Российский гений нашего столетия

1. Введение.

8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать одна, из них, на данный момент решена. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма, с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным.        

По примеру Гилберта в конце прошлого века многие математики пытались сформулировать подобные стратегические задачи на ХХI век.

Один из таких списков приобрел широкую известность благодаря бостонскому миллиардеру Лэндону Клэю. В 1998 году на его средства в Кембридже (Массачусетс, США) был основан Математический институт Клэя и установлены премии за решение ряда важнейших проблем современной математики.

24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь проблем - по числу миллионов долларов, выделенных на премии. Список получил название Millennium Prize Problems:

1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году) 

Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.

Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году). 

Она связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.

4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году). 

В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.

5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году).

Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов. Как движется вода под действием силы тяжести? Как она обтекает попадающиеся ей на пути препятствия? Как устроены воздушные потоки вокруг самолета? Ответы на эти вопросы в общем виде физикам неизвестны, и упираются эти ответы в решение уравнений Навье-Стокса

7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году). 

Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга - Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц.

2. Основная часть.

В 1885 году вся Европа говорила об Анри Пуанкаре, 30-летнем гении, который математически доказал, почему существует (держится вместе) солнечная система. Когда в его расчетах появилась “дыра’’, он закрыл ее, по существу изобретением теории хаоса. Короли из кожи вон лезли, чтобы сделать его рыцарем, а Швеция в качестве премии дала ему небольшое состояние. По сей день Пуанкаре принадлежит рекорд по количеству номинаций Нобелевской премии по физике, хотя он никогда на самом деле не выиграл ни одной. Но его самым легендарным достижением было то, которое никто не заметил, пока не прошло много, много времени

 На рубеже веков Пуанкаре открыл совершенно новую область, которая называется алгебраической топологией, и сегодня это одна из самых сложных и ярких областей математики. Представьте себе закрученную геометрию, в которой фигуры растягиваются, сгибаются, и выворачиваются наизнанку. Целью Пуанкаре было классифицировать объекты путем выявления их основных форм, примерно так же, как ботаники классифицируют новые виды растений. В процессе создания топологии Пуанкаре не стал останавливаться на гипотезе, о которой идет речь, казавшейся верной. Это было дополнение к более серьезной проблеме, и он полагал, что он проработает детали позже. Он не знал, что эта гипотеза станет одним из самых больших вызовов в математическом мире.        

 Шестая проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году). 

Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики искали  правильный ответ более 100 лет.

Жертвы

Гипотеза Пуанкаре казалась достаточно простой. Он утверждал, что любая односвязная трехмерная поверхность в сущности является сферой. Пуанкаре думал, что гипотезу легко доказать, и он даже опубликовал решение. Но потом он увидел изъян в своей работе и отказался от нее.

После его смерти в 1912 году вопрос оставался без внимания в течение десятилетий, пока оксфордский профессор по имени Дж.Г.К. Уайтхед не поднял его вновь в конце 1930-х. ,также опубликовал решение.

Но он тоже обнаружил ошибку и отказался от него. Тем не менее, его работа вызвала интерес к задаче.

К 1950 году гипотеза Пуанкаре была одной из самых известных проблем в математическом сообществе.

Вот когда два Принстонских студента, Эдвин Мойс и Христос Папакириакопулос (известный как Папа), решили попробовать свои силы в доказательстве. Мойс, в частности, был похож на парня, который мог сделать это. Молодой и дерзкий, он любил объявлять о своей следующей большой задаче, как отбивающий мяч, призывая удар на себя. Дважды он говорил о самых сложных проблемах в топологии, и дважды он получал решение. Тогда он обратил свой взгляд на Пуанкаре.

Папа от него сильно отличался. Самоучка, политический беженец из Греции, он был известен своей неправильностью и одержимостью.

Легенда гласит, что когда он приехал в Принстон, он зарегистрировался в мотеле и никогда не выписывался оттуда. Однако он даже не распаковывал чемоданы. Он просто каждый день выполнял одну и ту же программу, вплоть до минут, которые всегда включали его полуденный сон за столом.

На протяжении 1950-х годов два гения вели дуэль друг с другом по поводу гипотезы Пуанкаре. Папа представит доказательство, а Мойс его разгромит. Затем Мойс представит доказательство, а Папа его разгромит. Это продолжалось в течение многих лет, в то время как никто из них практически не работал ни над чем другим.

В конце концов Мойс сломался. Однажды он просто совсем отвернулся от математики. Майкл Фридман, тополог, который работает на Microsoft, описывает это явление как “потерпеть крушение’’ из-за задачи. Он говорит, что многие математики преуспевают, зная, что они достаточно умны, чтобы решить все что угодно при наличии достаточного количества времени. Когда Мойс понял, что самые большие его усилия не приведут к доказательству гипотезы Пуанкаре, его дух был сломлен. Он больше никогда не занимался серьезными математическими исследованиями и провел свои последние годы, критикуя поэзию. Папа продолжал работать над задачей уже 25 лет, клялся, что не женится, пока не докажет гипотезу. В 1976 году он умер от рака желудка, так и оставшись холостяком.

После того, как десятки математиков посвятили свою карьеру доказательству гипотезы Пуанкаре. Прорыв произошел в 1960 году, когда молодой отчаянный человек, которого звали Стивен Смейл, получил первые ощутимые результаты в решении задачи. Смейл решил не беспокоиться об объектах в трехмерной или даже четырехмерной Вселенной. Вместо этого он доказал, что гипотеза верна в пространствах размерности пять и больше. До этого всегда считалось, что задачи легче решать в пространствах, которые мы можем себе представить.

Смейл проложил новые пути, решая задачи в более высоких размерностях до того как решить их в меньших, и сегодня это обычная практика. Математики говорят, что дополнительные измерения дают им возможность использования мнимых объектов. Открытие Смейла вдохновило математический мир, и новое поколение Дон Кихотов начало заточку копьев.

Другой луч надежды появился в 1982 году, когда математику Майклу Фридману удалось доказать гипотезу Пуанкаре для четырехмерного пространства. И он, и Смейл получили медали Филдса, в математике эквивалентные Нобелевской премии, за их частичные доказательства.

И тем не менее, вопрос о трех измерениях — единственный, который действительно интересовал Анри Пуанкаре — по-прежнему оставался. С технической точки зрения, без третьего измерения, математики не стали ближе к ответу, чем были в 1904 году.

До  победителя не доходит ни одна премия

Наконец, в 2002 году Григорий Перельман, отшельник, живущий с матерью в Санкт-Петербурге (примеч. тогда еще не бывший отельником), добавил на математический веб-сайт короткую статью.

Скрытный Перельман ни разу в своей работе не упомянул Пуанкаре, но немногие люди, которые читали ее, понимали ее последствия.

В статье рассматривалось одно из самых больших препятствий, которые не давали математикам возможности доказать гипотезу. Всякий раз, когда они пытались свести определенные формы к самым элементарным формам, постоянно появлялись небольшие неправильности, похожие на болезненные заусенцы. Чтобы их сгладить, Перельман применил вид математической наждачной бумаги, которая называется потоком Риччи.

Его доказательство поразило всех своей лаконичностью. Он вел доказательство своим, не похожим ни на что способом.

 Математическое сообщество начало гудеть, что он решил основные проблемы этой задачи. В конце концов один математик спросил Перельмана прямо, является ли его работа ответом на гипотезу Пуанкаре. Никогда не бывающий многоречивым, Перельман написал в ответ: “Это верно”.

Математики – очень осторожный народ.

В одном из телефонных разговоре он был краток: "Я бы не стал спешить с выводами о том, что я решил эту проблему. Сама гипотеза, кстати, менее важна, чем метод, которым будет решена эта проблема. Если будет найден правильный метод, то он приведет к открытию нового направления в геометрии и топологии (часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности)".

Томас Мровка, доктор Массачусетского технологического института:

- «Каждый раз, когда кто-то пытается оппонировать Перельману, тот отвечает четко, ясно и кратко, после чего возражений не возникает. Мы относимся к его работе очень серьезно. Совершенно очевидно, что Григорий работал долго и основательно над этой проблемой, поэтому на данном этапе сложно выявить в его расчетах какие-либо ошибки».

Российский математик разгадал тайну.

Несмотря на бедственное положение российской науки, отечественные ученые не устают удивлять мир. На ежегодном научном фестивале в британском  Эксетере профессор математики Стэндфордского университета Кит Девлин заявил,  что решение проблемы Пуанкаре, предложенное российским математиком Григорием Перельманом,  является безупречным.

Григорий  Перельман

Родился 13 июня 1966 года в Ленинграде, в семье служащих. Окончил знаменитую среднюю школу № 239 с углубленным изучением математики. В 1982 году в составе команды советских школьников участвовал в Международной математической олимпиаде, проходившей в Будапеште. Был без экзаменов зачислен на матмех Ленинградского государственного университета. Побеждал на факультетских, городских и всесоюзных студенческих математических олимпиадах. Получал Ленинскую стипендию. Окончив университет, Перельман поступил в

аспирантуру при Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова. Кандидат физико-математических наук.

Признание и оценки.

• В 2006 году Григорию Перельману за решение гипотезы Пуанкаре присуждена международная премия «Медаль Филдса», однако он отказался от неё.

18 марта 2010 года Математический институт Клэя объявил о присуждении Григорию Перельману премии в размере 1 миллион долларов США за доказательство гипотезы          

Пуанкаре. Это первое в истории присуждение премии за решение одной из Проблем тысячелетия.

• В 2007 году британская газета The Daily Telegraph опубликовала список 100 ныне живущих гениев, в котором Григорий Перельман занимает 9-е место. Кроме Перельмана в этот список попали всего лишь 2 россиянина — Гарри Каспаров (25-е место) и Михаил Калашников (83-е место).

Маркус Дю Сотой из Оксфордского университета считает, что теорема Пуанкаре - "это центральная проблема математики и физики, попытка понять какой формы может быть Вселенная, к ней очень трудно подобраться". Григорий Перельман подобрался. И сегодня мировая специальная пресса утверждает, что

"Григорий Перельман, разрешив теорему Пуанкаре, встал в один ряд с величайшими гениями прошлого и настоящего".

3. Заключение.

Уместно сказать об одной особенности современной математики: она изучает искусственно изобретенные объекты.

Нет в природе четырехмерных пространств, нет групп, полей и колец, свойства которых усиленно изучают математики.

И если в технике постоянно создаются новые аппараты, всевозможные устройства, то в математике создаются их аналоги - логически возможные устройства, логические приемы для мыслительной деятельности человека, для аналитиков в любой области науки. И всякая математическая теория, если она строгая, рано или поздно находит применение.

 К примеру, многие поколения математиков и философов пытались аксиоматизировать философию. В результате этих попыток была создана теория булевых функций, названных по имени ирландского математика и философа Джорджа Буля.

Эта теория стала ядром кибернетики и общей теории управления, которые вместе с достижениями других наук привели к созданию компьютеров, современных морских, воздушных и космических кораблей. Таких примеров история математики дает десятки.

"Новые Известия".

На вопрос о том, почему ученый отказался от миллиона, он ответил: "Я знаю, как управлять вселенной. И скажите, зачем мне бежать за миллионом"?

Перельман объяснил, что не общается с журналистами, потому что тех занимает не наука, а вопросы личного и бытового характера - начиная с причин отказа от миллиона и заканчивая вопросом о стрижке волос и ногтей.

Газета "Комсомольская правда" сообщает, что спецслужбы многих стран не впускают Перельмана из виду, так как он "постиг некие сверхзнания, помогающие понять мироздание". Издание утверждает, что "Перельман может управлять Вселенной и свернуть ее в точку".

4. Список использованной литературы:

1.« Математика без формул», Москва, из-во «Знание», 1978 год, Пухначёв Ю. и Попов.

2. «Что такое топология?», «Наука и жизнь» №8, Москва, 1970 год, Делоне Б. и Ефремович В.

3. Успенский В.А., Апология математики, или о математике как части духовной культуры, журнал «Новый мир», 2007 г., N 12, с. 141-145

4. Статья о Григории Перельмане размещенную на сайте: Zavtra.ru 

5. Статья Сергея Николенко журнал "Компьютерра" №1-2 от 18 января 2006 года, раздел: Наука

6. http://www.neatorama.com/2011/11/25/the-quest-to-solve-the-hardest-math-problem-in-history-and-the-minds-that-were-lost-along-the-way/

7. http://www.neatorama.com/2011/11/25/the-quest-to-solve-the-hardest-math-problem-in-history-and-the-minds-that-were-lost-along-the-way/

Приложение 1.

ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ - ЭТО ЧТО?

Загадка, разгаданная российским гением, затрагивает основы раздела математики, именуемого топологией. Ее - топологию - часто называют «геометрией на резиновом листе». Она имеет дело со свойствами геометрических форм, которые сохраняются, если форма растягивается, скручивается, изгибается. Иными словами, деформируется без разрывов, разрезов и склеек.

Топология важна для математической физики, поскольку позволяет понять свойства пространства. Или оценить его, не имея возможности взглянуть на форму этого пространства со стороны. Например, на нашу Вселенную.

Объясняя про гипотезу Пуанкаре, начинают так: представьте себе двухмерную сферу - возьмите резиновый диск и натяните его на шар. Так, чтобы окружность диска оказалась собранной в одной точке. Аналогичным образом, к примеру, можно стянуть шнуром спортивный рюкзак. В итоге получится сфера: для нас - трехмерная, но с точки зрения математики - всего лишь двухмерная.

Затем предлагают натянуть тот же диск на бублик. Вроде бы получится. Но края диска сойдутся в окружность, которую уже не стянуть в точку - она разрежет бублик.

Далее начинается недоступное воображению обычного человека. Потому что надо представить уже трехмерную сферу - а именно натянутый на что-то, уходящее в другое измерение, шар.

Как написал в своей популярной книге другой российский математик, Владимир Успенский, «в отличие от двухмерных сфер трехмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трехчлен».

Так вот, согласно гипотезе Пуанкаре, трехмерная сфера - это единственная трехмерная штуковина, поверхность которой может быть стянута в одну точку неким гипотетическим «гипершнуром».

Жюль Анри Пуанкаре предположил такое в 1904 году. Теперь Перельман убедил всех понимающих, что французский тополог был прав. И превратил его гипотезу в теорему.

Доказательство помогает понять, какая форма у нашей Вселенной. И позволяет весьма обоснованно предположить, что она и есть та самая трехмерная сфера. Но если Вселенная - единственная «фигура», которую можно стянуть в точку, то, наверное, можно и растянуть из точки. Что служит косвенным подтверждением теории Большого взрыва, которая утверждает: как раз из точки Вселенная и произошла.

Приложение 2.

Григорий Перельман

Григорий  Перельман

Родился 13 июня 1966 года в Ленинграде, в семье служащих. Окончил знаменитую среднюю школу № 239 с углубленным изучением математики. В 1982 году в составе команды советских школьников участвовал в Международной математической олимпиаде, проходившей в Будапеште. Был без экзаменов зачислен на матмех Ленинградского государственного университета. Побеждал на факультетских, городских и всесоюзных студенческих математических олимпиадах. Получал Ленинскую стипендию. Окончив университет, Перельман поступил в

аспирантуру при Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова. Кандидат физико-математических наук.

Григорий Перельман  еще со школьных лет привык что называется "тренировать мозг". Вспоминая, как, будучи "делегатом" от СССР получил золотую медаль на математической олимпиаде в Будапеште, он сказал: "Мы пытались решать задачи, где непременным условием было умение абстрактно мыслить.

В этом отвлечении от математической логики и был главный смысл ежедневных тренировок. Чтобы найти правильное решение, необходимо было представить себе «кусочек мира».  В качестве примера такой "труднорешаемой" задачи он привел такую: "Помните библейскую легенду о том, как Иисус Христос ходил по воде, аки посуху. Так вот мне нужно было рассчитать, с какой скоростью он должен был двигаться по водам, чтобы не провалиться".  С тех пор всю свою деятельность Перельман посвятил исследованию проблемы изучения свойств трехмерного пространства Вселенной: "Это очень интересно. Я пытаюсь объять необъятное. Только ведь любое необъятное тоже объятно", — рассуждает он.