.

 - Литература.                                                                                              19 стр.

2

Цель работы:

  Ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений.

 Показать необычные  способы умножения.

Задачи:

• Найти и разобрать различные способы умножения.
• Научиться демонстрировать некоторые способы умножения.
• Рассказать о новых способах умножения и научить ими пользоваться учащихся.
• Развить навыки самостоятельной работы: поиск информации, отбор и оформление найденного материала.
• Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

Гипотеза: Надо ли знать таблицу умножения?

Актуальность: В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к математике. Многие ученики не знают даже таблицы умножения! Чтобы привлечь внимание учащихся к математике и ответить на вопрос «Надо ли знать таблицу умножения?»  я  и выбрала тему своего проекта «Способы умножения натуральных чисел».

3

I . Введение.

  Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

  Однажды на уроке, мой учитель по математике показала таблицу умножения  на пальцах. И посоветовала прочитать книгу С. Н. Олехника, Ю. В. Нестеренко и М. К. Потапова «Старинные занимательные задачи».  Оказалось, что можно умножать не только так как предлагают нам в учебниках математики. Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить  вычисления вызывает откровенное удивление.

  Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что мы, учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

  Это мой первый опыт описать способы умножения. Я теперь знаю, что можно умножать числа  не только «столбиком», но и другими  способами.

4

II.   Основная часть. Необычные способы умножения.

Что такое умножение?

 Это действие сложения.

 Но не слишком-то приятное,

 Потому что мно-го-крат-ное…

                                        Тим Собакин

( Попытаемся сделать это действие  приятным и увлекательным)

Немного истории.

         Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину  пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века  мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

          Особенно трудны  в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного  практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы  один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

         В книге В. Беллюстина  «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики»  изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».              

5

 И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

       Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые  способы умножения.

2.1.Умножение на пальцах.

         Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.

Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто  2 и 3 пальца. Если   сложить количества загнутых  пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся   соответственно числа десятков и единиц искомого произведения  56 . Так можно вычислять   произведение любых однозначных чисел, больше  5.

6

Умножение на 9.

                      Умножение для числа 9 - 9·1, 9·2 ... 9·10 - легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится "на пальцах". Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким

7

образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип "вычисления".

Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве "счетной машинки" не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа - 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.

         7 клеток                                                                      2 клетки.

8

2.2 Индийский способ умножения.

       Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили  употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

       Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от  того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких – нибудь  разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

       Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:

537     6

   (5  6 =30)                                     30

537       6

   (300 + 3   6 = 318)                       318

           537     6

   (3180 +7   6 = 3222)                    3222

9

2.3.Русский способ умножения

Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа, таблица умножения в этом деле без надобности

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат (рисунок 1). Нетрудно понять, на чём этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам нечётное число? В этом случае от нечётного числа откидываем единицу и делим остаток пополам, при этом к последнему числу правого столбца нужно будет

10

прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечётных чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением (рисунки: 2, 3).

 Иными словами все строки с чётными левыми числами зачёркиваем; оставляем, а затем суммируем не зачёркнутые числа правого столбца.

Для рисунка 2: 192 + 48 + 12 = 252

 Правильность приёма станет ясна, если принять во внимание, что:

 5 × 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48

 21 × 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12

 Ясно, что числа 48, 12, утрачиваемые при делении нечётного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.

Русский способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно.

11

2.4 Китайский (рисовательный )способ умножения

С этим способом умножения меня познакомила мой учитель математики, предоставив в моё распоряжение несколько листочков с готовыми решениями в виде замысловатых рисунков. Закипел процесс расшифровки алгоритма рисовательного способа умножения. Для наглядности решила прибегнуть к помощи цветных карандашей.

Предлагаю Вашему вниманию три примера в цветных картинках (в правом верхнем углу проверочный столбик).

Пример №1: 12 × 321 = 3852

 Рисуем первое число сверху вниз, слева на право: одна зелёная палочка (1); две оранжевых палочки (2). 12 нарисовали .

 Рисуем второе число с вверху в низ, слева на право: три голубых палочки (3); две красных (2); одну сиреневую(1). 321 нарисовали.

Теперь простым карандашиком по рисунку прогуляемся, точки пересечения чисел-палочек на части разделим и приступим к подсчёту точек. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2, 5, 8, 3. Число-результат будем «собирать» слева направо (против часовой стрелки) и получили 3852 .

12

Пример №2: 24 × 34 = 816

 В этом примере есть особенность. При подсчёте точечек в первой части получилось 16. Единичку отправляем-прибавляем к точечкам второй части (20 + 1)…

Пример №3: 215 × 741 = 159315

( Без комментария).

13

На первых порах рисовательный способ умножения показался мне несколько запутанным, но при этом интересным. На пятом примере поймала себя на мысли, что умножение понятнее и работает в режиме автопилота: рисуем, точечки считаем, про таблицу умножения не вспоминаем, вроде как мы её вообще не знаем .

Но при работе с более «серьёзными» числами рисовательный способ умножения стал чересчур громоздким, а умножение столбиком пошло в радость.

14

2.5.Рациональные способы умножения

 Существует еще один способ умножения, очень похожий на способ умножения  русских крестьян. Если  один из множителей оканчивается на 5, то один из множителей делим на 2, а другой умножаем на 2.  Например,

  42 х 35= 21 х 70= 1470

  43 х 15= 21,5 х 30= 645

  44 х 25= 22 х 50 = 110

Умножение на 4 и на 8

   На 4 можно  умножать таким образом: данное число два  раза умножаем на 2.

Например, 43х4= 86х2= 176

Когда умножаем на 8, то данное число 3 раза умножаем на 2.

123х8 = 246х4 = 492х2 = 984

Умножение на 5

    Для того, чтобы умножать число на 5, надо это число разделить на 2 и полученному результату приписать 0:     86 х 5 = 430

    Если же  число не делится на 2, то к неполному частному  добавляем 5:     49х5 = 245

Умножение на 9

     Чтобы умножать число на 9, его надо сначала умножать на 10, потом  из полученного числа вычисть  данное число.  345 х 9 = 3450 – 345= 3 105

Умножение на 11

    А) Число умножать на 10 и прибавить это же число:   567 х 11 = 5670 + 567= 6237

    Б) Если двузначное число умножаем на 11, то  между цифрами этого числа вставить сумму  цифр этого числа:     34 х 11= 3(3+4)4= 374           78 * 11 = 7 (3+8) 8 = 818

15

Умножения трёхзначных чисел на 11

Для умножения трёхзначных чисел на 11 так же можно умножить трёхзначное или четырёхзначное число на 10 и к произведению прибавить это же число, т.е. употребить первый из рассмотренных приёмов умножения на 11.
Познакомимся с приёмом умножения трёхзначного числа на 11 при помощи второго способа, он вытекает из письменного приёма умножения на 11.
758х11=8338.
справа нужно записать число единиц множимого, т.е 8, затем к 8 прибавить следующее за ним слева число 5;

1

5 + 8 = 13; запишем 3, а 1 держим в уме.
далее 1 в уме прибавляем к 5 и складываем со следующим числом слева, с 7;

6 + 7 = 13, 3 пишем, а 1 добавим к 7, получим 8.
Можно этот приём применять и для четырёх- пятизначных чисел (и с большим числом знаков)
137542х11=1512962
При известной сноровке такой приём умножения на 11 может быть полезен.

Умножения двузначного числа на 111 так же полезно запомнить
35∙111=3885   Мы видим, что по краям стоят числа 3 и 5 , а посредине повторяются дважды сумма цифр 3 и 5.
Также можно рассмотреть приём умножения двузначного числа на 1111:

52∙1111=57772

Умножение на 25

   Для того, чтобы число умножать на 25, данное число  делим на 4 и умножаем на 100.

                   44 х 25 = 1100                    36 х 25 = 900

16

Если  же число не делится нацело на 4, то поступаем таким образом: находим неполное частное и остаток от деления на 4, потом этот остаток  умножаем на 25 и  к неполному частному приписываем  полученное произведение.

         65 х 25 = 1625    (ост 1,   1х25= 25)

         34х25 = 850        (ост 2,   2х 25=50)

         67х25 = 1675      ( ост 3, 3х25 = 75)

Умножение на 125

  Для того, чтобы число умножать на 125, данное число  делим на 8 и умножаем на 1000.

               328х125=  41000                       256 х 125=32000

17

Заключение

    Работая над этой темой, я узнала, что существует много различных, забавных и интересных способов умножения. Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор

     Рассмотренные мною способы умножения не такие сложные и могут повседневно использоваться учениками. Они познавательны и интересны.

    Я знаю, что существуют еще, много интересных способов вычислений.      И я соберу целую коллекцию таких  примеров рационального вычисления.

   Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

18

Литература

1. Перельман.Я.И. Живая математика.-М.:Астрель:АСТ, 2005
2. С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко и М. К. Потапов«Старинные занимательные задачи».  
3.  В. Беллюстин  «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики»  

 4. И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин  “За страницами учебника математики”.

 5.  Л.Ф. Магницкий  «Арифметика».

6. Журнал «Математика» №15 2011г.

  7. Интернет-ресурсы.

19