Проект по геометрии «Вездесущая симметрия»

Вездесущая симметрия

“Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков  пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”.

Г. Вейль

           Природа в различных своих творениях, казалось бы, очень далеких друг от друга, может использовать одни и те же принципы.

            И человек в своих творениях: живописи, скульптуре, архитектуре…

        Основополагающими принципами красоты при этом являются пропорции и симметрия.

Понятие симметрии нам хорошо знакомо, ведь мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку, т.е. асимметрии.

Обратимся к определению симметрии. В «Кратком Оксфордском словаре» симметрия определяется как «красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью».

           Если мы заглянем в «Современный словарь иностранных слов», то обнаружим, что под симметрией понимается «соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра…».

            В энциклопедическом словаре дается следующее определение симметрии: “симметрия” по-гречески означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”.

Общее понятие симметрии характеризует особую структуру организации любых систем, в которой сохраняются  определенные признаки при выполнении определенных преобразований. Признаки, которые будут сохраняться, могут быть геометрическими, физическими, биологическими, информационными и т.д.

          Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества.

          Существуют две группы симметрий: к первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

Первоначально понятие о геометрической симметрии связывалось с понятием о гармонии пропорций,  о «соразмерности», что и означало в переводе с греческого слово «симметрия», с течением времени оно приобрело универсальный характер, и было осознано как всеобщая идея инвариантности (то есть неизменности) относительно некоторых преобразований.

         Простейшими видами пространственной симметрии являются центральная, осевая, зеркальная, поворотная и симметрия переноса.

Центральная симметрия.

          Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе.

Осевая симметрия.

        Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а. Прямая а называется осью симметрии.

Зеркальная симметрия.

         Зеркальная симметрия отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно плоскости а.

В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии. Отображение пространства на себя относительно плоскости называют зеркальной симметрией. Название это оправдано тем,  что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале

Поворотная симметрия  

         Поворотная симметрия  - это такая симметрия при которой объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n, где n = 2,3,4...

 Переносная симметрия.

        Если при переносе плоской фигуры F вдоль заданной прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой, то говорят о переносной симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, расстояние а элементарным переносом

Симметрия в живых организмах

   На явления симметрии в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием учения о гармонии (V век до н.э.). В XIX веке появились единичные работы, посвящённые симметрии в растительном и животном мире.

Симметрия у растений.

       В растительном мире  симметрия встречается в изобилии. Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды.

         Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере любого дерева. Дерево поглощает из почвы влагу и питательные вещества за счёт корневой системы, то есть внизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть наверху. Поэтому направления "вверх" и "вниз" для дерева, существенно различны. А направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически неразличимы: по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступают воздух, свет, и влага. В результате появляется вертикальная поворотная ось и вертикальная плоскость симметрии

      Только зеркальная симметрия наблюдается у листьев: клена, дуба, березы, тополя, но встречается и у цветов.

       Для цветов в большей степени  характерна поворотная симметрия.

В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси разных порядков. Однако наиболее распространена поворотная симметрия 5-го порядка. Эта симметрия встречается у цветов зверобоя, незабудки, гвоздики, колокольчика.

      Часто поворотная симметрия цветов сочетается с зеркальной симметрией. Например, у цветов яблони, груши, рябины, земляники, настурции, флокса.

Веточки деревьев, кустарников и растений сочетают в себе зеркальную и переносную симметрию. Хорошо видна зеркальная и переносная симметрия у веточек акации, папоротника .

        Веточки могут обладать скользящей осью симметрии. Веточка боярышника обладает скользящей осью симметрии.

Симметрия у животных.

Активно подвижные животные –двусторонне симметричны,

Полагают, что такая симметрия связана с различиями движений организмов вверх — вниз, вперед — назад, тогда как их движения направо — налево совершенно одинаковы. Нарушение двусторонней симметрии неизбежно приводит к торможению движения одной из сторон и изменению поступательного движения в круговое.

      Зеркальная симметрия или билатеральная – характерная симметрия для всех представителей животного мира. Если одна половина объекта является зеркальным двойником по отношению к другой его половине, то объект называют зеркально симметричным. То есть, если разрезать объект на две половинки по плоскости, то половинки являются зеркальным изображением одна другой. Плоскость называется плоскостью симметрии. Эта симметрия хорошо видна у бабочек. Можно сказать, что каждое животное, насекомое, рыба, птица состоит из правой и левой половин .

        Симметричность формы необходима рыбе, чтобы плыть, птице, чтобы летать, животному, чтобы бежать. В направлении движения нет симметрии. В этом направлении животное устремляется за пищей, в этом направлении оно спасается от преследователей. Это направление задает плоскость симметрии живого существа.

        В животном мире встречается и поворотная симметрия Примерами могут служить морская звезда и панцирь ежа. Однако, в отличие от мира растений , поворотная симметрия в мире животных наблюдается редко. Мы встречаемся с ней у некоторых обитателей моря: медуз и морских звезд.

Подавляющее число живых организмов обладает одной из трех ее видов: шаровидной, лучевой, двусторонней симметрией.

Некоторые имеют несколько  осей симметрии, пересекающихся в одной точке, такая симметрия называется лучевой или радиальной

Лучевой симметрией обладают организмы, ведущие неподвижный или мало подвижный образ жизни

       Почему в природе господствует симметрия?        

       Причина – сила тяготения, действием силы тяготения или отсутствием таковой объясняется то, что космические тела, плавающие во вселенной, и микроорганизмы, взвешенные в воде, обладают высшей формой симметрии – сферической (при любом повороте относительно центра фигура совпадает сама с собой). Пример – планеты Земля, Луна и другие. Все организмы, растущие в прикреплённом состоянии (деревья) или животные, для которых сила тяжести является решающей,  обладают осевой симметрией, если кроме силы тяжести действует другие силы ( в воде) животные и растение могут обладать центральной симметрией. Если на животных действует коме направления силы тяжести направление движения, то такие животные имеют плоскость симметрии, которую биологи называют билатеральной.

          Симметрия – это не только математическое понятие. Его заимствовали из природы. А так как человек – это часть природы, то человеческое творчество во всех его проявлениях тяготеет к симметрии. Симметрия в живой природе: в животном и растительном мире, – передается генетически из поколения в поколение.

     Симметрия в природе. Мы ежедневно сталкиваемся с ней - это смена дня и ночи, смена времен года, пространственно-временная симметрия (неизменность действия законов природы для всех моментов времени).

         Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. А что такое кристалл? Твердое тело, имеющее естественную форму многогранника. Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образов кристаллов одного и того же вещества.

Представления о красоте и совершенстве родились и  упрочились под воздействием окружающей природы еще у наших далеких предков. Особенно поражали кристаллы правильностью своих пропорций,  безукоризненным  повторением формы. Симметрия внешней формы кристалла  является следствием его внутренней симметрии  расположения атомов.

          Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией.

          Кроме того, множество законов физики основаны на свойствах симметрии. Например, ваш будильник одинаково звенит в любом углу комнаты, что иллюстрирует важную физическую симметрию - однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства. Благодаря этой симметрии все физические приборы (в том числе и будильник) одинаково работают в разных точках пространства, если, конечно, не изменяются окружающие физические условия. Таким образом, не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех них принципом симметрии.

         Характерно, что к наиболее интересным результатам наука приходила именно тогда, когда устанавливала факты нарушения симметрии. Следствия, вытекающие из принципа симметрии, интенсивно разрабатывались физикам в прошлом веке и привели к ряду важных результатов. Такими следствиями законов симметрии являются прежде всего законы сохранения классической физики.

     Связь законов сохранения с пространственно-временной симметрией физических законов означает, что сам по себе ход времени или перемещение и поворот в пространстве не могут вызвать изменения физического состояния системы. Для этого необходимо взаимодействие данной системы с другими системами.                                                          

      Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают симметрией (или инвариантны) относительно данных преобразований.

        Но принципы симметрии лежат не только в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических.     Примером биологического закона сохранения может служить закон наследования. В основе его лежат инвариантность биологических свойств по отношению к переходу от одного поколения к другому. Вполне очевидно, что без законов сохранения (физических, биологических и прочих) наш мир попросту не смог бы существовать.        

          Симметрия обнаруживается также и на атомном уровне изучения вещества. Она проявляется в недоступных непосредственному наблюдению геометрически упорядоченных атомных структурах молекул.

Молекула воды имеет плоскость симметрии (прямая вертикальная линия). Ничто не изменится, если поменять местами парные атомы в молекуле; такой обмен эквивалентен операции зеркального отражения.

        Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота). Это двуцепочечный высокомолекулярный полимер, мономером которого являются нуклеотиды. Молекулы ДНК имеют структуру двойной спирали, построенной по принципу комплементарности.

      В молекуле метана СН4 атом углерода связан с четырьмя одинаковыми атомами водорода. Физическое равноправие всех четырёх связей между атомами углерода и водорода естественным образом согласуется с пространственной структурой молекулы метана в виде тетраэдра, в вершине которого находятся атомы водорода, а в центре - атом углерода

           Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Многие народы с древних времён владели представлением о симметрии в широком смысле - как эквиваленте уравновешенности и гармонии.

       Формы восприятия и выражения во многих областях науки и искусства, в конечном счёте, опираются на симметрию, используемую и проявляющуюся в специфических понятиях и средствах, присущих отдельным областям науки и видам искусства.

Симметрия в литературе, музыке.

         В литературных произведениях существует симметрия образов, положений, мышления. 

       В греческой трагедии - виновный становится жертвой такого же преступления.

       В «Евгении Онегине» А. С. Пушкина мы наблюдаем симметрию  положений: «Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытывать горечь отвергнутой любви»

Буквы А, М, Т, Ш, П имеют вертикальную ось симметрии

 В, З, К, С, Э, В, Е – горизонтальную.

 А буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии.

     В русском языке есть «симметричные слова – палиндромы, которые можно читать одинаково в двух направлениях:   Шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп.

     Могут быть палиндромическими и предложения.

А роза упала на лапу Азора.

Я иду с мечём судия.

 Г.Р. Державин.

        В музыке мы имеем дело с единством симметрии и асимметрии. «Душа музыки – ритм – состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения, - писал в 1908 году известный русский физик Г.В. Вульф. – Правильное же повторение одинаковых частей в целом и составляет сущность симметрии. Мы с тем большим правом можем приложить к музыкальному произведению понятие симметрии, что это произведение записывается при помощи нот, т.е. получает пространственный геометрический образ, части которого мы можем обозревать». Он же писал: «Подобно музыкальным произведениям, могут быть симметричны и произведения словесные, в особенности стихотворения».

    В стихотворениях подразумевается симметрия чередования рифм, ударных слогов, то есть опять таки ритмичность.

        Самое непосредственное отношение к симметрии имеет композиция. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете утверждал, что «всякая композиция основана на скрытой симметрии». Владеть законами композиции – это значит владеть законами симметрии. Три основных закона композиции предполагают трансляционно-тождественное повторение элементов структуры, контрастное повторение, варьированное повторение. Это выглядит как орнамент во времени.

     Нас всегда будут восхищать «орнаменты», созданные великим русским поэтом А.С. Пушкиным. Вот относительно простой, изящный пушкинский «орнамент»:

    …В гранит оделася Нева;

    Мосты повисли над водами;

    Темно-зелеными садами

    Ее покрылись острова…

                     Пушкин А.С. «Медный всадник»

В тот год осенняя погода                                                                        

Стояла долго на дворе

Зимы ждала, ждала природа

Снег выпал только в январе                              

На третье в ночь. Проснувшись рано,                

В окно увидела Татьяна                                  

Поутру побелевший двор,    

Куртины, кровли и забор,

Все ярко, все бело кругом.

На стеклах легкие узоры,  

Сорок веселых на дворе

Деревья в зимнем серебре

И мягко устланные горы

Зимы блистательным ковром                     Пушкин А.С.   «Евгений Онегин»

Симметрия в искусстве.

В искусстве симметрия получила распространение как один из видов гармоничной композиции. Она свойственна произведениям архитектуры и декоративно-прикладного искусства. Человек уже на заре цивилизации имел представление о симметрии, по ее законам строил свои сооружения, изготовлял предметы быта. Мощные, торжественные египетские храмы, светлые по образу древние греческие строения, знаменитые римские форумы и триумфальные арки - все эти сооружения симметричны. В прикладном искусстве это различные вазы, чайные и кофейные сервизы, украшения.

Для симметричной организации композиции характерна уравновешенность ее частей по массам, по тону, цвету и даже по форме. В таких случаях одна часть почти зеркально похожа на вторую. В симметричных композициях чаще всего имеется ярко выраженный центр. Как правило, он совпадает с геометрическим центром картинной плоскости. Если точка схода смещена от центра, одна из частей более загружена по массам или изображение строится по диагонали, все это сообщает динамичность композиции и в какой-то мере нарушает идеальное равновесие.

Обратимся к картине да Винчи «Мадонна Литта». Фигуры мадонны и ребенка вписываются в правильный треугольник, который вследствие своей симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигается на передний план. Голова мадонны совершено точно, но в то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на заднем плане картины. В окнах просматриваются спокойные горизонтальные линии пологих холмов и облаков. Все это создает ощущение покоя и умиротворенности.

Симметричной композицией можно назвать и «Тайную вечерю» Леонардо да Винчи. Впечатление целостности от этой центростремительной композиции усиливается еще и тем, что художник показал помещение трапезной в перспективе с точкой схода параллельных линий в середине окна, на фоне которого четко рисуется голова Христа. Таким образом, взор зрителя невольно направляется к центральной фигуре картины.

Симметрична композиция православной иконописи. Пример – «Троица».

Картина «Богатыри» также построена на основе правила симметрии. Центром композиции является фигура Ильи Муромца. Слева и справа, как бы в зеркальном отражении, размещены Алеша Попович и Добрыня Никитич. Фигуры расположены вдоль картинной плоскости спокойно сидящими на конях. Симметричное построение композиции передает состояние относительного покоя. Левая и правая фигуры по массам неодинаковы, что обусловлено идейным замыслом автора. Но обе они менее мощные по сравнению с фигурой Муромца и в целом придают полное равновесие композиции.

Симметрия в архитектуре.

       Архитектура - удивительная область человеческой деятельности. В ней  тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное единство этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры, неподвластным времени, подобно памятникам литературы, ваяния, музыки.

       Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие.

       В сознании древнегреческих архитекторов симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, красоты.

      Впечатление от здания во многом зависит от ритма, т.е. от четкого распределения и повторения в определенном порядке объемов зданий или отдельных архитектурных форм на здании (колонн, окон, рельефов и т.д.). Преобладание элементов вертикального ритма - колонн, арок, проемов, пилястр - создает впечатление облегченности, устремленности вверх.

Наоборот, горизонтальный ритм - карнизы, фризы, пояса и тяги - придает зданию впечатление приземистости, устойчивости.

        В большинстве случаев симметричны(относительно оси или центра) узоры на коврах, тканях, обоях

        Подавляющее большинство самых необходимых для нас предметов — от книги, ложки, чайника и молотка до газовой плиты, холодильника и пылесоса — тоже обладает  симметрией. 

        Большинство транспортных средств, от детской коляски до сверхзвукового реактивного воздушного лайнера, предназначенных для движения по земной поверхности или параллельно ей, так же имеют  осевую симметрию Космическая ракета, устремляющаяся вверх, в небо имеет и осевую, и центральную симметрию

Заключение

     С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Симметрия играет определяющую роль не только в процессе научного познания мира, но также и в процессе его чувственного эмоционального восприятия. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность. Симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир 

     Знание геометрических законов природы имеют огромное практическое значение. Мы должны не только научиться понимать эти законы, но и заставлять служить нам на пользу.

 “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков

 пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”.

Г. Вейль

О симметрия! Гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в елочке, что у лесной дорожки.

С тобою в дружбе и тюльпан и роза

И снежный рай – творение мороза.

Литература:

•  Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.
• Смолина Н.И. Традиции симметрии в архитектуре. - М., 1990.
• Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М., 1972.
• Гаспаров М.Л. Очерк истории русского стиха: метрика, ритмика, рифма, строфика. М., 1984
• Вульф Г.В. Симметрия и ее проявления в природе. М., Изд. Отд. Нар. ком. Просвещение,  1991.

Интернет источники:

• http://school-collection.edu.ru/
• http://ru.wikipedia.org/wiki/_ "Симметрия в пространстве«
• http://referat.ru/referats/view/920