Числа правят миром!

МОУ «Частоозерская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательская работа по теме:

«Числа правят миром!»

Работу выполнила:  Вострикова О.,

ученица 6а класса.

Руководитель: Битюцких Л.П.,

учитель математики.

с. Частоозерье.

2010-2011уч.год.

Содержание.

1. Введение.                                                           -3стр.
2. Основная часть.                                                 -4стр.

1. История возникновения науки о числах.    

• Математика у древних греков.                 - 4стр.
• Пифагор Самосский.                                  -6стр.
• Пифагор и числа.                                        -8стр.

2. Числа простые и составные.                         -10стр.
3. Проблема Гольдбаха.                                    -12стр.
4. Признаки делимости.                                    -13стр.
5. Любопытные свойства натуральных чисел.-15стр.
6. Числовые фокусы.                                          -18стр.

III. Заключение.                                                        -22стр.

IV. Список литературы.                                           -23стр.

I. Введение.

Актуальность:

Изучая на уроках математики тему «Делимость чисел», учитель предложил подготовить сообщение о истории открытия простых и составных чисел. При подготовке сообщения, меня заинтересовали слова Пифагора «Числа правят миром!»

Возникли вопросы:

• Когда возникла наука о числах?
• Кто внес вклад в развитие науки о числах?
• Значение чисел в математике?

Решила подробно изучить и обобщить материал о числах и их свойствах.

Цель исследования:   изучить простые и составные числа и       показать их роль в математике.

Объект исследования:     простые и составные числа.

Гипотеза:    Если,  по словам Пифагора «Числа правят миром,

                      то какова их роль в математике.

Задачи исследования:

1. Собрать и обобщить всевозможную информацию о простых и составных числах.
2. Показать значение чисел в математике.
3. Показать любопытные свойства натуральных чисел.

Методы исследования:

• Теоретический анализ литературы.
• Метод систематизации и обработки данных.

II. Основная часть.

1. История возникновения науки о числах.

• Математика у древних греков.

И в Египте, и в Вавилоне числами пользовались в основном для решения практических задач.

Положение изменилось, когда математикой занялись греки. В их руках математика из ремесла стала наукой.

Греческие племена стали селиться на северных и восточных берегах Средиземного моря около четырёх тысяч лет назад.

Большая часть греков осела на балканском полуострове - там, где сейчас государство Греция. Остальные расселились по островам Средиземного моря и по берегу Малой Азии.

Греки были отличными моряками. Их лёгкие остроносые корабли во всех направлениях бороздили средиземное море. Они везли посуду и украшения из Вавилона, бронзовое оружие из Египта, шкуры зверей и хлеб с берегов Чёрного моря. И конечно, как и у других народов, вместе с товарами корабли привозили в Грецию знания. Но греки не просто

учились у других народов. Очень скоро они обогнали своих учителей.

Греческие мастера строили удивительной красоты дворцы и храмы, которые потом тысячи лет служили образцом для архитекторов всех стран.

Греческие скульпторы создавали из мрамора чудесные статуи. А с греческих учёных началась не только                     « настоящая» математика, но и очень многие другие науки, которые мы изучаем в школе.

А знаете, почему греки обогнали в математике все другие народы? Потому, что они хорошо умели спорить.

Чем же споры могут помочь науке?

В древние времена Греция состояла из многих маленьких государств. Чуть ли не каждый город с окрестными деревнями был отдельным государством. Каждый раз, когда приходилось решать какой-нибудь важный государственный вопрос, горожане собирались на площадь, обсуждали его. Спорили о том, как сделать лучше, а потом голосовали. Понятно, что они были хорошими спорщиками: на таких собраниях приходилось опровергать противников, рассуждать, доказывать свою правоту. Древние греки считали, что спор помогает найти самое лучшие. Самое правильное решение. Они даже придумывали такое изречение: « В споре рождается истина».

И в науке греки стали поступать так же. Как на народном собрании. Они не просто заучивали правила, а доискивались причины: почему правильно делать так, а не иначе. Каждое правило греческие математики старались объяснить, доказать, что оно не верное. Они спорили друг с другом. Рассуждали, старались найти в рассуждениях ошибки.

Докажут одно правило - рассуждения ведут к другому, более сложному, потом - к третьему, к четвёртому. Из правил складывались законы. А из законов - наука математика.

Едва родившись, греческая математика сразу семимильными шагами пошла вперёд. Ей помогали чудесные сапоги- скороходы, которых раньше у других народов не было. Они назывались « рассуждение» и « доказательство».

• Пифагор Самосский.

О числах первым начал рассуждать грек Пифагор, который родился на острове Самосее в VI веке да нашей эры.

Поэтому его часто называют Пифагором Самосским. Много легенд рассказывали греки об этом мыслителе.

Пифагор рано проявил способности к наукам, и отец Мнесарх отвёз его в Сирию, в Тир, чтобы там его учили халдейские мудрецы. Она узнает о таинствах египетских жрецов. Загоревшись желанием войти в их круг и стать посвящённым, Пифагор начинает готовиться к путешествию в Египет. Год он проводит в Финикии, в школе жрецов. Затем побывает в Египет, в Гелиополис. Но местные жрецы были неприветливы.

проявив настойчивость и выдержав исключительно трудные вступительные испытания, Пифагор добивается своего - его принимают в касту.21 год пробыл он в Египте, в совершенстве изучил все виды египетского письма, прочитал множество папирусов. Факты, известные египтянам в математике, наталкивают его на собственные математические открытия.

Мудрец говорил: « В мире есть при вещи, к которым нужно стремиться. Это, во-первых, прекрасное и славное, во- вторых, полезное для жизни, в-третьих, доставляющее наслаждение. Однако наслаждение бывает двоякого рода: одно, утоляющее роскошеством наше чревоугодие, гибельно; другое – праведное и необходимое для жизни».

Центральное место в философии воспитанников и приверженцев Пифагора занимали числа:

« Где нет числа и меры - там хаос и химеры»,

« Самое мудрое - это число»,

« Числа управляют миром».

Поэтому многие считают  Пифагора отцом нумерации - сложной, окутанной тайной науки, описывающие в нём события, раскрывающей прошлое и будущее, предсказывающей судьбы людей.

• Пифагор и числа.

Числа Древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами, мыслились зримо в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске- абаке.

Числа камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались, так возникли числа, сегодня именуемые фигурными: линейные числа ( т. е. простые числа) – числа, которые делятся на единицу и на само себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию  

плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей

телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей

треугольные числа:

квадратные числа:

пятиугольные числа:

и.т.д. именно от фигурных чисел пошло выражение                 « Возвести число в квадрат или куб».

Пифагор не ограничился плоскими фигурами. Из точек он стал складывать пирамиды, кубы и другие тела и изучать пирамидальные, кубические и иные числа (см. рис.1). К слову сказать, названием куб числа мы тоже пользуемся и сегодня.

  Но числами, получавшимися из различных фигур, Пифагор не удовлетворился. Ведь он провозгласил, что числа правят миром. Поэтому ему пришлось придумывать, как с помощью чисел изображать такие понятия, как справедливость, совершенство, дружба.

  Чтобы изобразить совершенство, Пифагор принялся за делители чисел (при этом делитель 1 он брал, а само число не брал). Все делители числа он складывал, и если сумма оказывалась меньше числа, оно объявлялось недостаточным, а если больше – избыточным. И только в случае, когда сумма в точности равнялась числу, его объявляли совершенным. Похожим образом изображали числа дружбы – два числа называли дружественными, если каждое из них равнялось сумме делителей другого числа. Например, число 6 (6=1+2+3) –совершенно, число 28 (1+2+4+7+17) – совершенно. Следующие совершенные числа – 496, 8128, 33550336.

2.Числа простые и составные.

  О дружественных или совершенных числах современная математика вспоминает с улыбкой как о детском увлечении.  

 А введенные Пифагором понятия простого и составного чисел являются до сих пор предметом серьезных исследований, за которые математики получают высокие научные награды.

  Из опыта вычислений люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей нашел доказательство этого утверждения.

  Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят остальные числа.              

Открытие закономерностей в ряду чисел - очень приятное событие для математиков: ведь эти закономерности можно использовать для построения гипотез, для  проверки доказательств и формул. Одно из занимающих математиков свойств простых чисел состоит в том, что они отказываются подчиняться хоть какой-нибудь закономерности.  

Единственный способ определить, простое ли число 100 895 598 169, - воспользоваться довольно трудоемким         « решетом Эратосфена».

На таблице представлен один из вариантов этого решета.

В этой таблице все простые числа, меньшие 48, обведены кружками. Найдены они так: 1 имеет единственный делитель- себя, поэтому 1 не считается простым числом. 2 – наименьшее ( и единственное чётное) простое число. Все другие чётные числа делятся на 2,а значит имеют, по крайней мере три делителя; поэтому они не простые и могут быть вычеркнуты. Следующее невычеркнутое число – 3; оно имеет ровно два делителя, поэтому она простое. Все остальные числа, кратные трём (т. е. такие, которые можно разделить на 3 без остатка), вычеркиваются. Теперь первое невычеркнутое число- 5; оно простое, а все его кратные можно вычеркнуть.

Продолжая вычеркивать кратные, можно отсеять все простые числа, меньше 48.

3. Проблема Гольдбаха.

  Из простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. А что будет, если складывать простые числа?

Живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел.  ( как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом).

4 = 1 +3,       6 = 3 + 3,     8 = 3 + 5.  и т.д.

О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику

XVIII века Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской Академии наук. Проверив еще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двух простых чисел. Но четных чисел бесконечно много. Поэтому вычисления  Эйлера давали лишь надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что  это всегда будет так, ни к чему не привели.    

   Двести лет размышляли математики над проблемой Гольдбаха. И только русскому ученому Ивану Матвеевичу Виноградову удалось сделать решающий шаг. Он установил, что любое достаточно большое натуральное число является    

суммой трех простых чисел. Но число, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико.

4. Признаки делимости.

489566 : 11 = ?

Чтобы узнать, каково данное число – простое или составное, не всегда нужно заглядывать в таблицу простых чисел. Часто для этого достаточно воспользоваться признаками делимости.

• Признак делимости на 2.

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число четно и делится на 2 без остатка.

• Признак делимости на 3.

Если  сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3.

• Признак делимости на 4.

Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4, если делится на 4 число, образованное двумя последними цифрами этого числа.

• Признак делимости на 5.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится на 5 без остатка.

• Признак делимости на 7 (на13).

Натуральное число делится на 7 (на 13), если алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры(начиная с цифры единиц), взятых со знаком «+» для нечетных граней и со знаком «минус» для четных граней, делилась на 7. ( 254390815, составим алгебраическую сумму граней, начиная с последней грани и чередуя знаки +и -: 815 - 390 + 254 = 679. Число 679 делится на 7, значит и данное число делится на 7.

• Признак делимости на 8.

Натуральное число, содержащее не менее четырех цифр, делится на 8, если делится на 8 число, образованное тремя последними цифрами.

• Признак делимости на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

• Признак делимости на 10.

Если натуральное число оканчивается 0, то оно делится на 10.

• Признак делимости 11.

Натуральное число делится на 11, если алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечетных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на четных местах, делится на 11. (517, 7 – 1 + 5 = 11, делится на 11).

• Признак делимости на 25.

Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 25, если делится на 25 число, образованное двумя последними цифрами этого числа.

• Признак делимости на 125.

Натуральное число, содержащее не менее четырех чисел, делится на 125, если на 125 делится число, образованное тремя последними цифрами этого числа.

5. Любопытные свойства натуральных чисел.

У натуральных чисел есть много любопытных свойств, которые обнаруживаются при выполнении над ними арифметических действий. Но заметить эти свойства всё же бывает легче, чем доказать их. Приведём несколько таких свойств.

1).Возьмём наугад какое-нибудь натуральное число, например 6, и запишем все его делители: 1, 2, 3,6. Для каждого из этих чисел запишем, сколько у него делителей. Так как у 1 только один делитель (само это число), у 2 и 3 по два делителя, а у 6 имеем 4 делителя, то получаем числа 1, 2, 2, 4. У них есть замечательная особенность: если возвести эти числа в куб и сложить ответы, получится в точности такая же сумма которую мы получили бы, сначала сложив эти числа, а потом возведя сумму в квадрат, иными словами,

И в самом деле, оба  выражения равны 81.

Может быть, всё дело в том, что мы взяли число 6? Попробуем другое число, например 12. Здесь уже больше делителей: 1. 2, 3, 4, 6, 12. Записывая число делителей для каждого их этих чисел, получаем: 1, 2, 2, 3, 4, 6. Проверим, выполняется ли равенство

Подсчёты показывают, что и слева и справа ответ один и тот же, а именно324.

Какое бы число мы ни взяли, подмеченное нами свойство будет выполняться. Вот только доказать это довольно сложно.

2). Возьмём любое четырёхзначное число, например 2519, и расставим его цифры сначала в порядке убывания, а потом в порядке возрастания: 9 5 2 1 и 1 2 5 9. Из большего числа вычтем меньшее: 9521-1259=8262. С полученным числом проделаем то же самое: 8622- 2268=6354. И ещё один такой же шаг: 6543- 3456= 3087. Далее, 8730-0378= 8352, 8532-2358=6174. Вам не надоело вычитать? Сделаем всё же ещё один шаг: 7641-1467=6174. Снова получилось 6174.

Вот теперь мы, как говорят программисты, «зациклились» : сколько бы раз мы теперь не вычитали, ничего кроме 6174, не получим. Может быть, дело в том, что так было подобрано исходное число 2519? оказывается, оно здесь не при чём: какое бы четырёхзначное число мы ни взяли, после не более чем семи шагов обязательно получится это же число 6174.

3). Нарисуем несколько окружностей с общим центром и на внутренней окружности запишем любые четыре натуральных числа. Для каждой пары соседних чисел вычтем из большего меньшее и результат запишем на следующей окружности. Оказывается, если повторить это достаточно много раз, на одной их окружностей все числа окажутся равными нулю, а поэтому и дальше ничего, кроме нулей, получаться не будет. На рисунке показано это для случая, когда на внутренней окружности написаны числа 25, 17, 55, 47.

4). Возьмём любое число ( хоть тысячезначное), записанное в десятичной системе счисления. Возведём все его цифры в квадрат и сложим. С суммой проделаем то же самое. Оказывается, после нескольких шагов мы получим либо число 1, после чего иных чисел не будет, либо 4, после чего мы имеем числа 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 и снова получим 4. Значит, цикла не избежать и здесь.

5. Составим такую бесконечную таблицу. В первом столбце напишем числа 4, 7, 10, 13, 16, … (каждое следующее на 3 больше предыдущего). От числа 4 проведём вправо строку, увеличивая на каждом шагу числа на 3. От числа 7 поведём строку, увеличивая числа на 5, от числа 10- на 7 и т. д. Получается такая таблица:

Если взять любое число из этой таблицы, умножить его на 2 и к произведению прибавить 1, то всегда получится составное число. Если проделать то же самое с числом, не входящим в эту таблицу, то получаем простое число. Например, возьмём из таблицы число 45. Число 2*45+1=91 составное, оно равно 7*13. А числа 14 в таблице нет, и число 2*14+1=29 простое.

Этот замечательный способ отличать простые числа от составных придумал в 1934 году индийский студент Сундарам. Наблюдения за числами позволяют открывать и другие замечательные утверждения. Свойства мира чисел поистине неисчерпаемы.

Числовые фокусы.

Вы можете удивить своих товарищей, показывая им числовые фокусы. Вот один из них. Предложите одному из них написать трёхзначное число. Другой пусть припишет к нему то же самое число, третий разделит полученное шестизначное число на 7, четвёртый разделит это частное на 11, а пятый разделит то, что получилось на 13 и передаст первому. Тот увидит задуманное им число. Разгадка в равенстве

Ведь если рядом с трехзначным числом ещё раз написать это же число, то первоначальное число умножится на 1001             ( например, 289 289= 2891001). А при последовательном делении на 7, 11 и 13 полученное число разделится на 1001,    и мы снова получаем исходное число.

Фокус с двухзначным числами очень похож на этот. Только число надо повторить два раза, а полученное шестизначное число разделить на 3, 7, 13, 37. это объясняется тем, что

А четырёхзначные числа повторяют один раз и делят на 73 137. Разгадка в равенстве

Предложите кому-нибудь задумать двузначное число, а потом возвести его в куб. Услышав ответ, вы мгновенно сообщаете, какое число было задумано. Для этого правда, придётся выучить наизусть кубы чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Вот они:

Заметим, что кубы чисел 0, 1, 4, 5, 6 и 9 оканчиваются той же цифрой (например,  ), а числа 2 и 8, 3 и 7 образуют пары, в которых куб одной цифры оканчивается другой.

Пусть возводили в куб число 67. Получили ответ 300 763. Услышав это значение, отгадывающий замечает, что 300 лежит между 216 и 343, то есть между и , а потому цифра десятков равна 6. Последняя цифра ответа 3 получается при возведении в куб числа 7. Значит, цифра единиц равна 7. Мы отгадали задуманное число: 67. После небольшой тренировки отгадывание происходит мгновенно.

Более впечатляющим является отгадыванием двузначного числа по его пятой степени, ведь чтобы возвести число в пятую степень, придётся четыре раза делать умножение, а в ответе может получиться десятизначное число! А отгадка основана на том, что при возведении чисел 0. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в пятую степень получается число, оканчивающееся той же цифрой, которую возводили в степень,( например,

Кроме этого, надо запомнить следующую таблицу, показывающую, с чего начинаются пятые степени следующих чисел:

Поэтому, услышав, что при возведении двузначного число в пятую степень получился ответ 8587340257, сразу соображаем, что 8 миллиардов лежат между 6 миллиардами и 10миллиардами, а потому цифра десятков равна 9. А услышав, что ответ кончается цифрой 7, понимаем, что той же цифрой кончается и двузначное число. Значит, возводили в пятую степень число 97.

На доске написано пятизначное число. Два школьника подходят к доске. Первый пишет любое пятизначное число, второй пишет своё число. Потом первый пишет ещё одно пятизначное число, а второй - свое число, а затем они поступают так же ещё раз. После этого второй школьник сразу пишет сумму всех написанных на доске чисел.

Этот фокус заключается в следующем. Каждый раз, после того как первый школьник написал своё число, второй пишет число, цифры которого служат дополнениями до 9 стоящих на том же месте цифр первого числа ( если первый написал число 40817, то второй пишет 59182). сумма двух таких чисел всегда равна 99999. поэтому после трёх раз будет ( кроме самого первого числа) шесть чисел, сумма которых равна Значит, надо приписать к первоначально написанному на доске пятизначному числу впереди цифру 3, а из полученного числа отнять 3.

Чтобы зрители не разгадали фокуса, можно уменьшить первую цифру какого-нибудь из чисел на несколько единиц и на столько же единиц уменьшить соответствующую цифру в сумме. Например, на рисунке уменьшена, на 2 первая цифра в третьем слагаемом и на столько же соответствующая цифра в сумме.

Заключение.

Собрав и обобщив материал о простых и составных числах, пришла к выводу:

1. Учение о числах уходит в древние времена и имеет богатую историю.
2. Велика роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строятся все остальные числа.
3. Натуральные числа имеют много любопытных свойств. Свойства мира чисел поистине неисчерпаемы.
4. Подготовленный мною материал можно смело использовать на уроках математики и занятиях математического кружка. Этот материал поможет более глубже подготовиться к различным видам олимпиад.