Практическая магия

Российская научно-практическая конференция учащихся

«Первые шаги в науку»

Математика

Практическая магия

        Выполнил

        Цуцков Дмитрий,

        ученик 6 «А»  класса

        Муниципального образовательного

        учреждения

        «Средняя общеобразовательная

        школа №2», п.Белоусово

        Жуковского района, Калужской области.

        Руководитель: Пешкова

        Оксана Константиновна

        учитель математики МОУ «СОШ№2»,

        п.Белоусово

г.Обнинск, 2013

        Содержание        

Введение        

Глава 1. Магические таблицы для угадывания чисел        

Глава 2. Угадывание чисел по карточкам        

Глава 3. Фокус с настенным календарем        

Глава 4. Фокус с нахождением суммы        

Глава 5. Вычисления вслепую        

Глава 6. Чудесный квадрат        

Глава 7. Цепочка домино с разрывом        

Глава 8. Чертова дюжина        

Глава 9. Быстрый счет        

Глава 10. Угадывание по цветным карточкам        

Глава 11. Магический  квадрат        

Глава 12. Фокус с отмеченными датами на календаре        

Глава 13. Угадывание в таблице суммы закрытых чисел        

Глава 14. Фокусы с игральными костями        

Глава 15. Угадывание суммы выпавших очков        

Глава 16. Угадывание выпавшего числа очков на двух костях        

Глава 17. Угадывание выпавшего числа очков на трех костях        

Практическая работа. Фокус  «Четвёрка»        

Заключение        

Список литературы        

Введение

Нет таких отдаленных явлений, познания которых нельзя было бы достичь, и нет таких таинственных явлений, которые нельзя было бы понять.

                                             Р.Декарт

        Название моей темы «Практическая магия», это в какой-то степени шутка, но оно объясняется тем, что здесь собраны элементы магии чисел и фигур, которые можно использовать на практике. Речь идет не об изготовлении талисманов с магическими квадратами, просто, описанные здесь предметы,  можно изготовить и с их помощью показывать математический фокус.

        Цель моей работы доказать, что математические фокусы - это ни что иное как решение математических задач, завуалированные в особую форму.

Математические фокусы - очень своеобразная форма демонстраций математических закономерностей. В математических фокусах изящество математики соединяется с занимательностью.

Удивительной для непосвященных кажется, способность человека отгадывать задуманные другими числа. Но если вы узнаете секрет математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения, где выполнены действия.

В своей работе я показал секреты отгадывания чисел, классифицируя их по разделам. Придумал свой фокус, который описан в моей работе.

Глава 1. Магические таблицы для угадывания чисел

Начнем с некоторых числовых таблиц, с помощью которых можно продемонстрировать друзьям свои удивительные математические способности.

Эта таблица, состоящая из чисел от 1 до 31, выписанных определённым образом в пяти столбцах, отличается специфическим магическим свойством. Отвернитесь от таблицы и предложите своему приятелю или зрителям вашего трюка задумать любое число от 1 до 31, и пусть вам только скажут, в каких столбцах встречается задуманное число. По этим сведениям вы можете назвать его безошибочно. Например, вам скажут, что задуманное число находится в 1 и 5 столбцах таблицы. Для отгадывания вам нужно хорошо знать степени числа 2.

Первому столбцу соответствует 2 в четвёртой степени (16), второму 2 в третьей степени (8), ... , пятому 2 в нулевой степени (1). Вам нужно в уме сложить числа, соответствующие названным столбцам, в данном случае 16+1=17.

Секрет основан на кодировании чисел в двоичной системе счисления. Каждое из чисел от 1 до 31 переведено в двоичную запись и расставлено в таблице в соответствии с этим кодом. Например, 27 = 16+8+2+1 = 24+23 +22+2° = (11011)2. эта запись означает, что число 27 нужно поставить в 1, 2, 4, и 5 столбики нашей таблицы при её создании, а в третьем - не ставить.

Основываясь на том же принципе можно составить таблицу крупнее, из чисел от 1 до 63. В этом случае в ней будет шесть столбцов, первому будет соответствовать значение 2 в пятой степени (32), второму 2 в четвёртой степени (16) и т.д. Эти числа как раз стоят в первой строчке таблицы. Вам остается только их хорошенько запомнить, чтобы потом на таблицу не смотреть.

Второй вариант фокуса, основанный на том же принципе двоичного кодирования, выглядит несколько иначе. С его помощью демонстрируется угадывание задуманного числа от 1 до 63. Для демонстрации применяются шесть специальных перфорированных карточек, на каждой из которых имеется 35 чисел, расположенных на первый взгляд «бессистемно», и пять отверстий. Зритель просматривает все карточки и передает фокуснику те из них, на которых имеется задуманное им число. Вам остается сложить их стопкой и сверху положить свою магическую карточку с отверстиями. Теперь, чтобы получить задуманное число, вам нужно сложить числа, видимые сквозь отверстия и сообщить результат зрителям.

Отверстия на вашей карточке соответствуют местам, на которых расположены «ключевые числа» - степени двойки, а на каждой из шести карточек отверстия сделаны в тех же местах, что и у вас, кроме одного, где проставлено «ключевое число». В этом варианте вам не нужно запоминать степени числа два, они видны в окошках.

А вот и ключевая карточка: на ней нет никаких чисел, только окошки расположены специальным образом. Если у вас есть принтер, вы можете распечатать эту страницу, вырезать карточки и прорезать в них окошки и реквизит для фокуса готов!

Глава 3. Фокус с настенным календарем

На каком-нибудь листке помесячного табель-календаря зритель заключает в квадрат шестнадцать чисел. Показывающий после беглого взгляда на обведенную фигуру записывает предсказание. Затем зритель выбирает в этом квадрате четыре числа, по видимости произвольных, но с соблюдением следующего правила.

Первое из чисел выбирается (обводится кружочком) совершенно произвольно. Затем вычеркиваются все числа, находящиеся в той же строчке и в том же столбце, что и только что обведенное число.

В качестве второго числа зритель может обвести кружочком любое число, оставшееся незачеркнутым. После этого он вычеркивает все числа, оказавшиеся в одной и той же строчке и в одном и том же столбце со вторым обведенным числом.

Так же выбирается третье число, а соответствующие строчка и столбец вычеркиваются. В результате этих операций останется незачеркнутым одно-единственное число. Его зритель также обводит кружочком. Если теперь взять сумму четырех отмеченных нами чисел, то она окажется в точности равной предсказанному числу).

Секрет фокуса: Показывающий замечает два числа, находящихся на двух диагонально противоположных углах квадрата. Какая из двух возможных пар это будет — безразлично. Чтобы получить ответ, нужно сложить эти два числа и найденную сумму удвоить.

Более простой фокус, основанный на этом же принципе и не требующий табель - календаря, можно демонстрировать так. Начертите квадратную сетку из 16 клеток, подобную шахматной доске, и перенумеруйте клетки от 1 до 16 в естественном порядке. Если теперь предложить зрителю выбрать четыре числа при помощи того процесса, который описывался выше, и сложить их, то во всех случаях он будет получать одну и ту же сумму, а именно 34. Этот принцип можно демонстрировать на квадратах с любым числом клеток.

Глава 4. Фокус с нахождением суммы

В этом фокусе фокусник очень быстро может отгадать сумму чисел, входящих в обведенный квадрат на календаре. Для этого снова просите зрителя обвести на настенном календаре в любом месяце квадрат, содержащий 16 чисел. Взглянув на него ровно секунду, отворачиваетесь и через мгновение, необходимое для умножения суммы двух чисел, стоящих на противоположных концах любой диагонали, обведенного квадрата, на восемь. Например, из выделенного квадрата сложим 1 и 25 и умножим сумму на 8. (1+25)*8=208. Значит, сложив числа 1+2+3+4+8+9+10+11+15+16+17+18+22+23+24+25=208.

Глава 5. Вычисления вслепую

 Каждый следующий номер должен быть менее трудоемок для зрителей, чтобы не переутомить их и, вместе с тем, более эффектен. На этот раз вообще не смотрим на календарь и стоим, повернувшись спиной к зрителям, а один из них по нашему распоряжению выбирает на настенном календаре любой месяц и обводит на нем какой–нибудь квадрат, содержащий 9 чисел. Мы же просим самую малость: назвать наименьшее из чисел, попавших в этот квадрат, чтобы через пару мгновений назвать сумму этих девяти чисел. Объяснение наших действий. Нужно прибавить к названному числу 8 и результат умножить на 9.

 Если – m наименьшее число в указанном квадрате, то весь квадрат имеет вид

m        m+7        m+14

m+1        m+8        m+15

m+2        m+9        m+16

И сумма всех чисел квадрата равна 9m+72=9(m+8).

Вычисления для данного примера: (8+8)·9=144 и гораздо длиннее 8+15+22+9+16+23+10+17+24=144                          

Глава 6. Чудесный квадрат

      В клетках квадрата написаны числа от 1 до 16 в разбивку. Учитель предлагает детям задумать любое из написанных чисел. Учитель молча показывает на числа указкой, учащиеся к своему задуманному числу при каждом показе прибавляют единицу.

Получив после прибавления по единице несколько раз число 20, они говорят: «Стоп!» В этот момент указка остановится на задуманном числе. Учитель первые три числа показывает наугад. Четвёртое число он должен показать 16, пятое - 15, шестое - 14 и т. д. В этом случае ученик, задумавший число 16, прибавляет по единице четыре раза), учитель указал 3 раза на другие числа, а четвёртым показал число 16, 16 да 4 - 20; ученик, задумавший число 15, прибавляет 5 раз по единице, задумавший число - 14 - 6 раз по единице и т. д.). В момент, когда учитель покажет на задуманное число каждого ученика, у него получится число 20, и он говорит: «Стоп!».      

Глава 7. Цепочка домино с разрывом

Показывающий записывает предсказание на листке бумаги и откладывает его в сторону. Косточки домино перемешивают, а затем выкладывают цепочкой, приставляя одинаковые концы друг к другу, как это делается при обычной игре в домино. После окончания раскладки смотрят на число очков на каждом из концов цепи. Достают листок бумаги, и оказывается, что там записаны как раз эти два числа! Фокус повторяется несколько раз, причем каждый раз предсказываются новые цифры.

Объяснение. Этот фокус получается потому, что любая цепочка, составленная из всех без исключения косточек домино (их бывает обычно 28), имеет одинаковое число очков на концах). Показывающий перед началом фокуса незаметно прячет одну косточку, а числа очков на концах ее записывает в предсказании. Так как при выкладывании всех 28 косточек должна образоваться замкнутая цепочка, то отсутствующая косточка укажет числа очков на месте ее разрыва. Удаляемая косточка не должна быть дублем.

Глава 8. Чертова дюжина

Вашему внимание предлагается еще один довольно любопытный фокус с домино. Для его исполнения вам понадобятся 13 косточек, которые вы укладываете в ряд лицевой стороной вниз. Вы выходите из комнаты, и в это время кто-то из зрителей передвигает по одной любое число косточек (от одной до двенадцати) с одного конца ряда на другой. Когда он закончил, вы возвращаетесь в комнату, открываете одну косточку, и количество очков на ней будет равняться числу косточек, перемещенных зрителем. Этот трюк можно повторять сколько угодно раз.

Косточки, разумеется, нужно подбирать особым образом, чтобы суммы очков на них равнялись последовательно всем целым числам от 1 до 12. Последней, тринадцатой, косточкой пусть будет двойная пустышка. Косточки выставляются в порядке возрастания, начиная с единицы на левом конце. Справа ряд замыкает пустой дубль. Прежде чем выйти из комнаты, вы демонстрируете, как нужно перемещать косточки. Передвинув несколько штук слева направо, вам нужно сообразить, сколько сейчас очков на крайней левой косточке. Вернувшись обратно, вам нужно мысленно считает до этого числа, начиная справа. Если на левой косточке было, скажем, 5 очков, вы должны считать справа до пятой косточки и открыть косточку, на которую придется это число. Если она случайно окажется двойной пустышкой, то вы приписываете ей значение 13.

Повторять данный трюк довольно легко. Просто сосчитайте про себя, сколько косточек осталось от открытой до самой левой, прикиньте, сколько на последней косточке очков, и, прежде чем выйти из комнаты, запомните это число.

Возникает забавная ситуация, когда зритель захочет подшутить над вами и не переставить ни одной косточки. В таком случае откроется пустой дубль.

Глава 9. Быстрый счет

Попросите одного из зрителей написать на доске любые два натуральных числа одно под другим. Затем предложите ему построить столбик из десяти чисел так, чтобы каждое следующее число равнялось сумме двух предыдущих. Третье число получается сложением двух первоначальных записанных, четвертое – как сумма второго и третьего и.т.д. Во время всех вычислений демонстратор стоит спиной к доске. Когда все десять чисел выписаны в столбик, поворачивайтесь, проводите черту под столбиком чисел и, не задумываясь, записываете их сумму.

        Чтобы получить эту сумму нужно четвертое снизу число умножить на 11,что гораздо проще сделать, чем действительно складывать между собой десять чисел. Ряд чисел, полученных по описанному правилу (каждое число, начинается с третьего, равно сумме двух предыдущих) называется обобщенным рядом Фибоначчи. Посмотрите ход всех вычислений в общем виде и на  конкретном числовом примере.

        Чтобы быстро умножить число на 11 нужно в разряде единиц записать последнюю цифру числа, затем сложить цифру единиц с цифрой десятков и записать последнюю цифру суммы, затем сложить цифру десятков с цифрой сотен (и добавить к ней единицу, если предыдущая сумма была больше десяти) и.т.д., передвигаясь, справа налево.

Глава 10. Угадывание по цветным карточкам

          Фокус с угадыванием задуманного числа, настолько древний, что для него существует большое количество вариантов, отличающихся внешне, но основанных на одном и том же принципе двоичного кодирования. В очередном варианте имеется семь различных по размерам карточек, на которых выписаны некоторые числа из интервала от 1 до 100. Для удобства зрителей на каждой карточке числа упорядочены по возрастанию, так их легче искать, и удобно распределены по строчкам. Вы даете карточки зрителю и просите, задумав число, вернуть вам, только те, на которых оно есть. Развернув карточки веером, вы немедленно называете задуманное число. Для этого вам всего-навсего нужно найти сумму первых чисел на возвращенных карточках.

         Есть более эффектный вариант этого фокуса. Нужно окрасить карточки в семь цветов радуги: К, О, Ж, 3, Г, С, Ф и запомнить ключевые (первые) числа для каждого цвета. Тогда вам даже не нужно брать карточки в руки, пусть только зритель покажет вам цвет отобранных карточек.

Глава 11. Магический  квадрат

Этот квадрат не является магическим в традиционном понимании, суммы чисел по строчкам и столбцам не будут равными, но у него своя система в расположении чисел и, как следствие, свое интересное свойство. Если взять любые пять чисел, но так, чтобы из каждой строчки и из каждого столбца выбрано было только одно число, то сумма их будет всегда постоянной. Чтобы отличать этот квадрат от традиционного магического квадрата, назовем его волшебным.

           Хотя со стороны будет казаться, что есть свобода выбора, но результат предопределен поставленными условиями, и общая сумма неизбежно будет равна числу 65. И это будет повторяться каждый раз, когда вы будете показывать этот математический фокус. Производимый эффект зависит от того, как вы обыграете этот фокус. Можно заранее демонстративно записать «некотороt» число на карточке, запечатать ее в конверт и отдать на хранение кому-то из зрителей, а в конце фокуса попросить открыть конверт и зачитать, что там написано.

Это применимо, если вы демонстрируете фокус однократно. Если вы планируете провести процедуру выбора чисел несколько раз, то, во-первых, не нужно стирать числа ряда и строчки, а придумайте как их временно закрывать (например, магнитная доска и т. д.) и во-вторых, подругому обговорить эффект фокуса. Можно сказать, что вы обладаете силой внушения и будете каждый раз внушать зрителям, чтобы набрали сумму чисел 65 и они не смогут вам противиться.

            Хотя со стороны будет казаться, что есть свобода выбора, но результат предопределен поставленными условиями, и общая сумма неизбежно будет равна числу 65. И это будет повторяться каждый раз, когда вы будете показывать этот математический фокус. Производимый эффект зависит от того, как вы обыграете этот фокус. Можно заранее демонстративно записать «некотороt» число на карточке, запечатать ее в конверт и отдать на хранение кому-то из зрителей, а в конце фокуса попросить открыть конверт и зачитать, что там написано.

Это применимо, если вы демонстрируете фокус однократно. Если вы планируете провести процедуру выбора чисел несколько раз, то, во-первых, не нужно стирать числа ряда и строчки, а придумайте как их временно закрывать (например, магнитная доска и т. д.) и во-вторых, подругому обговорить эффект фокуса. Можно сказать, что вы обладаете силой внушения и будете каждый раз внушать зрителям, чтобы набрали сумму чисел 65 и они не смогут вам противиться.

Глава 12. Фокус с отмеченными датами на календаре

Хотя со стороны будет казаться, что есть свобода выбора, но результат предопределен поставленными условиями, и общая сумма неизбежно будет равна числу 65. И это будет повторяться каждый раз, когда вы будете показывать этот математический фокус. Производимый эффект зависит от того, как вы обыграете этот фокус. Можно заранее демонстративно записать «некотороt» число на карточке, запечатать ее в конверт и отдать на хранение кому-то из зрителей, а в конце фокуса попросить открыть конверт и зачитать, что там написано.

Это применимо, если вы демонстрируете фокус однократно. Если вы планируете провести процедуру выбора чисел несколько раз, то, во-первых, не нужно стирать числа ряда и строчки, а придумайте как их временно закрывать (например, магнитная доска и т. д.) и во-вторых, подругому обговорить эффект фокуса. Можно сказать, что вы обладаете силой внушения и будете каждый раз внушать зрителям, чтобы набрали сумму чисел 65 и они не смогут вам противиться.

Рассмотрим строку, начинающуюся первым числом месяца. Сумма чисел в ней всегда равна 75 (исключением является февраль не високосного года). Каждое из отмеченных чисел в следующей строке увеличивает эту сумму на 1, в строке, следующей за ней, - на 2 и т.д. Каждое из отмеченных чисел в предыдущей строке уменьшает эту сумму на 1, в предшествующей ей строке на 2 и т.д. Предположим, первое число месяца приходится на среду и обведены один понедельник, одна среда и три субботы. В уме вы производите следующие вычисления:

75 + 3 * 3 – 1 * 2 = 82

и объявляете полученный результат.

Только учтите, что вы должны заранее знать, на какой день придется первое число месяца, выбранного зрителем.

Глава 13. Угадывание в таблице суммы закрытых чисел

На таблице в 100 клетках записаны разные числа. Попросите кого-нибудь из присутствующих закрыть пластинкой любые пять рядов таблицы. Будут видны только два числа

31 + 10 + 7+1 + 13 + 41 + 1+3 + 2 + 9 + 54 + 99 + 24 + 24 + 22 = 341.

В тех случаях, когда картонку положат вырезом вниз, отгадчик к числу, которое он видит в вырезе, прибавляет 9. Как видим, нижнее число правой колонки таблицы на 9 единиц меньше левых верхних чисел для каждых трех строк, накрываемых картонкой.

Глава 14. Фокусы с игральными костями

Атрибутом нескольких числовых фокусов служат игральные кости. Для демонстрации можно изготовить их в увеличенном масштабе, чтобы за процессом могли наблюдать зрители. Игральная кость имеет форму кубика, на гранях которого нанесены точки, количество которых соответствует числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем соблюдается «принцип семерки»: числа на противоположных гранях в сумме дают семь (1-6 2-5 3-4). Ориентация первых трех чисел показана на рисунке, остальные по «принципу семерки». Такая игральная кость соответствует существующему стандарту.

Глава 15. Угадывание суммы выпавших очков

Фокусник поворачивается спиной к зрителям и просит одного из зрителей бросить на стол три игральные кости. Затем предлагаете сложить три выпавших числа, взять любую из трех костей и прибавить число на нижней ее грани к только что полученной сумме. Потом снова бросить эту же кость и выпавшее число, опять прибавить к сумме. Поворачиваясь к зрителям, фокусник акцентирует их внимание на том, что ему не может быть известно, какую из трех костей бросали заново, и какое число стояло у нее на нижней грани перед этим. Затем фокусник собирает кости, встряхивает их в руке, подносит к уху, и тут же правильно называет конечную сумму

Объяснение фокуса. Прежде чем собрать кости, нужно быстро сложить числа на верхних гранях и добавив к сумме семерку, получите конечную сумму.

Глава 16. Угадывание выпавшего числа очков

на  двух  костях

Фокусник не глядя на стол, на котором лежат игральные кости, просит зрителя бросить две игральных кости и запомнить выпавшие числа. Затем зрителю предлагается:

 - Выбрать одно из этих двух чисел и умножить его на 5;

 - К произведению прибавить 7;

 - Затем удвоить полученную сумму;

 - И, наконец, прибавить к ответу второе число.

         Узнав полученное таким образом число, вы сообщаете, какие числа выпали на каждой из двух костей.

Для этого, мысленно вычитаете из названного числа 14 и получаете двузначное число, две цифры которого равны двум исходным числам. В самом деле, допустим, выпали числа а и b. Нам важно, что каждое из них меньше 10. В результате проделанных операций получаем: 5а, 5а+7, 10а+14, 10а+b+14.

 Таким образом, если из окончательного ответа вычесть 14, то останется двузначное число, цифры в котором соответствуют исходным числам.

Глава 17. Угадывание выпавшего числа

очков на трёх костях

На этот раз вызовите зрителя посмышленнее, так как вычислений придется сделать больше. Зритель бросает три кости, фокусник демонстративно на стол не смотрит. Затем просите зрителя:

 - число, выпавшее на одной из костей, умножить на два;

 - к полученному произведению прибавить пять;

 - и результат снова умножить на пять;

 - число, выпавшее на второй кости прибавить к предыдущей сумме и результат умножить на десять;

 - наконец, к последнему числу прибавить значение, выпавшее на третьей кости.

Зритель сообщает полученный результат, и вы немедленно можете назвать три выпавших числа.

Объяснение фокуса. От названного результата вычислений нужно отнять 250. Три цифры полученной разности и будут искомыми числами, выпавшими на костях. Математические вычисления следуют тем же, что и в предыдущем фокусе.

Практическая работа. Фокус  «Четвёрка»

 Рассмотрев различные фокусы  с числами, я придумал свой фокус и назвал его «Четверка».

В этом фокусе я могу отгадать ответ, что получилось у зрителя после  последовательных действий. Зритель должен загадать числа от 1 до 10.      

Ответ можно угадать, только следуя этим правилам:

1.Зритель загадывает число.

2.Затем умножает его на 2.

3.После к произведению прибавляет 8.

4.Получившееся число делит на 2.

5.И от того что у него получилось отнимает своё задуманное число.

6.После всех этих действий я, не задумываясь, называю ответ.

   Например:

(10*2)+8)/2)-10)=4

(9*2)+8)/2)-9)=4

(6*2)+8)/2)-6)=4

И так будет получаться со всеми числами от 1 до 10.  

Заключение

В своей работе я пытался рассмотреть математические фокусы. Мне было интересно доказать, что математические фокусы, не что иное, как своеобразная форма демонстрации математических закономерностей. Разобравшись в этом, я придумал свой фокус и назвал его «Четверка», оказывается это не та уж сложно.

Я узнал, что секретом отгадывания многих фокусов являются уравнения. Математические фокусы разнообразны. Во многих математических фокусах числа завуалированы предметами, имеющими отношение к числам. Во время проведения презентации реферата на уроке математики я убедился, что математические фокусы интересны школьникам. Задаваемые в остроумной и забавной форме, которую можно придумать по своему вкусу, эти задачи представляют собой очень хорошее и полезное развлечение для играющих. Они развивают навыки в быстром устном счете, навыки вычислений т.к. можно загадывать малые и большие числа. Поэтому, мои материалы можно использовать на уроках математики, на школьных вечерах. В этом практическая значимость моей работы.

Список литературы

1. М. Гарднер «Математические чудеса и тайны» Москва «Наука» 1970

2.  Б. А. Кордемский «Удивительный мир чисел» Москва Просвещение 1986

3. Я. И Перельман «Занимательная алгебра» Москва «Наука» 1970

4. Я. И. Перельман «Занимательные задачи и опыты» Минск «Беларусь» 1994

5. В.В. Трошин «Магия чисел и фигур» Москва «Глобус» 2007

6. 365 веселых игр и фокусов. Москва АСТ - пресс 2005