Учебно – исследовательская работа по теме: «Прямоугольная система координат в пространстве и ее применение при подготовке к ЕГЭ».

Муниципальная бюджетная общеобразовательная школа-интернат

школа-интернат среднего (полного) общего образования с. Некрасовка

Учебно – исследовательская работа по теме:

«Прямоугольная система координат в пространстве и ее применение при подготовке к ЕГЭ».

Работу выполнили:  учащиеся  11 класса

 Глушко Виктория, Швыркин Максим,

Колесников Евгений, Кайнак Василий,

Шведко Сергей.

Научный  руководитель:

 учитель математики Князева Е.С.

с. Некрасовка

2013 год

Содержание

I. Введение                                  

II. Основная часть

1. Кратко из теории.
2. Основные понятия теоретические и формулы.

III. Применение теоретического материала при решении задач части  С2:

1. Задача на нахождение угла между плоскостями.
2. Нахождение угла между прямыми
3. Нахождение расстояния между прямыми
4. Нахождение угла между прямой и плоскостью
5. Нахождение расстояния от точки до плоскости

IV. Заключение

V.Список использованной литературы

Введение

Цель работы:

1. Повысить свой теоретический уровень знаний;
2. Совершенствовать умения в координатной плоскости изображать фигуры и находить координаты точек;
3. Научиться применять координатно - векторный метод при решении  различных задач.
4. Совершенствовать свои умения при выполнении действий над векторами и с помощью  векторов.
5. Доказать, что с помощью прямоугольной системы координат многие стереометрические задачи решаются проще.
6. Подготовить себя к сдаче ЕГЭ.

Актуальность:

Одна из основных целей учебно - исследовательской работы найти оптимальные способы решения стереометрических задач, которые встречаются при решении ЕГЭ: задач С2. Создать методическое пособие для подготовки к экзамену.   А так же показать решения многих  задач наиболее простым методом, приобрести навыки решения задач. Школьный курс геометрии не достаточно уделяет внимания применению векторных приемов при решении геометрических задач, хотя это один из универсальных и хорошо понятных методов ученику. Проанализировав результаты сдачи экзамена по математике нашей школы, мы  увидели, что учащиеся 11 классов боятся решать геометрические задачи, особенно части  С. Об этом свидетельствуют следующие статистические данные:

Если ребята берутся решать задания части С, то это в основном алгебраические задания. Надеемся, что наша коллективная учебно – исследовательская работа поможет нам повысить качество сдачи экзамена и научит нас и других учеников решать задания части С с наименьшими затратами времени, так как  этот способ не содержит огромных вычислений,  сложных преобразований, не перегружен формулами. Достаточно только хорошо знать и уметь выполнять действия с координатами точек  и векторами.

Основная часть

Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы.  Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат. Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат.

Так, в своей деятельности географы предпочитают использовать полярную систему координат.  Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и её приложений. Огромное количество задач, требует для решения геометрической интуиции, специфических методов, в аккуратном проведении алгебраических выкладок. Применение декартовой системы координат иногда упрощает решение геометрических задач. Заслуга в том, что мы пользуемся прямоугольной системой координат принадлежит Рене Декарту  (31.03.1596 - 11.02.1650) - французский философ, физик, математик и физиолог.

Декартова прямоугольная система координат
(на плоскости).
Системой координат  на плоскости называется совокупность двух пересекающихся взаимно перпендикулярных координатных осейОу и Ох. Каждая точка в системе координат определяется двумя координатами(х,у).Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной ), или декартовой.В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x , y и называются, соответственно, абсциссой, ординатой . Координатная ось OX называется осью абсцисс , ось OY – осью ординат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

Декартова система координат в пространстве.

Состоит из трёх взаимно перпендикулярных осей Ох,Оу, Oz.

OX- ось абсцисс

OY- ось ординат

OZ-ось аппликат
точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xOy,  xOz и  yOz –координатными плоскостями, взаимно перпендикулярными.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами

М(x; y; z).

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Основные формулы, которыми необходимо пользоваться при решении задач с применением координатного метода.

Расстояние между двумя точками.

 А(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2).

Координаты середины отрезка AB:

А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2).

Точка М середина отрезка AB.

Косинус угла между ненулевыми векторами

 и вычисляется по формуле:

Угол междупрямыми а и b

Углом между прямыми(скрещивающимися) в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (и не превосходит 90 градусов).

Алгоритм нахождения угла между прямыми.

1) Задаем направление прямым(на каждой прямой выделяем направляющий вектор).

 2) Определяем координаты векторов  по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно  вычесть  координату начала).

 3)Вычисляем по формуле косинус угла между векторами:

Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

Угол между прямой и плоскостью.

Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, нужно найти угол между этой прямой и нормалью к плоскости.

Нормалью  к плоскости называется любой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к этой плоскости.

Допустим, что намзаданы прямая АВ и плоскость. Зададим координаты направляющему вектору прямой  и нормали. Косинус угла между прямой и нормалью равен синусу угла между этой прямой и плоскостью. Угол  между прямой и плоскостью вычисляется по следующей формуле:

,где угол   -угол между прямой и плоскостью, -вектор нормали к плоскости

АВ} - направляющий вектор прямой

Угол между плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)

Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].

Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚

Угол между  двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить:

 как угол между нормалями по формуле или в координатной форме , где  - вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0,  и

 - вектор нормали плоскостиA2x+B2y+C2z+D2=0.

Уравнение плоскости в пространстве:

Точки, удовлетворяющие равенству Ах+Ву+Сz+D=0 образуют плоскость с нормалью . Коэффициент D  отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига)  между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью .  Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль, а затем подставить координаты любой точки плоскости вместе с координатами найденной нормали в уравнение Ах+Ву+Сz+D=0 и найти коэффициент  или найти в плоскости 3 точки и их координаты и решить систему 3 – х уравнений.

Если плоскость проходит через начало координат, то D=0

                                                    z

                                                 С

                                                                                  у

        А                   В

                                                     х

Если плоскость пересекает  оси координат в точках А, В, С, то

уравнение плоскости, где  А, В, С длины отрезков на осях координат.

Задача:

Составить уравнение плоскости, проходящей через 3 точки

А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5) и найти координаты нормали.

Решение:

Составим уравнение плоскости, подставив координаты точек в уравнение плоскости и решим систему уравнений.

- 2а + 3b + 5с + d = 0;          2a + 5c + 2d = 0;        d = 5c – 6b

4a - 3b + d = 0;            -2a + 9b + 2d = 0;        25c – 15b = 0

6d – 5c + d = 0;        6b – 5c + d = 0;        2a + 15 c – 12b = 0

d=5c – 6b

b=c

2a = 5c

ax +  by + cz + d=0

cx + cy + cz – 5c = 0

15x + 10y + 6z – 30 = 0 - уравнение плоскости, n{15;10;6}- координаты нормали.

Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки  этой прямой до плоскости.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо найти длину их общего перпендикуляра, для этого необходимо :

1) а) Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.

б) Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием  между прямыми.

Или:

2) Заключить обе прямые в параллельные плоскости и найти расстояние между параллельными плоскостями

Или:

3) а) Построить плоскость перпендикулярную одной прямой.

б) Построить проекцию другой прямой на эту плоскость

в) Найти длину  перпендикуляра, проведенного из точки к данной проекции.

4)  Координатно – векторный метод:

Найти координаты направляющих векторов прямых и воспользоваться условием :

a · PQ = 0 и b · PQ = 0,  где PQ – направляющий вектор их общего перпендикуляра, а затем найти его длину.

Расстояние от точки М до плоскости α

 вычисляется по формуле  Р(М;α )=⃒

 где  М(х0;у0;z0), плоскость α задана  уравнением  Ах+Ву+Сz+D=0

Рассмотрим применение теоретического материала при решении задач части С2.

Задача на нахождение угла между плоскостями.

1. В кубе АВСDА1В1С1с ребром 1.Найти косинус угла между плоскостью АD1В1 и А1С1В.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат.

Зададим плоскости уравнениями, найдем координаты точек, задающих плоскости, зная, что уравнение плоскости имеет вид:  Ах +By + Cz + D = 0, решим систему уравнений.

A:                                                                  

А(1;0;0);  (0;0;1); ( 1;1;1); (1;0;1); В(1;1;0); (0;1;1)

A + D = 0;                    A= - D;                 A + C + D = 0;            2C + D = 0;

C + D= 0;                    C= - D;                      A + B + D = 0;          A = C;

A + B + C + D = 0 ;   B= D;                     B + C + D = 0;            B = -D – C;

- Dх + Dy – Dz + D = 0  : (- D)                        C = -

x – y+ z -1 = 0                                                    A =  -

   {1; - 1; 1}                                                     B =  -

• -- z + D = 0 : (-

x + y + z  - 2 = 0

{1; 1; 1}

Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла между плоскостями:

Сos(A=  =

Ответ : Косинус угла между плоскостями    .

2. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Еи F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.

Решение:

Введём прямоугольную систему координат. Тогда А (0;0;0), С(1;1;0), D1(1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1).

1) Решая систему

, составляем уравнение  плоскости (АD1E): x+2y-z=0.

2) плоскость CFD1:

 отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.

 ,   , откуда φ = 60˚

Ответ: 60˚

Задача на нахождение угла между прямыми.

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 длина ребра 1. Точка D середина А1С1 , точка Е середина ребра С1В1. Найти косинус угла между прямыми АD и СЕ.

Решение:

 Введем прямоугольную систему  координат, найдем координаты точек:

А( 0; 0 ; 0) ; В1(0; 1 ; 1); С(  ;  ; 0) ; С1( ;  ; 1) ; А1(0; 0; 1) ; Е (  ;  ; 1) ; D (  ;  ; 1) ;

 Е(  ;1)

Зададим направление прямым AD  и CE:

AD{1} ; СE { - ; 1}, воспользуемся формулой нахождение угла между прямыми.

Сos( AD и CE ) = = = = 0,7

Ответ: 0,7

Задача на нахождение расстояния между прямыми

1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 длина ребра. Найти расстояние между диагоналями A1C и AD.  

B1

A1                

        C        

A                D        

        Q        

Предположим что FQ расстояние между прямыми AD и A1C, найдем координаты вектора  FQ.

А(1;0;0);  B(0;0;0) ;С(0;1;0) ; D(1;1;0);  A1(1;0;1) ; CD{1;0;0}

AD{0;1;0} ; A1C{-1;1;-1}. FQ=FC+CD+DQ, FQ=aA1C+CD+вAD,

FQ{-a+1+0;a+0+в;-а+0+0}

FQ·A1C=0        FQ·AD=0

(-a+1)·(-1)+(a+в)·1+а=0        (- а+1)·0+(а+в)·1=0

а -1+а+в+а=0                а+в=0

3а-1+в=0        а =  - в

в =1-3а        а =

в=1-3(-в)        FQ{; 0;-}

в=1+3в        |FQ|= =

-2в=1

В=-

Ответ : Расстояние между  прямыми

2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF длина ребра основания равна 1, а бокового ребра 2. Найдите расстояние между прямыми SB и FD.

        z

        S

        E

        F        y

        A        C

        x        B

Решение:

Точка P  лежит на прямой FD, точка K  на прямой SB

Предположим , что PK- общий перпендикуляр. Рассмотрим PK :

PK=PF+FA+AB+BK= aDF+FA+AB+bBS

Введем прямоугольную систему координат и найдем координаты точек :

F(;-;0)  A(B(;1;0)   D(0;1;0)    S(;)

Найдем координаты векторов

DF {;-;0}   FA{;;0)   AB{0;1;0)   BS{--;)

Найдем  координаты  вектора     PK {++0- ; -++1- ; b} ;

PK   {+-;  -+-;b}

Т.к. PKDF и PKBS то их скалярное произведение равно нулю

             Решим  уравнения и найдем переменные a и b

PK·DF=0                                                                        

(+-)+  (-)+0=0                      

+-++= 0

3a -=0

а =

PK·BS=0

-(+-)- +·=0

--++ +

4b =

b =

PK {;;}

│PK│= ==  =

Ответ:.

Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью.

SABCDEF  правильная шестиугольная пирамида  FA=1;  SA=2. Найти  синус угла между прямой ВС и плоскостью SАF.

Z

X

Введем прямоугольную систему координат, найдем координаты точек и составим уравнение плоскости.

А(; 0; 0)        A  + D = 0        A =         A =

F(; -; 0)        A  -  + D=0        B =A + 2D        B = D

S (;;;)        A ++C + D=0        A ++C + D = 0        C =

x + Dyz + D=0   : ( )

х -y + z -= 0  уравнение плоскости AFS

Зададим направление прямой BC:    

B(;1;0)   С(;;0)      BC{-;;0}

Воспользуемся формулой:

sin     (SAF и BC) =  ==

Ответ:  

Задача на нахождение расстояния от точки до плоскости.

1. В правильной шестиугольной призме длина ребра  равна 1. Найти расстояние от точки   А  до плоскости  BFE1.

z

x

Введем прямоугольную систему координат.

Зададим уравнением плоскость BFE1по 3 точкам.

B ( 1;0)   F(;-;0)    E1(0;0;1)

A (

Уравнение плоскости  ВFE1

-

И найдем расстояние от точки А до плоскости, подставив в формулу:

d =

d =  = Ответ:  

2. В кубе АВСDA1B1C1D1 проведена диагональ B1D. В каком отношении, считая от вершины B1, плоскостьА1BC1 делит диагональB1D.

Составим уравнение плоскости А1BC1 и найдём расстояние от этой плоскости до каждой из точек B1 и D. Пусть 1 – ребро куба.

В(0;0;0), А1(1;0;1), С1(0;1;1)

Решив систему определяем, что уравнение плоскости имеет вид:

x+y–z=0 а=1, b=1, c= –1.    B1(0;0;1),D(1;1;0).

        Теперь найдём расстояние от каждой точки до плоскости по формуле

d =

d1 расстояние от точки  D до плоскости.

d2расстояние от точки В1d1: d2

Ответ: 1: 2        

Заключение:

Методом координат можно находить не только углы и расстояния в пространстве, но и вычислять:

 1) площади многоугольников (треугольника, параллелограмма), расположенных в заданной плоскости.

 2) объемы простейших многогранников (параллелепипедов и пирамид).

Для понимания таких формул нужно изучить понятия  координатно – векторного  метода. В школьной программе не предусмотрено время для изучения векторных приемов вообще или дается обзором, однако ЕГЭ этого требует, особенно решение заданий части С. Отсюда мораль: учите координаты и умейте с ними работать. Расширенная подготовка к ЕГЭ по математике с изучением приемов аналитической геометрии даст мощное и универсальное средство для решения огромного класса задач типа С2.

Список использованной литературы:

1. Геометрия  10 – 11 классы.  Л.С. Атанасян,  В.Ф. Бутусов и др.
2. Математика 11 класс.  А. Г. Мордкович, И.М.Смирнова.
3. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии. Лектор Пахомова  Е. Г.  2010 г.    900 iqr. Net
4. Аналитическая геометрия.  Ильин В. А. , Позняк Э. Г.
5. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.  Бугров Я. С., Никольский  С. М.
6. Прямые и плоскости.  С. К. Соболев,  В. Я. Томашпольский.
7. Геометрия  С 2. Семенова А.М., Ященко И.В.