Старинная русская система мер.

Исследовательская работа:

Старинная русская система мер.

Выполнила: ученица 7 «В» класса МБОУ «Большеберезниковская СОШ» Гусихина Татьяна.

Руководитель: учитель математики Архипова Нина Алексеевна.

В данной работе рассмотрены старинные меры длины на Руси. Автор раскрыла  длину различных мер: пядь, локоть, сажень, верста и т.д. и их взаимосвязь с метрической системой мер. Также рассмотрена история создания метрической системы мер. Проведен исследовательский блок.

План    

    1.Вступление.  

2.Основная часть  а) Как измеряли в древности. б) Старинные русские меры.

  в) Метрическая система мер.  

3.Исследовательский блок.

  4. Заключение.

1. Вступление.

   Каждому человеку, научившемуся считать и писать, неоднократно приходилось что-то измерять: высоту дерева, собственный вес, длину прыжка, время бега и многое другое.

   Приступая к данной работе, я  поставила перед собой следующие задачи:

- Изучить различные меры длины.

- Установить связь между различными единицами длины.

- Измерить свой рост и рост родителей в сантиметрах и рассчитать его   в различных единицах длины.

2.а). Как измеряли в древности.

    Первые единицы для измерения величин были не слишком точными. Например, расстояния измерялись шагами. У разных людей величина шага различна, поэтому брали некоторую среднюю величину. Для измерения больших расстояний служила миля – путь в 1000 двойных (и правой, и левой ногой) шагов. А ещё большие расстояния измеряли переходами или днями передвижения.

    Однако шаги, мили, переходы – всё это было хорошо для измерения расстояний на земле. Ни рост человека, ни рулон ткани шагами не измеришь. Одной из самых распространённых единиц длины был локоть – расстояние от локтя до конца среднего пальца. Эти расстояния были различны.

    В Англии король Генрих I однажды много-много лет назад вытянул вперед правую руку и заявил: «Расстояние от кончика моего носа до большого пальца руки будет служить для всего моего народа мерой длины и называться Ярд. Его подданные тут же приготовили бронзовый прут «от королевского носа до пальца», и ярд надолго стал для всех англичан единицей измерения длины. Длина ярда 91,44 см.

  В средние века в Европе придумали еще одну единицу измерения длины - Фут. Фут - это средняя длина ступни взрослого мужчины. По-английски это означает «ступня», «нога». Один фут равен 30,48 см. В Вавилоне, как и в других странах, меры были согласованы друг с другом. Начиналось всё с единиц для измерения длин. Основной из них был локоть. Локтями мерили ткани, но для измерения земельных участков применяли единицы длины в 12 локтей (примерно 6 м) см. Дороги измеряли даннами – 3600 локтей (примерно 1,8 км).

2.б). Старинные русские меры

   Русский народ создал свою собственную систему мер. Древнейшими русскими мерами длины являются локоть и сажень. Точной первоначальной длины той и другой меры мы не знаем; некий англичанин, путешествующий по России в 1554 году, свидетельствует, что русский локоть равнялся половине английского ярда.

    ЛОКОТЬ  равнялся длине руки от пальцев до локтя (по другим данным - "расстояние по прямой от локтевого сгиба до конца вытянутого среднего пальца руки"). Величина этой древнейшей меры длины, по разным источникам, составляла от 38 до 47 см. С 16-го века постепенно вытесняется аршином и в 19 веке почти не употребляется.

    Согласно «Торговой книге», составленной для русских купцов на рубеже XVI и XVII веков, три локтя были равны двум аршинам. Название «аршин» происходит от персидского слова «арш», что значит локоть.

   Первое упоминание сажени встречается в летописи XI века, составленной киевским монахом Нестором. В более поздние времена установилась мера расстояний верста, приравненная к 500 саженям. В древних памятниках верста называется поприщем и приравнивается к 750 саженям.

  ВЕРСТА - старорусская путевая мера (её раннее название - ''поприще''). Этим словом, первоначально называли расстояние, пройденное от одного поворота плуга до другого во время пахоты.

  САЖЕНЬ-значение сажени 151,4 см. "Маховая сажень" - 1,76м, расстояние между концами пальцев широко расставленных рук взрослого мужчины. "Косая сажень " - 2,48м, самая длинная: расстояние от носка левой ноги до конца среднего пальца поднятой вверх правой руки

  Для измерения меньших расстояний употреблялась ладонь – ширина кисти руки, и пядь – расстояние между раздвинутыми большим и указательным пальцами (17,8 см). Ещё меньшей единицей длины является дюйм – ширина большого пальца.

   В XV и XVI веках происходит объединение русских земель вокруг Москвы. Мера аршин, возникшая при торговле с восточными народами, входит в употребление. В XVII веке меры уточнялись. Русская система мер длины стала иметь вид: Миля = 7 верстам = 7,47 км; Верста = 500 саженям = 1,07 км; Сажень = 3 аршинам = 7 футам = 2,13 м; Аршин = 16 вершкам = 28 дюймам = 71,12 см; Фут = 12 дюймам = 30,48 см; Дюйм = 10 линиям = 2,54 см; Линия = 10 точкам = 2,54 мм.

    Меры длины в пословицах.  

   Старинные русские названия мер длины встречаются в пословицах и образных выражениях: ни пяди земли; мерить на свой аршин; косая сажень в плечах; ты от дела ни на пяденьку, а оно от тебя на саженьку.

2.в). Метрическая система мер.

    Потребности практики заставили начать поиски единой системы мер. При этом было ясно, что надо отказаться от установления связей между единицами измерения и размерами человеческого тела. И шаг у людей бывает разный, и длина ступни у них неодинакова, и пальцы у них разной ширины. Поэтому надо было искать новые единицы измерения в окружающей природе. Метрическая система мер была введена впервые во Франции в 1795 году.

      К 1875 году метрическую конвенцию подписали уже 17 государств, включая Россию, где применение новой системы было разрешено, но не стало законом. В России учёные с начала X1X века поняли значение метрической системы и пытались её широко внедрить в практику. Окончательное решение вопрос о метрической системе в России получил уже после Великой Октябрьской социалистической революции.

    К 1972 году метрическую конвенцию подписало уже 41 государство. Творцы этой универсальной системы мер написали на талоне метра: «На все времена всем народам!».

3. Исследовательский блок.

  В данной работе я решила измерить свой рост  и рост своих родителей на данный момент времени. Выразить его в сантиметрах, саженях, аршинах, футах, ярдах.

У нас получилось:

4. Заключение.

    В данной работе я изучила  вопрос об измерениях в древности, старых русских мерах и метрической системе мер. Узнала свой рост и рост своих родителей  на данный момент времени. Выразила его в сантиметрах, саженях, аршинах, футах, ярдах. Нашли средний рост учащихся класса в различных единицах длины.

    В результате я  пришла к следующим выводам: для измерения длин можно использовать различные единицы измерения длины; установлена связь между различными единицами длины; каждая из единиц длины может быть представлена через общепринятую метрическую систему мер, а следовательно становится понятной для любого человека.

МОУ «Большеберезниковская средняя общеобразовательная школа  №1»

Предмет: геометрия

Исследовательская работа

Треугольники

                             Автор работы:  Волкова Виктория Васильевна,

                          ученица 7 «А» класса

                             Руководитель:  Архипова Нина Алексеевна,

                           учитель математики.

Оглавление.

I. Введение.

II. Основная часть.

Глава 1. Теоретическая часть.

• Треугольник. Основные понятия и элементы.
• Основные свойства треугольников.
• Четыре замечательные точки треугольника.
• Признаки равенства треугольников.
• Исторические сведения.

Глава 2. Практическая часть.

• Исследовательская работа.
• Классификационная схема видов треугольников.
• Задания, придуманные мною, для учащихся 7-х и 8-х классов.

Глава 3. «Треугольники» – встречающие в природе, технике, быту.

III. Заключение.

Результаты исследования и выводы.

IV. Список литературы.

V.  Приложение.

Цели исследования:

-  Углубление, обобщение и систематизация знаний в выбранной   теме «Треугольники».

• Вести поиск возможностей проектирования основных этапов исследования.

Задачи исследования:

1. Найти исторические сведения возникновения и развития геометрии       треугольника.

2. Провести геометрическое исследование о невозможном построении треугольника с одинаковыми углами при основании, величины которых либо равны 90 градусам, либо больше 90 градусов.
3. Выяснить необходимые  условия для построения равнобедренного треугольника.
4. Составить  классификационную схему видов треугольников.
5. Составить задания занимательного характера для учащихся 7-х  и 8-х классов по теме «Треугольники».
6. Выяснить, как измерить на местности недоступное расстояние между двумя точками.

I. Введение.

«Ни одно человеческое исследование не может назваться          истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства».

                                                              Леонардо да Винчи.

Со второй четверти этого учебного года мы начали изучать геометрию, в частности тему «Треугольники». Проглядев оглавление учебника «Геометрия 7-9», я увидела, что в 8-ом  и 9-ом классах тоже продолжают изучать данную тему. И почти сразу же передо мной возник вопрос – проблема: «Можно ли изучить, обобщить и систематизировать все знания по теме «Треугольники»?»

       Я много думала и начала понемногу собирать материал по данной теме. Меня интересовало, например, при изучении теоремы о сумме углов треугольника: «Могут ли всякие три плоских угла (отличные от нулевого), сумма которых равна 180 градусам, быть углами треугольника?», или «При наложении у двух  треугольников совпали одна сторона и один угол. Можно ли утверждать, что треугольники равны?». Мне захотелось проверить, провести несколько экспериментов. Обратилась к учителю математики  Архиповой Нине Алексеевне с одним  вопросом, а потом и с другим. Она одобрила мою любознательность и предложила заняться исследовательской работой по теме «Треугольники». Эта тема для меня, действительна, очень интересна и актуальна. У  меня возникло желание поделиться своими результатами и выводами. Тем более, что метод проектов позволяет развивать творческие способности, стремление самому созидать, осознавать себя творцом.

Были поставлены цели исследовательской работы:  

- Углубление,  обобщение и систематизация знаний в выбранной теме «Треугольники»;  

• Вести поиск возможностей проектирования основных этапов исследования.

Объектом моего исследования является математика. Предметом исследования – треугольник. Для исследовательской работы были поставлены следующие задачи:

1. Найти исторические сведения возникновения и развития геометрии       треугольника.

2. Провести геометрическое исследование о невозможном построении треугольника с одинаковыми углами при основании, величины которых либо равны 90 градусам, либо больше 90 градусов.
3. Выяснить необходимые  условия для построения равнобедренного треугольника.
4. Составить  классификационную схему видов треугольников.
5. Составить задания занимательного характера для учащихся 7-х  и 8-х классов по теме «Треугольники».
6. Выяснить, как измерить на местности недоступное расстояние между двумя точками.

        Также интересующие меня сведения были получены путем нахождения материалов в школьной библиотеки, сети Internet,  провела анализ  своих экспериментов, узнала много нового, ранее неизвестного мне и привела все полученные знания в систему.

        Всю свою исследовательскую работу я изложила в докладе, совместив в нём две главные вещи: рассказ о собственных поисках данного материала и строгое системное изложение экспериментов (исследований), полученных выводов и результатов с доказательствами.

I. Основная часть.

Глава 1. Теоретическая часть.

Треугольники. Основные понятия и элементы.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами.  Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Виды треугольников

По величине углов

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

• Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным;
• Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным;
• Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

По числу равных сторон

• Разносторонним называется треугольник, у которого длины трех сторон попарно различны.
• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
• Равносторонним (правильным) называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Основные свойства треугольников.

В любом треугольнике:

  1.  Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

 2.  Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

     В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

 3.  Сумма углов треугольника равна 180 º .

      Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 º.

 4.  Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний  угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:  BCD = A + B.

  5.  Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

      их разности ( a < b + c,  a > b – c;  b < a + c, 

                                 b > a – c;  c < a + b,  c > a – b ).

Точки треугольника

 Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых не зависит от того, в каком порядке берутся стороны треугольника.

  Примеры точек

 Замечательными точками треугольника являются точки пересечения

 Медиан — центроид;

• Биссектрис — инцентр;
• Высот — ортоцентр;
• Серединных перпендикуляров — центр описанной окружности;

Высота треугольника

Высота треугольника — перпендикуляр из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника (для тупоугольного треугольника).

                Свойства.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

 Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром

тяжести треугольника.

Биссектриса

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник. 

Серединный перпендикуляр.

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС ( KO, MO, NO, рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга ( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC ).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном  в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Две фигуры, в частности два треугольника, называються равными, если их можно совместить наложением. На рисунке изображены равные треугольники.

Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся. Ясно, что при этом совместятся и попарно углы этих треугольников. Таким образом, если два треугольника равны, то элементы одного  равны элементам другого.

Признаки равенства треугольников

                         Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

• две стороны и угол между ними;
• два угла и прилежащая к ним сторона;
• три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у    них соответственно равны:

• гипотенуза и острый угол;

• катет и противолежащий угол;

• катет и прилежащий угол;
• два катета;
• гипотенуза и катет.

Исторические сведения.

Замечательные точки треугольника.

Геометрия треугольника.

В четвертой книге «Начал» Евклид решает задачу: «Вписать круг в данный треугольник» Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В «Началах» не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово «ортос» означает прямой, правильный). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвёртой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника.

         На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, начиная с ХVIII в. они были названы “замечательными” или “особенными” точками треугольника. Исследование свойств треугольника,  связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – “геометрии треугольника”, или “новой геометрии треугольника”, одним из  родоначальников которой был Леонард Эйлер.

В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже “прямой Эйлера”. В 20-х годах ХIХ в. французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середин отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности. 

      Эта окружность называется “окружностью девяти точек”, или “окружностью Фейербаха”, или “окружностью Эйлера” К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на “прямой Эйлера”.

        Большой вклад в развитие геометрии треугольника внесли математики

        ХIХ – ХХ вв.  Лемуан, Брокар, и др.

Средняя линия

        Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

        Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Теорема Пифагора. 

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

 Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами  a, b и гипотенузой с 

 Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF, сторона которого равна  a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна ( a + b ) 2. С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB, то есть

c 2 + 4 ( ab / 2 ) = c 2 + 2 ab ,

отсюда, 

c 2 + 2 ab = ( a + b ) 2 ,

и окончательно имеем:

c 2 =  a 2 + b 2 . 

                           Исторические сведения.

                          Египетский треугольник

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы.

Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности

Глава 2. Практическая часть.

Исследовательская работа.

Задачи исследования:

1. Доказать, что длины отрезков (боковых сторон) получившихся треугольников (равнобедренных), равны.
2. Доказать, что длины отрезков ( всех сторон) получившихся треугольников (равносторонних), равны.
3. Провести геометрическое исследование о невозможном построении треугольника с одинаковыми углами при основании, величины которых либо равны 90 градусам, либо больше 90 градусов.
4. Выяснить необходимые  условия для построения равнобедренного треугольника.
5. Составить и изготовить классификационную схему видов треугольников.
6. Составить задания занимательного характера для учащихся 7-х классов по теме «Треугольники».
7. Выяснить, как измерить на местности недоступное расстояние между двумя точками.

Исследование 1:

Черепашка нарисовала горизонтальный отрезок АВ. Вернулась в точку А и смотрит в направлении на восток (рис. 1). Достройте этот отрезок до треугольника так, чтобы углы при основании АВ были равны (рис. 2).

Задание 1: Исследуйте длины получившихся сторон.

Вывод: Получившиеся стороны равны между собой, т.к. достроивший треугольник стал равнобедренным, это следует из условия, углы при основании равны.

Задание 2: Постройте еще несколько треугольников с другими величинами углов при основании АВ. Сделайте вывод о полученных треугольниках.

Вывод: Полученные треугольники с равными углами при основании

называются равнобедренными. Боковые стороны равнобедренных треугольников равны.

Задание 3: Постройте несколько треугольников с одинаковой величиной углов при основании, но с разными длинами основания. Сделайте вывод о полученных треугольниках

Вывод: Построенные треугольники с одинаковой величиной углов при основании, но с разными длинами основания равнобедренные.

Задание 4: Попробуйте построить треугольники с одинаковыми углами при основании, величины которых либо равны 90 градусам, либо больше 90 градусов. Сделайте вывод об этих треугольниках.

Вывод:   При построении треугольника с одинаковыми углами при основании, величины которых либо равны 90 градусам, либо больше 90 градусов, боковые стороны не пересеклись и поэтому треугольник не получился.

Задание5: Используя результат задания 4, попробуйте сформулировать условие необходимое для углов при основании, чтобы треугольник можно было построить.

Вывод: Необходимым условием для построения равнобедренного треугольника является то, чтобы градусная мера углов при основании была  больше 0 градусов, но меньше 90 градусов.

Исследование 2:

Черепашка построила горизонтальный отрезок АВ, в середине этого отрезка развернулась на 900 в левую сторону и, нарисовав другой отрезок CD, повернулась в направлении на юг. 

Задание 1: Из любой точки отрезка CD постройте линии, у которых

Построение:  (рис. 5)

Задание 2: Исследуйте длины получившихся боковых сторон треугольников. Сделайте вывод о получившихся треугольниках.

Вывод: Длины получившихся боковых сторон треугольников равны. Получившиеся треугольники прямоугольные.

Исследование 3:

Постройте равнобедренный треугольник (см. исследование 1). Переместите Черепашку на середину основания (рис. 3).

На какой угол должна повернуться Черепашка, чтобы при движении вперед прийти в противоположную вершину?

Вывод: Черепашка должна повернуться на угол равный 180 градусам.

Задание 1: Постройте треугольник, у которого равны все углы и стороны. Сделайте вывод.

Вывод 1: Треугольник, у которого все углы и стороны равны называться правильным.

Вывод 2: Треугольник, у которого хотя бы один угол не равен 60 градусам, то такой треугольник не является правильным.

Исследование 4: 

Построить треугольники с заданными углами при основании. Результаты исследований фиксировать в таблицу.

По результатам измерений, записанных в таблице, сделала выводы.

Вывод 1: Если в треугольнике углы при основании равны, то и боковые стороны равны.

Такой треугольник является равнобедренным.

Вывод 2: Чем больше углы при основании в равнобедренном треугольнике, тем больше боковые стороны.

Вывод 3:  С углами в 0 градусов боковые стороны оказались лежащими на основании, треугольник не получился и вообще от него осталась одна линия.

Вывод 4:   При построении треугольника с углами 90 градусов боковые стороны не пересеклись и поэтому треугольник не получился.

Исследование 5:

С помощью линейки и транспортира построить треугольник по двум заданным углам и определить его вид.

а). 30° , 60°.

Вывод: Треугольник, у которого углы в 30° и 60° называется прямоугольным.

б). 30° , 15° .

Вывод: Треугольник, у которого углы в 30° и 15°  называется тупоугольным.

в). 60° , 80 °.

Вывод: Треугольник, у которого углы в 60° и 80°  называется остроугольным.

г). 60° , 60° .

Вывод: Треугольник, у которого углы в 60° и 60°  называется равносторонним.

Исследование 6:

Составить классификационную схему видов треугольников. (Теоретическое задание обобщающего характера).

Классификационная схема видов треугольников.

Исследование 7:

Измерить на местности недоступное расстояние между двумя точками.

                                             Вывод: Чтобы измерить на местности недоступное                    

                                               расстояние между двумя точками А и В, выбирают

                                                   такую точку С, из которой можно пройти и к точке    

                                              А, и к точке В и из которой видны обе эти точки,          

                                            затем провешивают (отмечают направление шестами

• вехами) отрезки АС и ВС и на их продолжениях за точку С откладывают отрезки СД = АС и ЕС = СВ. Тогда длина отрезка ЕД равна искомому расстоянию от точки А до В.

Исследование 8:

Измерить длину лужи, образовавшейся  после дождя около нашего дома.

Эксперимент. По краям лужи поставила колышки, соответствующие точкам А и В. Измеряю расстояние АС, оно равно 4 метрам и на таком же расстоянии от точки С ставлю колышек (точка Д), натягиваю верёвку. (В этом эксперименте мне помогал папа). Затем измеряю расстояние ВС, оно равно 3 метрам и на таком же расстоянии от точки С ставлю колышек (точка Е). Измеряю расстояние от точки Д до точки Е (натягиваю верёвку). Это расстояние равно 2 метрам. Делаю вывод: Длина лужи, образовавшейся  после дождя около нашего дома равна 2 метрам. Это следует из равенства треугольников АВС и СДЕ. Использую первый признак равенства треугольников.

Задания, придуманные  мною, для учащихся 7-х  и  8-х  классов.

Задание  1.

Вырежьте из бумаги  треугольники: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, равнобедренный и равносторонний. Для каждого  сгибанием постройте: а) по три медианы; б) по три биссектрисы; в) по три высоты.

Задание  2.

Обозначьте  буквами изображенный на рисунке прямоугольник и все проведенные  отрезки. Найдите на рисунке все прямоугольные треугольники и укажите среди них равные между собой.

Задание  3.

 Нарисуйте картину, все элементы которой – треугольники.

Задание  4.

Как вырезать равносторонний треугольник из прямоугольного листа бумаги, если можно сделать  только один разрез ножницами?

Задание  5.

Приведите примеры троек чисел, которые могут быть длинами сторон:

а) равностороннего треугольника;

б) равнобедренного треугольника;

в) остроугольного треугольника;

г) тупоугольного треугольника.

Глава 3.

«Треугольники» – встречающие в природе, технике, быту.

Бермудский треугольник

Координаты: 26°37′45″ с. ш. 70°53′01″ з. д. 

Бермудский треугольник — район в Атлантическом океане, в котором якобы происходят таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы. Аналогичный «треугольник» в Тихом океане называют Дьявольским.

Выдвигаются различные гипотезы для объяснения этих исчезновений, от необычных погодных явлений до похищений инопланетянами.

Сторонники теории упоминают об исчезновении примерно 100 крупных морских и воздушных судов за последние сто лет. Кроме исчезновений, сообщается об исправных судах, брошенных экипажем, и о других необычных явлениях, таких как мгновенные перемещения в пространстве, аномалии со временем и т. п.. Куше и другие исследователи показали, что некоторые из этих случаев произошли за пределами бермудского треугольника.

Музыкальный треугольник.

 Треугольник (музыкальный) или триангль -музыкальный металлический ударный инструмент восточного происхождения с неопределенной звучностью. Состоит из стального прута, согнутого в форме треугольника. По треугольнику, висящему на тесьме, ударяют стальной палочкой.

С конца XVIII века треугольник — один из основных ударных инструментов симфонического оркестра. Одно из первых сочинений, в котором треугольнику поручена достаточно ответственная самостоятельная партия — Концерт № 1 для фортепиано с оркестром Листа. Характерное звучание треугольника можно услышать в среднем разделе увертюры к опере «Вильгельм Телль» Россини, музыке Грига к драме «Пер Гюнт» (Танец Анитры, Арабский танец) и других сочинениях.

Треугольник Пенроуза

Треугольник Пенроуза

Скульптура невозможного треугольника, Перт, Австралия

Треугольник Пенроуза — одна из основных невозможных фигур, известная также под названиями невозможный треугольник и трибар. Был открыт в 1938 году шведским художником Оскаром Реутерсвардом.

Широкую известность эта фигура обрела после опубликования статьи о невозможных фигурах в Британском журнале психологии английским математиком Роджером Пенроузом. 13-метровая скульптура невозможного треугольника из алюминия была воздвигнута в 1999 году в городе Перт (Австралия).

Поворотный треугольник

Поворо́тный треуго́льник — соединение железнодорожных или трамвайных путей в виде треугольника, с помощью которого можно развернуть на 180° единицу подвижного состава.

Также на поворотном треугольнике относительно легко можно развернуть большой состав. Основной недостаток — большая площадь, необходимая для устройства треугольника.

Поворотные треугольники наиболее распространены на железных дорогах Соединенных Штатов.

Письма - треугольники— способ запечатывания письма без конверта. Лист бумаги с текстом складывался чистой стороной наружу, на ней надписывался адрес получателя и отправителя. Широкое распространение получил в СССР в годы Великой Отечественной войны.

При отсутствии конвертов в зоне боевых действий во время Первой чеченской компании (1994 – 1996) солдаты, проходившие военную службу по призыву, также иногда посылали домой письма, сложенные «треугольником».

Созвездие Треугольника -  созвездие Северного полушария неба. Занимает на небе площадь 131,8 квадратных градуса, содержит 25 звёзд, видимых невооружённым глазом. Наблюдается по всей территории России.  Лучшее время для наблюдения на территории России - ноябрь.

III. Заключение.

Результаты исследования и выводы.

          Мой небольшой опыт исследовательской работы показывает, что использование компьютерных технологий позволяет дифференцировать учебную деятельность, активизирует познавательный интерес к предмету, развивает  творческие способности, стимулирует умственную деятельность и

 побуждает к дальнейшей исследовательской работе.

         В процессе исследовательской работы по данной теме «Треугольники», я приобрела хороший опыт самостоятельной работы: читала специальные книги, выполняла практические задания, упражнения, решала поставленную задачу, оформляла литературный текст исследования, набирала его на компьютере, готовила доклад.

        Задачи, которые я ставила, перед своей исследовательской работой были, следующие:

1. Найти исторические сведения геометрии треугольника.

Провести геометрическое исследование о невозможном построении треугольника с одинаковыми углами при основании, величины которых либо равны 90 градусам, либо больше 90 градусов.

Выяснить необходимые  условия для построения равнобедренного треугольника.

Составить  классификационную схему видов треугольников.

Составить задания занимательного характера для учащихся 7-х классов по теме «Треугольники».

Выяснить, как измерить на местности недоступное расстояние между двумя точками.

           Надо было думать, анализировать, сравнивать результаты полученных данных, оценивать. Не сделав первого шага, нельзя научиться ходить. Давайте же его сделаем вместе и подведём итоги.

          Во-первых, собрала и обобщила теоретические знания по интересующей меня теме «Треугольники». Собрала воедино свойства треугольников, признаки равенства треугольников. Во-вторых, выполнила практическую работу: задания, эксперименты, опыты и по каждому сделала выводы. И         в-третьих, нашла применение «треугольников»  в природе, технике, быту.

Исследовательская деятельность для меня была особенно значима тогда, когда я увидела результаты своего труда. А я считаю, что сделано немало. Вот мои выводы:

       Вывод 1: Нашла исторический материал о возникновении и развитии геометрии треугольников.

       Вывод 2: Провела геометрическое исследование о невозможном построении треугольника с одинаковыми углами при основании, величины которых либо равны 90 градусам, либо больше 90 градусов.

        Вывод 3: Выяснила необходимые  условия для построения равнобедренного треугольника.

        Вывод 4: Составила классификационную схему видов треугольников.

        Вывод 5: Составила  задания занимательного характера для учащихся 7-х и 8-х классов по теме «Треугольники».

         Вывод 6: Выяснила,  как можно определять и  измерять на местности недоступное расстояние между двумя точками. Провела эксперименты и результаты записала в докладе.  

        Хочу продолжить исследовательскую работу по данной теме, добыть новые научные знания о треугольниках. А именно теперь меня заинтересовали свойства треугольников. Хочу изучить возможные траектории движения замечательных точек треугольника, вершины которого перемещаются по двум пересекающимся окружностям. А также надо  выяснить, что описывают точки пересечения  медиан, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис треугольника при перемещении одной вершины такого треугольника по окружности и всё это отразить в работе, которую хочу назвать так: «Красивая жизнь замечательных точек треугольника». Также обязательно постараюсь изучить компьютерную программу «Живая геометрия».

         Большую помощь при подготовке данного вопроса мне оказала  учитель математики Архипова Нина Алексеевна. Нина Алексеевна составила список необходимой  литературы, проводила консультации, находила научные книги и журналы и помогла систематизировать материал. Все исследования, эксперименты и выводы к ним я делала сама. Также интересующие меня сведения были получены путем нахождения материалов в школьной библиотеки, сети Internet.

Литература.

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений. – 16-е изд. – М.: Просвещение, 2007.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII классы: М.: Просвещение, 1982.
3. Ларионова О. Г., Харина Н.П. Организация проектной деятельности учащихся при изучении геометрии // Математика в школе. – 2007. - № 8.
4. Мищенко Т.М. Признаки равенства треугольников по учебнику Л.С. Атанасяна и др. // Математика в школе. – 2004. - № 10.